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1、六年级数学思维训练数论综合二201年六年级数学思维训练:数论综合二 一、兴趣篇1.有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数.要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少?2.已知算式(1+2+3+n）2007的结果可表示为n（n）个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数？3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有4种所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少?4.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组?5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大

2、可能是多少？6n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到208.请问:最小是多少？.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=523,6就是一个“智慧数”,请问:从1开始的自然数列中，第008个“智慧数”是多少?将!5分别除以2,3,4，00,可以得到99个余数（余数有可能为0）.这99个余数的和是多少?小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔天去一次,冬冬每隔4天去一次,阿齐每隔天去一次.今天他们三人都去电影院,将来会有连续三天都有人去电影院.如果今天是第1天,那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天?10有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10

3、、9、8的倍数这三个数中最小的一个是多少?二、拓展篇（共1小题,满分0分）11一个正整数，如果加上100是一个完全平方数,如果加上18,则是另一个完全平方数，则这个正整数是 .12.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是，两数之和为198.满足上述条件的数一共有多少组?13.冬冬往一个水池里扔石子.第一次扔l颗石子,第二次扔2颗石子,第三次扔3颗石子,第四次扔4颗石子他准备扔到水池的石子总数是0的倍数.请问：冬冬最少需要扔多少次？1数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数.同学们,你们知道这个数可能是多少吗？15在一个正整数的所有约数中,个位数字为0，1,2

4、,，9的数都出现过,这样的正整数最小是多少？16求最小的正整数n,使得2006+7n是完全平方数17请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列1有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示.这样的自然数中的最大一个是多少？19.有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成个连续自然数的和例如：1就满足上述要求,15=19+2+21+223；15=15+16+18+20;10512+3+14+5+1+718请问：在1至00中一共有多少个满足上述要求的数？20一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列.现在设定指针第一秒转动的角度为度（a

5、为小于360的整数）,则其第二秒转动a+l度，第三秒转动a度如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么一共有几种设定方法?最小可以被设成多少?21某住宅区有1家住户，他们的门牌号分别是,，,12.他们的电话号码依次是1个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于,并且门牌号是的这一家的电话号码也能被13整除,问：这一家的电话号码是什么数？22.在等差数列1，8，15，2，36，43，中,如果前n个数乘积的末尾0的个数比前+l个数乘积的末尾0的个数少3个,那么最小是多少？ 三、超越篇（共8小题,满分0分）23有一些正整数，它可以表示成连续20个正

6、整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和(至少2个）的形式时，恰好有0种方法这样的正整数最小是多少？(写出质因数分解)2有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如:334+.请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？5.在给定的圆周上有100个点.任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点,标上2;从标有2的点再往后数个点,标上3依此类推,直至在圆周上标出100对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数,有的点可能没有被标数请问：标有10的那个点上标出的数最小是多少？26.三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏,小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安小安告诉小强

7、和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上.小安写好后，将其中一张纸藏起来,把另一张纸亮出来给小强和小花看(这张纸上写着008）.小安请小强和小花互猜对方所选的数,小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数.请问：小花所选的数是什么？7已知三个互不相等的正整数成等比数列,且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？2.是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同(至少是两位数)?如果存在，请写出一个;如果不存在,请说明理由.2.有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份,再用蓝色刻度线将它分成等份,n.然后按所有刻度线将该木棍

8、锯成小段,一共可以得到17根长短不一的小棍,其中最长的小棍恰有100根求m和n.0是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数?如果存在,请举例；如果不存在,请说明理由. 2014年六年级数学思维训练:数论综合二参考答案与试题解析 一、兴趣篇1.有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是的倍数，任意3个数的和都是3的倍数.要使这个数的和尽可能小,这4个数应该分别是多少？【分析】首先从被、3整除数的特征入手,根据被3除的余数特征分析探讨得出答案即可【解答】解：任意两数之和是2的倍数,说明这个数要么都是的倍数，要么都不是2的倍数.任意三数之和是3的倍数,分析几种假

