中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案doc.docx

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2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案

一、圆的综合

1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于

G，交BC的延长线于F．

（1）求证：

AE=BE；

（2）求证：

FE是⊙O的切线；

（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．

【答案】

（1）详见解析；

（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）证明：

连接CE，如图1所示：

∵BC是直径，∴∠BEC=90，°∴CE⊥AB；

又∵AC=BC，∴AE=BE．

（2）证明：

连接OE，如图2所示：

∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．

又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．

（3）解：

∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC?

FB．

设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．

∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：

CG=．

点睛：

本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧?

的长．

BE

【答案】

（1）证明见解析

（2）4

3

【解析】

分析：

（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等

腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；

（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.

详解：

（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；

（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120，°

∴＝·4＝ππ．

点睛：

本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．

3．如图，在VABC中，ACB90o，BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DEAD交AB于点E，以AE为直径作eO．

1求证：

BC是eO的切线；

2若AC3，BC4，求tanEDB的值．

【答案】

（1）见解析；（

2）tanEDB

1

．

2

【解析】

【分析】

1连接OD，如图，先证明

OD//AC，再利用AC

BC得到OD

BC，然后根据切线

的判定定理得到结论；

2先利用勾股定理计算出

AB

5，设eO的半径为r，则OA

OD

r，OB

5r，

再证明VBDO∽VBCA，利用相似比得到r：

3

5

r

：

5，解得r

15

，接着利用勾

8

股定理计算BD

5

CD

3

tan

1

，然后证明

，则

，利用正切定理得

1

2

2

2

1EDB，从而得到tan

EDB的值．

【详解】

1证明：

连接OD，如图，

QAD平分BAC，

1

2，

QOA

OD，

2

3，

1

3，

OD//AC，

QAC

BC，

OD

BC，

BC是eO的切线；

2解：

在RtVACB中，AB

设eO的半径为r，则OAOD

QOD//AC，

VBDO∽VBCA，

OD：

ACBO：

BA，

32425，

r，OB

5r，

即r：

3

5r：

5

，解得r

15

，

8

OD

15

25

，OB

，

8

8

在RtVODB中，BD

OB2

OD2

5

，

2

CDBC

BD

3

，

2

在RtVACD中，tan

CD

3

1，

1

2

AC

3

2

QAE为直径，

ADE

90o，

EDB

ADC

90o，

Q1

ADC

90o，

1

EDB

，

1

tanEDB．

2

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆

的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

4．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，

过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：

AG2=AF·AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.

【答案】

（1）PA与⊙O相切，理由见解析；

（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

试题分析：

（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得

∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．

（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.

（3）连接BD，由AG2=AF?

AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得

AE的

长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

试题解析：

解：

（1）PA与⊙O相切．理由如下：

如答图1，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90.°

∴∠D+∠CAD=90.°

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90，°即DA⊥PA.

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切．

（2）证明：

如答图2，连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴?

?

.∴∠AGF=∠ABG.

ACAD

∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.

∴AG：

AB=AF：

AG.∴AG2=AF?

AB.

（3）如答图3，连接BD，

∵AD是直径，∴∠ABD=90.°

∵AG2=AF?

AB，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.

∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90.°

AE

AF

AE

5

∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD.∴

，即

4

5

，解得：

AE=2.

AB

AD

10

∴EF

AF2

AE2

1.

∵EG

AG2

AE2

4，∴FG

EG

EF4

1

3

.

∴SAFG

1FG

AE

132

3．

2

2

考点：

1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3.相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.

5．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD为直径的半圆过点E，圆

心为O．

（1）如图①，求证：

四边形ABCD为菱形；

（2）如图②，若BC的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE的长．

【答案】

（1）见解析；

（2）

π

2

【解析】

试题分析：

（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；

（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：

证明：

（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形

ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四边

形ABCD是菱形；

（2）由

（1）知，四边形ABCD是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，

∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，

∴OF⊥AD，且OF1AD3，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．

2

在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC=CG=1，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．

CD

2

?

