21点游戏.docx
《21点游戏.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《21点游戏.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
21点游戏
纸牌游戏21点
摘要
大多数赌场使用6副牌或8副牌玩这种游戏，以防止“数牌点”，在你的模拟中使用两副牌（共104张）。
只有2位参与者，你和庄家。
游戏开始时每人得到两张牌，对于牌面为2~10的牌，点数和面数相同；对于为人脸（J、Q、K）的牌，点数为10；牌面为A的牌，点数为1或者11.游戏的目的是得到总数尽量接近21点的牌，不得超过（超过称“爆了”），并使你得到的总点数多于庄家。
在21点游戏的赌桌前，往往一套牌（由四到六副组成）在用掉一半左右之后，才会换一副洗过的新牌。
这一规则使得21点游戏中有了“算牌”的机会，玩家可以记住前面几局中哪些牌已经打出，哪些牌还留在剩下的牌里。
因此在21点游戏中，玩家并不只是听天由命，可以主动做出很多决定。
比如，手里有一张10，一张5，是否继续要牌呢？
最后获胜的概率各是多少呢？
这要受很多变数影响。
除了刚刚提到的算牌（正在使用的这一套扑克牌打出哪些牌，还剩哪些牌）以外，还要考虑到目前其他玩家手里都有什么牌，做出这个选择后其他玩家怎样回应……这个概率的计算很复杂，不像骰子、轮盘那样直接容易。
我们可以在电脑上使用一种名为“蒙特卡洛模拟”的方法来帮助我们。
在进行21点的纸牌游戏过程中玩家总是受到各种因素的影响，因此，我们所得到的模型以及模型得到的结果都是一个平均的趋势，不能用来说明玩家的真正得分，不能确定玩家每一次的得分。
关键词：
纸牌游戏21点、蒙特卡洛模拟
一、问题重述
纸牌游戏21点（Blackjack）.构造并实施21点游戏的蒙特卡洛模拟。
21点游戏规则如下：
大多数赌场使用6副牌或8副牌玩这种游戏，以防止“数牌点”，在你的模拟中使用两副牌（共104张）。
只有2位参与者，你和庄家。
游戏开始时每人得到两张牌，对于牌面为2~10的牌，点数和面数相同；对于为人脸（J、Q、K）的牌，点数为10；牌面为A的牌，点数为1或者11.游戏的目的是得到总数尽量接近21点的牌，不得超过（超过称“爆了”），并使你得到的总点数多于庄家。
如果开始两张牌的总点数恰为21（A-10或A-人脸），称为21点，自动成为胜者（若你和庄家都得到21点，则为平局，你的赌注仍在台上）。
靠21点赢时，付给你3赔2，即1.5赔1（1元赌注赢1.5元，且1元赌注仍保留）。
如果你和庄家都未得到21点，你想要多少张牌就可以取多少张牌，一次一张，使总数尽量接近21点，如果你超过了21点，就输了，游戏结束。
一旦你对牌的点数满意，你就“打住”，然后庄家按照下列规则取牌：
当庄家牌的点数为17、18、19、20和21时，就打住。
若庄家牌的点数小于或等于16，必然取牌。
庄家总把A的点数记为11，除非这样使他或她爆了（这时A的点数记为1）。
例如，庄家的A-6组合是17点，不是7点（庄家没有选择权），且庄家必须打住在17点上。
而若庄家有A-4组合（15点），又拿了一张K，那么新的总点数是15，因为A回到点数1（使之不超过21点），庄家还要再取牌。
如果庄家超过21点，你就赢了（赢赌注的钱，每1元赌注赢1元）。
如果庄家的总点数超过你，你将输掉全部赌注。
如果庄家和你的总点数相同，为平局（你不输也不赢）。
赌场中这个游戏的刺激之处在于，庄家开始的两张牌一张明、一张暗，所以你不知道庄家牌地总点数，必须根据那张明牌赌一把。
