六年级数学思维训练数论综合二.docx
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六年级数学思维训练数论综合二
2014年六年级数学思维训练:
数论综合二
一、兴趣篇
1.有4个不同的正整数,它们中任意2个数的和都是2的倍数,任意3个数的和都是3的倍数.要使这4个数的和尽可能小,这4个数应该分别是多少?
2.已知算式(1+2+3+…+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问:
共有多少个满足要求的自然数n?
3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有4种.所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少?
4.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组?
5.两个不同两位数的乘积为完全平方数,它们的和最大可能是多少?
6.n个自然数,它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问:
n最小是多少?
7.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=52﹣32,16就是一个“智慧数”,请问:
从1开始的自然数列中,第2008个“智慧数”是多少?
8.将100!
﹣5分别除以2,3,4,…,100,可以得到99个余数(余数有可能为0).这99个余数的和是多少?
9.小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院,小悦每隔2天去一次,冬冬每隔4天去一次,阿齐每隔6天去一次.今天他们三人都去电影院,将来会有连续三天都有人去电影院.如果今天是第1天,那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天?
10.有三个连续的自然数,它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数.这三个数中最小的一个是多少?
二、拓展篇(共12小题,满分0分)
11.一个正整数,如果加上100是一个完全平方数,如果加上168,则是另一个完全平方数,则这个正整数是 .
12.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6,两数之和为1998.满足上述条件的数一共有多少组?
13.冬冬往一个水池里扔石子.第一次扔l颗石子,第二次扔2颗石子,第三次扔3颗石子,第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数.请问:
冬冬最少需要扔多少次?
14.数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦,聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数.同学们,你们知道这个数可能是多少吗?
15.在一个正整数的所有约数中,个位数字为0,1,2,…,9的数都出现过,这样的正整数最小是多少?
16.求最小的正整数n,使得2006+7n是完全平方数.
17.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列.
18.有一些自然数,它们不能用三个不相等的合数之和来表示.这样的自然数中的最大一个是多少?
19.有些数既能表示成5个连续自然数的和,又能表示成6个连续自然数的和,还能表示成7个连续自然数的和.例如:
105就满足上述要求,105=19+20+21+22+23;105=15+16+17+18+19+20;105=12+13+14+15+16+17+18.请问:
在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数?
20.一个特殊的圆形钟表只有一根指针,指针每秒转动的角度为连续自然数数列.现在设定指针第一秒转动的角度为a度(a为小于360的整数),则其第二秒转动a+l度,第三秒转动a+2度…如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置,那么a一共有几种设定方法?
最小可以被设成多少?
21.某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问:
这一家的电话号码是什么数?
22.在等差数列1,8,15,22,29,36,43,…中,如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+l个数乘积的末尾0的个数少3个,那么n最小是多少?
三、超越篇(共8小题,满分0分)
23.有一些正整数,它可以表示成连续20个正整数的和,而且当把它表示成连续正整数之和(至少2个)的形式时,恰好有20种方法.这样的正整数最小是多少?
(写出质因数分解)
24.有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式,例如:
33=4×6+9.请问:
不能表示成这种形式的自然数最大是多少?
25.在给定的圆周上有100个点.任取一点标上1;按顺时针方向从标有1的点往后数2个点,标上2;从标有2的点再往后数3个点,标上3…依此类推,直至在圆周上标出100.对于圆周上的这些点,有的点可能标上多个数,有的点可能没有被标数.请问:
标有100的那个点上标出的数最小是多少?
26.三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏,小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安.小安告诉小强和小花,他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上.小安写好后,将其中一张纸藏起来,把另一张纸亮出来给小强和小花看(这张纸上写着2008).小安请小强和小花互猜对方所选的数,小强首先宣称他无法确定小花所选的数,小花听完小强的话后,也说她无法确定小强所选的数.请问:
小花所选的数是什么?
27.已知三个互不相等的正整数成等比数列,且三个数的乘积是完全平方数,那么这三个数的和最小是多少?
28.是否存在一个完全平方数,它的每一位上的数字全都相同(至少是两位数)?