30

3

连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴AE

180

．

2

点睛：

本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性

质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．

（1）求证：

∠AEC=90°；

（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；

（3）若DC=2，求DH的长．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）四边形AOCD为菱形；

（3）DH=2．

【解析】

试题分析：

（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得

，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出

∠AEC=90；°

（2）四边形AOCD为菱形．由

（1）得

平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形

，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是

AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边

形是菱形）；

（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由

DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．

试题解析：

（1）连接OC，

∵EC与⊙O切点C，

∴OC⊥EC，

∴∠OCE=90，°

∵点CD是半圆O的三等分点，

∴，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）

∴∠AEC+∠OCE=180，°

∴∠AEC=90；°

（2）四边形AOCD为菱形．理由是：

∵，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）连接OD．

∵四边形AOCD为菱形，

∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，

∴OA=OD=AD=2，

∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60，°

∵DH⊥AB于点F，AB为直径，

∴DH=2DF，

在Rt△OFD中，sin∠AOD=，

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60=°，

∴DH=2DF=2．

考点：

1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．

7．如图，△ABC内接于⊙O，且AB作⊙O的切线PD交CA的延长线于点

F．

为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点DP，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点

（1）求证：

DP∥AB；

（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．【答案】详见解析

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由

∠ACD=∠BCD=45，°则∠DAB=∠ABD=45，°所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．

（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到

AD

AB

10

52；由△ACE为等腰直角三角形，得到

2

2

AE

CE

AC

6

DE=42，则

2

32，在Rt△AED中利用勾股定理计算出

2

CD=7

2，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD

PA

AD

5

2

，所以PA=

5

PD，

PC

PD

CD

7

2

7

7

PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．

5

【详解】

解：

（1）证明：

如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90．°

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45．°∴∠DAB=∠ABD=45．°∴△DAB为等腰直角三角形．∴DO⊥AB．

∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．

∴DP∥AB．

（2）在Rt△ACB中，，

∵△DAB为等腰直角三角形，∴．

∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴

在Rt△AED中，

∴．

∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45．°∴∠PAD=∠PCD．

又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴

75

∴PA=PD，PC=PD．

5

7

又∵PC=PA+AC，∴7

PD+6=

5

PD，解得PD=．

5

7

8．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，

．

，

．

（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）3π

【解析】

【分析】

（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．

（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】

解：

（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．

（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30，°

∵∠A=90，°∴BP=2AP

Rt△ABP中,AB=3，

由勾股定理可得：

AP=3，∴S⊙P=3π

9．如图，在Rt△ABC中，C90，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）

【答案】

（1）证明见解析

（2）2

3

3

【解析】

【分析】

（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；

（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．【详解】

（1）连接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OE，OE交AD于K．

∵?

?

，∴OE⊥AD．

AEDE

∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90，°∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE

602

2

3

22

2

是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE

3．

360

4

3

【点睛】

本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10．如图1，已知⊙O是ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点

C，连接AC，BC．

（1）求证：

AC=BC；

（2）如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点线AH，若AH//BC，求∠ACF的度数；

（3）在

（2）的条件下，若

ABD的面积为6

3，

ABD与

ABC的面积比为

的长.

A作⊙O的切

2：

9，求CD

【答案】

（1）证明见解析；

（2）30°；（3）233

【解析】

分析：

（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；

（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证

∠IAC=30，°故可得∠ABC=60=°∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；

（3）过点D作DG⊥AB，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtAEO

中，求出AO的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求CD的长.

详解：

（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．

（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J

∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，

∴AI⊥BC，

∴BI=IC，∵AC=BC，

1

∴IC=AC，

2

∴∠IAC=30，°

∴∠ABC=60=°∠F=∠ACB．

∵FC是直径，∴∠FAC=90，°

∴∠ACF=180-90°-°60=30°．°

（3）过点D作DGAB，连接AO

由

（1）

（2）知ABC为等边三角形

∵∠ACF=30，°

∴ABCF，

∴AE=BE，

∴SABC

3AB2

273，

4

∴AB=63，

∴AE33．

在RtAEO中，设EO=x，则AO=2x，

∴AO2

AE2

OE2，

2

33

2

∴2x

x2，

∴x=6，⊙O的半径为6，

∴CF=12．

∵SABD

ABDG

1

1

63DG

63，

2

2

∴DG=2．

如图，过点D作DG

CF,连接OD．

∵AB

CF,DG

AB，

∴CF//DG，

∴四边形G′DGE为矩形，

∴GE2，

CG

GECE63

211，

在Rt

OGD中，OG

5,OD6，

∴DG11，

∴CD

DG

2

CG2

11112

233

点睛：

本题是一道圆的综合题

.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等

相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.

11．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，

使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝3，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数

为4．

（1）S扇形AOB＝（大于半圆的扇形）；

（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为°

（3）在

（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将△OPD顺时针旋转α（0°≤α≤）360°

①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明