在这个项目模拟中你不用考虑这种情况，你需要做的是：
用两幅牌做12次游戏，你可以有无限的赌资（不希望吗？
），每次下赌2元。
两副牌玩过一次后，用两幅新牌（104张）继续玩。
这时记录你的得分（加或者减X元），然后下一幅牌从0开始。
输出是12次游戏的12个结果，可以用平均数或总数决定你的总成绩。
你的策略是什么？
完全由你决定！
可是这里有一招——假定庄家的牌你都看不到（于是你没有庄家牌这一点信息）。
选择一种游戏策略并在整个模拟中运行。
给出模拟算法的说明书、计算机程序以及12次游戏的输出结果。
游戏策略：
玩家的点数大于18或大于庄家明牌的两倍时我停止取牌
二、问题分析
在21点游戏的赌桌前，往往一套牌（由四到六副组成）在用掉一半左右之后，才会换一副洗过的新牌。
这一规则使得21点游戏中有了“算牌”的机会，玩家可以记住前面几局中哪些牌已经打出，哪些牌还留在剩下的牌里。
因此在21点游戏中，玩家并不只是听天由命，可以主动做出很多决定。
比如，手里有一张10，一张5，是否继续要牌呢？
最后获胜的概率各是多少呢？
这要受很多变数影响。
除了刚刚提到的算牌（正在使用的这一套扑克牌打出哪些牌，还剩哪些牌）以外，还要考虑到目前其他玩家手里都有什么牌，做出这个选择后其他玩家怎样回应……这个概率的计算很复杂，不像骰子、轮盘那样直接容易。
我们可以在电脑上使用一种名为“蒙特卡洛模拟”的方法来帮助我们。
蒙特卡洛模拟方法的名称就是来源于蒙特卡洛赌场，不过这种方法可不只是为了赌场而发明，物理、工程、金融、军事上都有应用。
进行蒙特卡洛模拟就是，首先要编写一个21点扑克牌的电脑程序（就像电脑游戏一样），然后让几个电脑玩家不停地互相玩。
在玩了几万局、几十万局甚至更多局数的时候，就可以统计出某一个特定牌局（例如手里有一张10，一张5）的所有可能情况，便能算出要牌和不要牌赢的可能性哪个大。
三、模型的建立与求解
21点的蒙特卡罗算法
输出玩家的得分SCORE
第1步初始化：
COUNTER=0.
第2步得到[1，13]内的随机数
.计算
的和SUM1（玩家总点数
），
的和SUM2（庄家总点数
）；同时庄家现出自己的第一张牌
.
第3步判断
的值，若＞10，则将其值改为10，并重新计算SUM1.
第4步判断
的值，若＞10，则将其值改为10，并重新计算SUM1.
第5步判断
的值，若＞10，则将其值改为10，并重新计算SUM2.
第6步判断
的值，若＞10，则将其值改为10，并重新计算SUM2.
第7步判断
的值是否为1，若,等于1将其值改为11，重新计算SUM1，并判断SUM1是否大于21，若大于21则将
改为1，并重新计算SUM1，若没有大于21则继续第9步;若
不为1，直接进行第9步.
第8步判断
的值是否为1，若,等于1将其值改为11，重新计算SUM1，并判断SUM1是否大于21，若大于21则将
改为1，并重新计算SUM1，若没有大于21则继续第10步;若
不为1，直接进行第10步.
第9步判断
的值是否为1，若,等于1将其值改为11，重新计算SUM2，并判断SUM2是否大于21，若大于21则将
改为1，并重新计算SUM2，若没有大于21则继续第11步;若
不为1，直接进行第11步.
第10步判断
的值是否为1，若,等于1将其值改为11，重新计算SUM2，并判断SUM2是否大于21，若大于21则将
改为1，并重新计算SUM2，若没有大于21则继续第12步;若
不为1，直接进行第12步.
第11步玩家判断SUM1是否大于等于18或大于庄家第一张牌
的两倍，若是则玩家停止取牌，跳到第14步；若没有则继续取牌，得到[1，13]内的随机数
，进行第13步.