如果存在,请写出一个;如果不存在,请说明理由.
29.有一根均匀木棍,先用红色刻度线将它分成m等份,再用蓝色刻度线将它分成n等份,m>n.然后按所有刻度线将该木棍锯成小段,一共可以得到170根长短不一的小棍,其中最长的小棍恰有100根.求m和n.
30.是否存在这样的自然数:
在这个数后面重写一遍这个数,新组成的数是一个完全平方数?
如果存在,请举例;如果不存在,请说明理由.
ﻬ
2014年六年级数学思维训练:
数论综合二
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1.有4个不同的正整数,它们中任意2个数的和都是2的倍数,任意3个数的和都是3的倍数.要使这4个数的和尽可能小,这4个数应该分别是多少?
【分析】首先从被2、3整除数的特征入手,根据被3除的余数特征分析探讨得出答案即可.
【解答】解:
任意两数之和是2的倍数,说明这4个数要么都是2的倍数,要么都不是2的倍数.
任意三数之和是3的倍数,分析几种假设:
1、假设这四个数都是三的倍数﹣﹣情况可以成立;
2、假设其中一个数是三的倍数﹣﹣这要求剩下三个数两两相加或三个相加都是3的倍数,而三个不是3倍数的数两两相加是无法得到3的倍数的数的(不是3的倍数的数与3相除得的余数只能是1和2,而1和2拿出3个来两两相加是无法都得到3的),不成立.
3、假设其中两个数是三的倍数﹣﹣同样要求剩下的两个数中任意一个或者两个相加都是3的倍数,与假设违背,不成立.
4、假设其中三个数是三的倍数﹣﹣要求剩下的一个数必须是三的倍数,同样与假设违背,不成立.
因此,这四个数必须都是3的倍数(其中一个可为0)
列出3的倍数(含0)
0、3、6、9、12、15、18、21、24、27
从中取出4个数,这四个数全是2的倍数:
0、6、12、18
从中取出4个数,这四个数不能是2的倍数:
3、9、15、21
很明显,0、6、12、18符合尽可能小的要求.
所以这四个数为0、6、12、18.
2.已知算式(1+2+3+…+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问:
共有多少个满足要求的自然数n?
【分析】1到n是n个连续自然数的和,将2007平均分给n个数,所得的n个数仍是连续的自然数,
要将2007平均分成n份,所以2007能被n整除,即n是2007的约数.
2007=1×3×3×223,约数共有6个(1,3,9,223,669,2007).
题目要求n大于1,去掉1,
当n=3时,原式=1+2+3+669×3=670+671+672
当n=9时,原式=1+2+3+…+9+223×9=224+225+…+232
当n=223时,原式=1+…+223+9×223=10+11+…+232
当n=669时,原式=1+…+669+3×669=4+5+…+672
当n=2007时,原式=1+…+2007+1×2007=2+3+…+2008
【解答】解:
假设这n个自然数为 k+11,k+2,…,k+n+n,
则(k+1+1)+(k+2)+…+(k+n+n)=(1+2+3+.1+2+3+…+n+n)+2007
得nk=2007(n,k为自然数)
因为:
2007=3×3×223
所以2007的约数有3,9,223,669,2007,
所以共15种情况.
答:
共有5个满足要求的自然数n.
3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有4种.所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少?
【分析】在所有的质数中,从小到大的那一组至少是41+4=45.于是对45、46、47根据题意进行拆分,从而找出满足上述条件的自然数中最小的一个数,解决问题.
【解答】解:
在所有的质数中,从小到大的那一组至少是41+4=45.
按题目要求分析,45有如下12种方法:
45=3+42=5+40=7+38=11+34=13+32=17+28=19+26=23+22=29+16=31+14=37+8=41+4
按题目要求分析,46有如下7种方法:
46=2+44=7+39=11+35=13+33=19+27=31+15=37+9
按题目要求分析,47有如下7种方法:
47=2+45=3+44=5+42=7+40=11+36=13+34=17+30=19+28=23+24=29+18=27+10=41+6=43+4
因此,满足题意的最小自然数是47.
