届高考数学一轮复习第九章解析几何考点规范练45椭圆文新人教B版.docx

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届高考数学一轮复习第九章解析几何考点规范练45椭圆文新人教B版

考点规范练45　椭　圆

基础巩固

1.已知椭圆的焦点坐标为（-5,0）和（5,0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为（）

A.=1B.=1

C.=1D.=1

2.（2017河南洛阳三模）已知集合M=,N=,M∩N=（）

A.⌀B.{（3,0）,（0,2）}

C.[-2,2]D.[-3,3]

3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足（）

A.a2>b2B.

C.0

4.已知圆M:

x2+y2+2mx-3=0（m<0）的半径为2,椭圆C:

=1的左焦点为F（-c,0）,若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切,则a的值为（）

A.B.1

C.2D.4

5.（2017广东、江西、福建十校联考）已知F1,F2是椭圆=1（a>b>0）的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A.B.

C.D.

6.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

7.（2017湖北八校联考）设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为. 

8.

如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1（a>b>0）的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是. 

9.已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.

（1）求△ABF2的周长;

（2）若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.

10.已知椭圆C:

=1过A（2,0）,B（0,1）两点.

（1）求椭圆C的方程及离心率;

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:

四边形ABNM的面积为定值.

能力提升

11.已知P是椭圆=1（0

A.6B.4C.2D.

12.已知椭圆=1（a>b>0）与双曲线=1（m>0,n>0）有相同的焦点（-c,0）和（c,0）,若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

13.（2017安徽马鞍山一模）已知椭圆=1（a>b>0）的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足的点P,则椭圆的离心率的范围是. 

14.已知椭圆C:

=1（a>b>0）的离心率为,点（2,）在C上.

（1）求C的方程;

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

高考预测

15.已知椭圆C:

=1（a>b>0）的上顶点为A,P是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.

（1）求椭圆C的方程;

（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:

在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?

如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.

参考答案

考点规范练45　椭　圆

1.A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.

又椭圆的焦点在x轴上,

∴椭圆方程为=1.

2.D解析集合M==[-3,3],N==R,则M∩N=[-3,3],故选D.

3.C解析由ax2+by2=1,得=1,因为焦点在x轴上,所以>0,所以0

4.C解析圆M的方程可化为（x+m）2+y2=3+m2,

则由题意得m2+3=4,即m2=1（m<0）.

所以m=-1,则圆心M的坐标为（1,0）.

由题意知直线l的方程为x=-c,

又直线l与圆M相切,所以c=1,所以a2-3=1,所以a=2.

5.B解析∵F1,F2是椭圆=1（a>b>0）的左、右两个焦点,

∴离心率0

设点P（x,y）,由PF1⊥PF2,

得（x-c,y）·（x+c,y）=0,

化简得x2+y2=c2,联立方程组

整理,得x2=（2c2-a2）·≥0,

解得e≥,又0

6.B解析设椭圆的一个顶点坐标为（0,b）,一个焦点坐标为（c,0）,

则直线l的方程为=1,即bx+cy-bc=0,

短轴长为2b,由题意得×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=.

7.解析由题意知a=3,b=.

由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.

在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,

由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=,所以|PF1|=6-|PF2|=,所以.

8.解析由题意得B,C,F（c,0）,所以.因为∠BFC=90°,所以=0.所以c2-=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以e=.

9.解

（1）∵F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,

∴过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.

∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.

（2）设直线l的方程为x=my-1,

由得（m2+2）y2-2my-1=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y1+y2=,y1y2=-.

∵AF2⊥BF2,∴=0,

∴=（x1-1）（x2-1）+y1y2

=（my1-2）（my2-2）+y1y2

=（m2+1）y1y2-2m（y1+y2）+4

=-2m·+4==0.

∴m2=7.

∴△ABF2的面积S=·|F1F2|·.

10.

（1）解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.

又c=,所以离心率e=.

（2）证明设P（x0,y0）（x0<0,y0<0）,则+4=4.

又A（2,0）,B（0,1）,

所以直线PA的方程为y=（x-2）.

令x=0,得yM=-,

从而|BM|=1-yM=1+.

直线PB的方程为y=x+1.

令y=0,得xN=-,

从而|AN|=2-xN=2+.

所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|BM|

=

=

==2.

从而四边形ABNM的面积为定值.

11.C解析设椭圆右焦点为F2,取PF1的中点M,连接OM,=2,则|OM|=4,在△F1PF2中,OM是中位线.

故PF2的长等于8,|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1|=2,故选C.

12.C解析因为椭圆=1（a>b>0）与双曲线=1（m>0,n>0）有相同的焦点（-c,0）和（c,0）,所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=,n2=,所以=c2,化为,所以e=.

13.解析∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足的点P,∴||·||cos<>=,

4c2=-2||·||cos<>,

||+||=2a,

可得+2||·||=4a2,

∴4c2=4a2-2||·||-b2.

∴2||·||=3a2-3c2≤2,

当且仅当||=||时,等号成立.

可得,解得e≥.又0

14.

（1）解由题意有=1,解得a2=8,b2=4.

所以C的方程为=1.

（2）证明设直线l:

y=kx+b（k≠0,b≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（xM,yM）.

将y=kx+b代入=1,

得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0.

故xM=,yM=k·xM+b=.

于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

15.解

（1）F（c,0）,A（0,b）,由题设可知=0,得c2-c+=0,①

又点P在椭圆C上,

可知=1,即a2=2.②

又b2+c2=a2=2,③

①③联立解得,c=1,b2=1.

故所求椭圆的方程为+y2=1.

（2）当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,

整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.（*）

因为方程（*）有且只有一个实根,又2k2+1>0,

所以Δ=0,得m2=2k2+1.

假设存在M1（λ1,0）,M2（λ2,0）满足题设,则由

d1·d2=

=

=

=1对任意的实数k恒成立,

所以解得

当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.

综上,存在两个定点M1（1,0）,M2（-1,0）,使它们到直线l的距离之积等于1.