9、设：1、假设这四个数都是三的倍数情况可以成立；、假设其中一个数是三的倍数这要求剩下三个数两两相加或三个相加都是的倍数,而三个不是3倍数的数两两相加是无法得到3的倍数的数的(不是3的倍数的数与3相除得的余数只能是1和2，而1和拿出个来两两相加是无法都得到3的）,不成立.3、假设其中两个数是三的倍数同样要求剩下的两个数中任意一个或者两个相加都是3的倍数,与假设违背,不成立4、假设其中三个数是三的倍数要求剩下的一个数必须是三的倍数,同样与假设违背,不成立.因此,这四个数必须都是的倍数（其中一个可为0）列出3的倍数（含0）0、3、6、1、8、21、24、2从中取出个数，这四个数全是2的倍数：、6、2、

10、18从中取出个数,这四个数不能是2的倍数:3、9、15、2很明显,0、6、12、18符合尽可能小的要求所以这四个数为0、6、1、82.已知算式(1+3+n）+207的结果可表示为n(1)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n？【分析】1到是n个连续自然数的和,将2007平均分给个数,所得的n个数仍是连续的自然数，要将2007平均分成n份，所以007能被n整除，即n是200的约数.200=133223，约数共有6个（1,，23，669,0）题目要求大于1，去掉，当n3时,原式=+2+3+663=70+67+67当n9时,原式=1+39+2239=24+22+232当n=23时，原式

11、=1+22392310+11+22当n=69时,原式=+669+394+5+67当n=207时,原式=1+2012007=2+208【解答】解:假设这n个自然数为k+11，k+，,k+,则 （1+)+（k+2）+(nn)=（+2+3+.1+23+n+n）+2007得nk=2007（n,k为自然数） 因为：007=33223所以007的约数有，,2,9，207，所以共15种情况答:共有5个满足要求的自然数n 3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中,从小到大的那一组至

12、少是4+4=5.于是对45、4、4根据题意进行拆分,从而找出满足上述条件的自然数中最小的一个数,解决问题.【解答】解：在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=5.按题目要求分析,45有如下2种方法:45=342=5+40=+38=1134=13+32=7+28=96=23+22=9+1631+1=37+8=41+4按题目要求分析,46有如下7种方法:462+44=73913=13+33=192=3+15=39按题目要求分析，有如下7种方法:47=4=4=5+42=+011+6=3+4=170=19+28=2324=29+18=710=41+=434因此，满足题意的最小自然数是47 4.

13、甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小208.满足上述条件的自然数有几组？【分析】可设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：aab=a（b)=008=2225,依此可求208的约数的个数,进一步即可求解【解答】解：设甲、乙两个自然数分别为a、b,则:a2ab=a（b）=2008=22251,2008的约数共有（3+1）（+1)=8(个），那么满足条件的解共有824组.答:满足上述条件的自然数有4组 两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少?【分析】从最大的两位数99进行分析,得到满足条件的另外一个乘数，得到它们的和,再分析两位数,进一步即可求解【解答】解:最大的两位数是9，9991,

14、另外一个乘数要含因数1,最大是41144,和=99+4414；还有一种情况是9=249,另外一个乘数含因数2,最大是72，和=98+7170.答：它们的和最大可能是70.6n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到200请问：n最小是多少?【分析】设它们的平均数为,则nxx=2008，即x2=2008,由此即可得出答案.【解答】解：设它们的平均数为，则nxx=2008，即nx2=200,因为208=22251，所以n2008522答：n最小是507一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=5232，6就是一个“智慧数”,请问：从开始的自然数列中,第20个“智慧数

15、”是多少?【分析】如果一个数是智慧数,就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m,即智慧数=m22=（m+）（n）,因为m，n是正整数,因而m+n和n就是两个自然数要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”对于大于1的奇正整数21，有2k=(k+1)2（k=1,2，）所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.对于被4整除的偶数4k，有=(+1)(1)2（k，3，)即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.对于被除余