4.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组?
【分析】可设甲、乙两个自然数分别为a、b,则:
a2﹣ab=a(a﹣b)=2008=2×2×2×251,依此可求2008的约数的个数,进一步即可求解.
【解答】解:
设甲、乙两个自然数分别为a、b,则:
a2﹣ab=a(a﹣b)=2008=2×2×2×251,
2008的约数共有(3+1)×(1+1)=8(个),
那么满足条件的解共有8÷2=4组.
答:
满足上述条件的自然数有4组.
5.两个不同两位数的乘积为完全平方数,它们的和最大可能是多少?
【分析】从最大的两位数99进行分析,得到满足条件的另外一个乘数,得到它们的和,再分析两位数98,进一步即可求解.
【解答】解:
最大的两位数是99,99=9×11,另外一个乘数要含因数11,最大是4×11=44,和=99+44=143;
还有一种情况是98=2×49,另外一个乘数含因数2,最大是2×36=72,和=98+72=170.
答:
它们的和最大可能是170.
6.n个自然数,它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问:
n最小是多少?
【分析】设它们的平均数为x,则nx×x=2008,即nx2=2008,由此即可得出答案.
【解答】解:
设它们的平均数为x,则nx×x=2008,即nx2=2008,因为2008=2×2×2×251,所以nx2=2008=502×22.
答:
n最小是502.
7.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=52﹣32,16就是一个“智慧数”,请问:
从1开始的自然数列中,第2008个“智慧数”是多少?
【分析】如果一个数是智慧数,就能表示为两个正整数的平方差,设这两个数分别m、n,设m>n,即智慧数=m2﹣n2=(m+n)(m﹣n),因为m,n是正整数,因而m+n和m﹣n就是两个自然数.要判断一个数是否是智慧数,可以把这个数分解因数,分解成两个整数的积,看这两个数能否写成两个正整数的和与差.
【解答】解:
1不能表示为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+1=(k+1)2﹣k2(k=1,2,…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.
对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)2﹣(k﹣1)2(k=2,3,…).
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.
对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,2,3,…),设4k+2=x2﹣y2=(x+y)(x﹣y),其中x,y为正整数,
当x,y奇偶性相同时,(x+y)(x﹣y)被4整除,而4k+2不被4整除;
当x,y奇偶性相异时,(x+y)(x﹣y)为奇数,而4k+2为偶数,总得矛盾.
所以不存在自然数x,y使得x2﹣y2=4k+2.即形如4k+2的数均不为“智慧数”.
因此,在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”,此后,每连续四个数中有三个“智慧数”.
因为2008=1+3×669,4×(669+1)=2680,
所以2680是第2008个“智慧数”,即第2008个“智慧数”是2680.
8.将100!
﹣5分别除以2,3,4,…,100,可以得到99个余数(余数有可能为0).这99个余数的和是多少?
【分析】设a÷b=c…d,a、b、c、d都是整数,则a=cb+d,d
﹣5则100!
=a+5=cb+d+5=b[c+(d+5)÷b]=bm,可得g=c+(d+5)÷b;因为g为整数,c为整数,所以d+5必为b的倍数,d<b,且d≥0,然后分类讨论,求出将100!
﹣5分别除以2,3,4,…,100,得到的余数的情况,进而求出这99个余数的和是多少即可.
【解答】解:
设a÷b=c…d,a、b、c、d都是整数,
则a=cb+d,d<b;
令a=100!
﹣5
则100!
=a+5=cb+d+5=b[c+(d+5)÷b]=bm,
可得g=c+(d+5)÷b;
因为g为整数,c为整数,
所以d+5必为b的倍数,d
所以可推得:
(1)除数b=2,d+5=6,则d=1,
(2)除数b=3,d+5=6,则d=1,
(3)除数b=4,d+5=8,则d=3,
(4)除数b=5,d+5=0,则d=0,
(5)除数b=6,d+5=6,则d=1,
当b>5时,余数d=b﹣5,
因此这99个余数的和为:
1+1+3+1+2+3…+95=5+95+(1+94)×47=4565.