第12步同第4步和第8步，判断
的值，若＞10，则将其值改为10，并将其值加到SUM1；接着判断
的值是否为1，若,等于1将其值改为11，重新计算SUM1，并判断SUM1是否大于21，若大于21则将
改为1，并重新计算SUM1，若没有大于21则回到第12步;若
不为1，直接进行第12步.
第13步庄家判断SUM2是否大于16，若是则庄家不取牌，则跳到第16步；否则庄家取牌，得到[1，13]内的随机数
，进行第15步.
第14步同第6步和第10步，判断
的值，若＞10，则将其值改为10，并将其值加到SUM2；接着判断
的值是否为1，若,等于1将其值改为11，重新计算SUM1，并判断SUM2是否大于21，若大于21则将
改为1，并重新计算SUM2，若没有大于21则回到第14步;若
不为1，直接回到第14步.
第15步比较SUM1和SUM2的大小，
If（SUM1>21&&SUM2>21）or（SUM1=21&&SUM2=21），则为平局，得分SCORE=0；
IfSUM1=21&&UM2≠21，则玩家赢，得分SCORE=3；
If（SUM2=21&&SUM2≠21）or（21>SUM2>SUM1），则庄家赢，得分SCORE=-2；
If21>SUM1>SUM2则玩家赢，得分SCORE=2；
If21>SUM1=SUM2则为平局，SCORE=0.
第16步输出得分SCORE.
停止.
可以使用matlab实现上述蒙特卡罗算法，Matlab程序段如下：
functiony=dian21（）
a=ones（8,13）;%产生8*13的矩阵
numz=0;
numw=0;
pz=[];
pw=[];
totz=0;%庄家总点数
totw=0;%玩家总点数
[numz,pz,a]=choose（numz,pz,a）;
totz=totz+pz（numz）;
[numz,pz,a]=choose（numz,pz,a）;
totz=totz+pz（numz）;
[numw,pw,a]=choose（numw,pw,a）;
totw=totw+pw（numw）;
[numw,pw,a]=choose（numw,pw,a）;
totw=totw+pw（numw）;
while1
if（totw>18）|（totw>（2*pz
（1）））
break;
else
[numw,pw,a]=choose（numw,pw,a）;
totw=totw+pw（numw）;
end
end
while1
if（totz>=17）&（totz<=21）
break;
end
iftotz<17
[numz,pz,a]=choose（numz,pz,a）;
totz=totz+pz（numz）;
else
b=0;
fori=1:
numz
ifpz（i）==11
pz（i）=1;
totz=totz-10;
b=1;
break;
end
end
ifb==0
break;
end
end
end
fprintf（'玩家总点数SUM1=%d\n',totw）;
fprintf（'玩家总点数SUM1=%d\n',totz）;
SCORE=0;
if（totw>21&&totz>21）||（totz==21&&totw==21）
SCORE=0;
elseif（totw==21&&totz~=21）
SCORE=3;
elseif（totz==21&&totw~=21）||（21>totz&&totz>totw）
SCORE=-2;
elseif21>totw&&totw>totz
SCORE=2;
elseif21>totw&&totw==totz
SCORE=0;
end
end
end
end
end
fprintf（'玩家得分SCORE=%d\n',SCORE）;
function[num,p,a]=choose（num,p,a）
while1
m=fix（rand
（1）*8）+1;
n=fix（rand
（1）*13）+1;
ifa（m,n）==1
a（m,n）=0;
num=num+1;
ifn==1
ifnum<21
n=11;
end
end
ifn>10
n=10;
end
p=[pn];
break;
end
end
运行结果总结表1：
玩家最终点数
庄家最终点数
玩家得分
14
24
2
21
17
3
26
20
-2
21
17
3
22
22
0
13
21
-2
22
17
-2
25
20
-2
19
17
2
17
20
-2
20
20
0
19
17
2
玩家平均得分
0.167
四、模型的评价
当比赛局数增加，上述游戏策略的玩家平均得分如下表。
局数
玩家平均得分
1000
9.2000E-02