16、2的数4k+(k,1，2,，)，设4k+2=xy2(x+y)（xy)，其中，y为正整数,当，奇偶性相同时,(y)（xy)被4整除，而4k+不被4整除；当,y奇偶性相异时,（x)(xy)为奇数，而k2为偶数,总得矛盾所以不存在自然数x，y使得x2y2=4+即形如4k+2的数均不为“智慧数”因此,在正整数列中前四个正整数只有为“智慧数”，此后,每连续四个数中有三个“智慧数”因为2008=1+3669,4（669+)=2680，所以280是第208个“智慧数”,即第2008个“智慧数”是268.8.将100!5分别除以2，3,4,00，可以得到9个余数(余数有可能为0)这个余数的和是多少?【分析】设

17、ab=cd，、c、都是整数，则a=cb+d,db;令=100!5 则10！=a+5=cb+d+5=c+(+5）=b，可得gc+(d+)b；因为g为整数,c为整数,所以+5必为的倍数,db,且d0，然后分类讨论，求出将100!5分别除以，3,4,，00,得到的余数的情况，进而求出这99个余数的和是多少即可【解答】解:设ab=cd,a、b、c、d都是整数，则a=+d,b；令a=100!5则10!=a+5=b+d+5bc+(+）=bm，可得gc+（d5）；因为g为整数，c为整数,所以d必为b的倍数，d5时,余数d=b5,因此这99个余数的和为：11+31+2+395595+(1+94）4=455.小

18、悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院,小悦每隔2天去一次,冬冬每隔4天去一次，阿齐每隔6天去一次今天他们三人都去电影院,将来会有连续三天都有人去电影院如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？【分析】根据题意,可得小悦每3天去一次,冬冬每天去一次,阿齐每7天去一次,然后分别求出三人第几天去电影院,找出最早出现的具有上述性质的连续三天是哪几天即可.【解答】解:根据题意,可得小悦每天去一次，冬冬每5天去一次,阿齐每7天去一次,可得小悦第天、第天、第7天、第10天、第3天、第16天、第9天、第22天去电影院,冬冬第6天、第11天、第6天、第21天、第天、第3天、第36天、第41天去电

19、影院,阿齐第8天、第15天、第22天、第29天、第36天、第3天、第0天、第5天去电影院，所以最早出现的具有上述性质的连续三天是第天、第7天、第8天答：最早出现的具有上述性质的连续三天是第6天、第7天、第8天.10.有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、的倍数这三个数中最小的一个是多少？【分析】平方是1的倍数,则原数也是10的倍数.设第一个数是10x,由题意得(10x+1）2是9的倍数:x+20x+1,1+21=4，x和x的各位相加是y+5;（1x+2）2是8的倍数：(00x2+40x+4)=15+5x+5,其中1x+0.5是整数,2必须是奇数.符合条件的最小x=5,进而解决问

20、题【解答】解：设第一个数是10x，得：（0x+）2是9的倍数：10x22x+1,1+2+1,和x2的各位相加是9y+5；(10x2)2是8的倍数:(100x2+40+4）8=12.+5x+0.，其中12.5x2+.是整数,x2必须是奇数符合条件的最小=5最小的是510=5答:这三个数中最小的一个是50二、拓展篇（共12小题，满分0分）11一个正整数，如果加上00是一个完全平方数,如果加上1，则是另一个完全平方数，则这个正整数是 15.【分析】根据题意，可设所求的数为n，由题意,得:n+16=a(1），n10=b2（2),然后用(1)式减去(2）式，得到68a2b2=(a+b)（ab)，由于68

21、=68=34=417,只有三种情况，即:a+=68,ab=1；+b=34，ab=2； a+=17，ab4;对这三种情况进行讨论,得出答案.【解答】解：设所求的数为n，由题意,得：+16a2（1)n+100=b2(2）(1）(2)，得：68=a2b2=(a+)（a），由于8=168=23=17,只有三种情况，即：+b=68,b=1;a=4，b=; =17,ab=； 因为a与没有整数解,排除; 算出a=1,b=1,所以：n=12168=1621=16； a与b没有整数解,排除 综上，只有n=1，即为所求的数故答案为:.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为198.满足上述条件的数一共有多