9.小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院,小悦每隔2天去一次,冬冬每隔4天去一次,阿齐每隔6天去一次.今天他们三人都去电影院,将来会有连续三天都有人去电影院.如果今天是第1天,那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天?
【分析】根据题意,可得小悦每3天去一次,冬冬每5天去一次,阿齐每7天去一次,然后分别求出三人第几天去电影院,找出最早出现的具有上述性质的连续三天是哪几天即可.
【解答】解:
根据题意,可得小悦每3天去一次,冬冬每5天去一次,阿齐每7天去一次,
可得小悦第1天、第4天、第7天、第10天、第13天、第16天、第19天、第22天…去电影院,
冬冬第6天、第11天、第16天、第21天、第26天、第31天、第36天、第41天…去电影院,
阿齐第8天、第15天、第22天、第29天、第36天、第43天、第50天、第57天…去电影院,
所以最早出现的具有上述性质的连续三天是第6天、第7天、第8天.
答:
最早出现的具有上述性质的连续三天是第6天、第7天、第8天.
10.有三个连续的自然数,它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数.这三个数中最小的一个是多少?
【分析】平方是10的倍数,则原数也是10的倍数.设第一个数是10x,由题意得(10x+1)2是9的倍数:
100x2+20x+1,1+2+1=4,x和x2的各位相加是9y+5;
(10x+2)2是8的倍数:
(100x2+40x+4)÷8=12.5x2+5x+0.5,其中12.5x2+0.5是整数,x2必须是奇数.
符合条件的最小x=5,进而解决问题.
【解答】解:
设第一个数是10x,得:
(10x+1)2是9的倍数:
100x2+20x+1,1+2+1=4,x和x2的各位相加是9y+5;
(10x+2)2是8的倍数:
(100x2+40x+4)÷8=12.5x2+5x+0.5,其中12.5x2+0.5是整数,x2必须是奇数.
符合条件的最小x=5
最小的是5×10=50
答:
这三个数中最小的一个是50.
二、拓展篇(共12小题,满分0分)
11.一个正整数,如果加上100是一个完全平方数,如果加上168,则是另一个完全平方数,则这个正整数是156 .
【分析】根据题意,可设所求的数为n,由题意,得:
n+168=a2…
(1),n+100=b2…
(2),然后用
(1)式减去
(2)式,得到68=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),由于68=1×68=2×34=4×17,只有三种情况,即:
①a+b=68,a﹣b=1;②a+b=34,a﹣b=2;③a+b=17,a﹣b=4;对这三种情况进行讨论,得出答案.
【解答】解:
设所求的数为n,由题意,得:
n+168=a2…
(1)
n+100=b2…
(2)
(1)﹣
(2),得:
68=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
由于68=1×68=2×34=4×17,只有三种情况,即:
①a+b=68,a﹣b=1;
②a+b=34,a﹣b=2;
③a+b=17,a﹣b=4;
因为①a与b没有整数解,排除;
②算出a=18,b=16,所以:
n=182﹣168=162﹣10=156;
③a与b没有整数解,排除.
综上,只有n=156,即为所求的数.
故答案为:
156.
12.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6,两数之和为1998.满足上述条件的数一共有多少组?
【分析】设甲乙独有的因数分别是x、y,(x、y互质),则x+y=1998÷6=333,因为333÷2=166…,用166减去甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数,再减去甲乙独有的因数中均含因数37的数的个数,求出满足条件的数一共有多少组即可.
【解答】解:
设甲乙独有的因数分别是x、y,(x、y互质),
则x+y=333,
因为333÷2=166…,
甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数:
166÷3=55…1,
即甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数是55,
由x=37时,y=37×8;x=37×2时,y=37×7;x=37×4时,y=37×5;
可得甲乙独有的因数中均含因数37的数的个数是3,
所以满足上述条件的数一共有:
166﹣55﹣3=108(组).
答:
满足条件的数一共有108组.
13.冬冬往一个水池里扔石子.第一次扔l颗石子,第二次扔2颗石子,第三次扔3颗石子,第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数.请问:
冬冬最少需要扔多少次?