2000
5.0000E-03
5000
-1.0200E-02
10000
-2.7900E-02
20000
-1.9600E-02
50000
-4.3540E-02
100000
-1.2880E-02
可见这种方法并不是很好，玩到最后，玩家的的平均得分不在为正，二是负值。
下面对上述游戏策略进行该进。
新的游戏策略：
玩家的总点数大于16就停止取牌
具体玩家应在手中的牌的总数为多少时停牌，可以用下面的程序段进行测试，其中flag变量就是我们向知道的决策数，运行程序，在命令窗口键入局数n（比如100000）和决策数（比如16），程序会输出在这个决策数下n局比赛玩家的平均得分。
functiony=dian21（）
n=input（'请输入局数：
'）;
SUM=0;
flag=input（'请输入决策数：
'）;%这是一个决策数，我们可以改变其值，测试哪一个值最优
fori=1:
n
a=ones（8,13）;%产生8*13的矩阵
numz=0;
numw=0;
pz=[];
pw=[];
totz=0;%庄家总点数
totw=0;%玩家总点数
[numz,pz,a]=choose（numz,pz,a）;
totz=totz+pz（numz）;
[numz,pz,a]=choose（numz,pz,a）;
totz=totz+pz（numz）;
[numw,pw,a]=choose（numw,pw,a）;
totw=totw+pw（numw）;
[numw,pw,a]=choose（numw,pw,a）;
totw=totw+pw（numw）;
while1
if（totw>flag）%|（totw>（2*pz
（1）））
break;
else
[numw,pw,a]=choose（numw,pw,a）;
totw=totw+pw（numw）;
end
end
while1
if（totz>=17）&（totz<=21）
break;
end
iftotz<17
[numz,pz,a]=choose（numz,pz,a）;
totz=totz+pz（numz）;
else
b=0;
fori=1:
numz
ifpz（i）==11
pz（i）=1;
totz=totz-10;
b=1;
break;
end
end
ifb==0
break;
end
end
end
%fprintf（'玩家总点数=%d，',totw）;
%fprintf（'庄家总点数=%d\n',totz）;
SCORE=0;
if（totw>21&&totz>21）||（totz==21&&totw==21）
SCORE=0;
elseif（totw==21&&totz~=21）
SCORE=3;
elseif（totz==21&&totw~=21）||（21>totz&&totz>totw）||（totw>21&&totz<21）
SCORE=-2;
elseif（21>totw&&totw>totz）||（totz>21&&totw<21）
SCORE=2;
elseif21>totw&&totw==totz
SCORE=0;
end
end
end
end
end
SUM=SUM+SCORE;%fprintf（'玩家得分SCORE=%d\n',SCORE）;
end
fprintf（'玩家得分平均值SCORE=%d\n',SUM/n）;
function[num,p,a]=choose（num,p,a）
while1
m=fix（rand
（1）*8）+1;
n=fix（rand
（1）*13）+1;
ifa（m,n）==1
a（m,n）=0;
num=num+1;
ifn==1
ifnum<21
n=11;
end
end
ifn>10
n=10;
end
p=[pn];
break;
end
end
运行结果总结表2：
flag=15
flag=16
flag=17
局数
玩家平均得分
局数
玩家平均得分
局数
玩家平均得分
100000
3.7690E-02
100000
7.8620E-02
100000
2.5100E-02
100000
4.8770E-02
100000
6.6580E-02
100000
2.3450E-02
100000
4.1190E-02
100000
6.6530E-02
100000
2.0810E-02
可见，在flag=16时玩家的平均得分最高。
所以最终决策是：
玩家的总点数大于16就停止取牌
五、参考文献
[1]叶其孝姜启源译，数学建模（第3版），机械工业出版社，2005年1月。
[2]XX贴吧，赌场是如何利用概率赢利的，
[3]XX百科，21点，
升级会员 