22、少组?【分析】设甲乙独有的因数分别是、y,(x、y互质),则x+y=996=33，因为33266，用16减去甲乙独有的因数中均含因数的数的个数,再减去甲乙独有的因数中均含因数7的数的个数，求出满足条件的数一共有多少组即可【解答】解:设甲乙独有的因数分别是x、y，(x、y互质）,则+=33，因为3216,甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数:66=551，即甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数是55,由x=7时，8；32时，77;x=374时,y=35；可得甲乙独有的因数中均含因数37的数的个数是3,所以满足上述条件的数一共有:16553=10（组)答：满足条件的数一共有1组. 1.冬冬往一个水

23、池里扔石子.第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子,第四次扔颗石子他准备扔到水池的石子总数是106的倍数请问:冬冬最少需要扔多少次？【分析】由题意可知，本题是一个等差数列高斯求和的题，欲求应扔石头的次数，即数列的项数，我们可设应扔n次,那么根据高斯求和可求出所扔石子总数为:1+(n+1).依题意知,(+1）能被106整除,因此可设(n1)=10a，（a为06的整数倍)即（+1）=212a,把2分解质因数得:212a253a根据n与n1为两个相邻的自然数,可知2252(或54）当222时，a=3当22a=54时，a=1,a不是整数，不符合题意舍去因此,n(n+)=525352(52

24、+）,即n，所以冬冬应扔52次【解答】解:设冬冬应扔n次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为,1+2+3+n=(n+),依题意知，(n+1）能被10整除，因此可设（n+1）=16a,即n（n+1)=1a，又12a=25a，根据n与n+1为两个相邻的自然数，可知a=52(或54)当22a=52时，a=3.当2a=4时,a=1，a不是整数，不符合题意舍去因此,n(n+1）525=52(52+1),所以n=2,冬冬应扔52次答：冬冬最少需要扔2次14数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦,聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数.同学们,你们知道这个数可能是多少吗？【分析】根据题意，可得这个两位数的约

25、数个数只能是2，即这个两位数是质数,然后找出两位数中的质数即可【解答】解:根据题意,可得这个两位数的约数个数只能是,即这个两位数是质数，所以这个数可能是:1、13、17、19、23、2、1、37、41、4、47、3、59、1、67、71、3、79、8、9、9答:这个数可能是:11、13、1、19、3、29、1、3、41、43、4、53、59、67、71、73、7、83、89、715在一个正整数的所有约数中,个位数字为0,1,2，,的数都出现过，这样的正整数最小是多少？【分析】就是求1,2,3，4,5,6，7,8，0的最小公倍数,用最基本的求最小公倍数的方法就可求出,是2520.【解答】解:1=

26、29=338=22262=22这个正整数最小是：22357757052答：这样的正整数最小是25016求最小的正整数，使得0+n是完全平方数.【分析】先找到比0大的最接近2006的完全平方数为2025,令6+7n=25,得到关于n的方程，解方程得到n的值，根据n为正整数舍去;再找到比006大的最接近200的完全平方数为16，得到关于n的方程,再根据题意进行判断,直到找到为止【解答】解：因为4421936，45=225，所以200+7025 (不合题意舍去)因为42211，所以206+7n2116 n=（不合题意舍去）因为4=2209，所以2006+n229 n=9答：最小的正整数n的值为29.

27、17.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列【分析】要使两位数组成的等比数列越长,则首项、公比应越小，所以首项为10，公比为,据此求出这个最长的等比数列即可【解答】解：要使两位数组成的等比数列越长,则首项、公比应越小，所以首项为0,公比为,因此这个最长的等比数列是1、0、40、8018有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示.这样的自然数中的最大一个是多少?【分析】最小三个合数的和是18，因而17是满足条件的数，若m18,可以分是奇数和偶数两种情况证明不满足题意.【解答】解：最小三个合数是，6,8,4+88,故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数，当m18时,若mk1，则m=4+2(k5）,若m=2k118，则m=+9+（k7）即任意大于1的整数均可表示为三个互不相等的合数之和,故m=7答:这样的自然数中的最大一个是1719.有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和例如:105就满足上述要求,5=920+21+22+2;15=1516+7+1+；1051+1+14+16+171请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数?【分析】该数能表示连续5个自然