【分析】由题意可知,本题是一个等差数列高斯求和的题,欲求应扔石头的次数,即数列的项数,我们可设应扔n次,那么根据高斯求和可求出所扔石子总数为:
1+2+3+…+n=
×(n+1).依题意知,
×(n+1)能被106整除,因此可设
×(n+1)=106a,(a为106的整数倍)即n×(n+1)=212a,把212分解质因数得:
212a=2×2×53a根据n与n+1为两个相邻的自然数,可知2×2×a=52(或54).当2×2×a=52时,a=13.当2×2×a=54时,a=13
a不是整数,不符合题意舍去.因此,n×(n+1)=52×53=52×(52+1),即n=52,所以冬冬应扔52次.
【解答】解:
设冬冬应扔n次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为,
1+2+3++n=
×(n+1),
依题意知,
×(n+1)能被106整除,因此可设
×(n+1)=106a,
即n×(n+1)=212a,
又212a=2×2×53a,根据n与n+1为两个相邻的自然数,可知2×2×a=52(或54).
当2×2×a=52时,a=13.
当2×2×a=54时,a=13
,a不是整数,不符合题意舍去.
因此,n×(n+1)=52×53=52×(52+1),
所以n=52,冬冬应扔52次.
答:
冬冬最少需要扔52次.
14.数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦,聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数.同学们,你们知道这个数可能是多少吗?
【分析】根据题意,可得这个两位数的约数个数只能是2,即这个两位数是质数,然后找出两位数中的质数即可.
【解答】解:
根据题意,可得这个两位数的约数个数只能是2,
即这个两位数是质数,
所以这个数可能是:
11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.
答:
这个数可能是:
11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.
15.在一个正整数的所有约数中,个位数字为0,1,2,…,9的数都出现过,这样的正整数最小是多少?
【分析】就是求1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的最小公倍数,用最基本的求最小公倍数的方法就可求出,是2520.
【解答】解:
10=2×5
9=3×3
8=2×2×2
6=2×3
4=2×2
这个正整数最小是:
2×2×2×3×3×5×7
=72×5×7
=360×7
=2520
答:
这样的正整数最小是2520.
16.求最小的正整数n,使得2006+7n是完全平方数.
【分析】先找到比2006大的最接近2006的完全平方数为2025,令2006+7n=2025,得到关于n的方程,解方程得到n的值,根据n为正整数舍去;再找到比2006大的最接近2006的完全平方数为2116,得到关于n的方程,再根据题意进行判断,直到找到为止.
【解答】解:
因为442=1936,452=2025,
所以2006+7n=2025
n=
(不合题意舍去)
因为462=2116,
所以2006+7n=2116
n=
(不合题意舍去)
因为472=2209,
所以2006+7n=2209
n=29
答:
最小的正整数n的值为29.
17.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列.
【分析】要使两位数组成的等比数列越长,则首项、公比应越小,所以首项为10,公比为2,据此求出这个最长的等比数列即可.
【解答】解:
要使两位数组成的等比数列越长,
则首项、公比应越小,
所以首项为10,公比为2,
因此这个最长的等比数列是10、20、40、80.
18.有一些自然数,它们不能用三个不相等的合数之和来表示.这样的自然数中的最大一个是多少?
【分析】最小三个合数的和是18,因而17是满足条件的数,若m>18,可以分m是奇数和偶数两种情况证明不满足题意.
【解答】解:
最小三个合数是4,6,8,4+6+8=18,故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数,
当m>18时,若m=2k>18,则m=4+6+2(k﹣5),
若m=2k﹣1>18,则m=4+9+2(k﹣7)即任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和,
故m=17.
答:
这样的自然数中的最大一个是17.
19.有些数既能表示成5个连续自然数的和,又能表示成6个连续自然数的和,还能表示成7个连续自然数的和.例如:
105就满足上述要求,105=19+20+21+22+23;105=15+16+17+18+19+20;105=12+13+14+15+16+17+18.请问:
在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数?
【分析】该数能表示连续5个自然