中考数学专题复习八几何证明题1001015213.docx
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中考数学专题复习八几何证明题1001015213
专题八：
几何证明题
【问题解析】
几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位•根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低•但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型.
【热点探究】
类型一：
关于三角形的综合证明题
【例题11（2016•四川南充）已知△ABN和厶ACM位置如图所示，AB=ACAD=AE/仁/2.
（1）求证:
BD=CE
（2）求证：
/M=/N.
【分析】
（1）由SAS证明△ABD^AACE得出对应边相等即可
（2）证出/BAN/CAM由全等三角形的性质得出/B=/C,由AAS证明△ACIWAABN得出对应角相等即可.
【解答】
（1）证明：
在厶ABD和厶ACE中，IAD二恵
•••△ABD^AACE（SAS,
•••BD=CE
（2）证明：
T/1=/2,
•/1+/DAE/2+/DAE
即/BAN/CAM
由
（1）得：
△ABD^AACE
•/B=/C,
在厶ACM^D^ABN中，|ZC訓二上BAN,
•••△ACMmABN（ASA,
•••/M=N.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.
【同步练】
（2016•山东省荷泽市・3分）如图，△ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A，D,E在同一直线上，连接BE
（1）如图1，若/CABMCBAMCDEMCED=50
1求证：
AD=BE
2求/AEB的度数.
（2）如图2,若/ACBMDCE=120,CM^^DCE中DE边上的高，BN%AABE中AE边
类型二：
关于四边形的综合证明题
【例题2]（2016•山东省滨州市•10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平
分线分别交AB,BDBC于点E，F，G,连接EDDG
（1）请判断四边形EBGD勺形状，并说明理由；
（2）若/ABC=30，/C=45,ED=*^，点H是BD上的一个动点，求HG+HC勺最
小值.
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质.
【分析】
（1）结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=G即可.
（2）作EMLBC于M,DN^BC于N,连接EC交BD于点H此时HG+H（最小，在RT^EMC中，求出EMMC即可解决问题.
【解答】解：
（1）四边形EBGD是菱形.
理由：
•••EG垂直平分BD
•••EB=EDGB=GD
•••/EBD=/EDB
•••/EBD=/DBC
•••/EDF玄GBF
在厶EFD和△GFB中，
fZEDF=ZGBF
Z£FI>ZGFB,
IDF=BF
•△EFD^AGFB
•ED=BG
•BE=ED=DG=GB
•四边形EBGD是菱形.
（2）作EMLBC于M,DNLBC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HCt小,
在RT^EBM中，I/EMB=90,/EBM=30,EB=ED=^C,
•em=7be=I：
•••DE//BC,EMLBC,DN!
BC,
•EM/DINEM=DN=,MN=DE=2|,
在RT^DNC中,DNC=90,/DCN=45,
NDC/NCD=45,
•DN=NC=',
•••MC=3|-,
在RT^EMC中，•••/EMC=90,EM=；.MC=3:
-,
•EC^^汀=」刁-7亍1=10丨一.
•/HG+HC=EH+HC=,EC
•HG+HC勺最小值为10[.
B2VC
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂
直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.
【同步练】
（2016•山东省济宁市•3分）如图，正方形ABCD勺对角线ACBD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接E0.
（1）已知BD=「-，求正方形ABCD勺边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
类型三：
关于圆的综合证明题
【例题3】（2016•山东潍坊）正方形ABCD内接于O0,如图所示，在劣弧「上取一点E,连接DEBE,过点D作DF//BE交OO于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE
【分析】
（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出
/BED=/BAD=90，/BFD2BCD=90，/EDF=90，进而得出答案；
（2）直接利用正方形的性质疋的度数是90°,进而得出BE=DF则BE=DG
【解答】证明：
（1厂••正方形ABCD内接于O0,
•••/BEDdBAD=90，/BFD2BCD=90,
又•DF//BE
•••/EDF+dBED=180,
•••/EDF=90,
•四边形EBFD是矩形;
（2））•正方形ABCD内接于O0,
•的度数是90°,
•••/AFD=45,
又GDF=90,
•••/DGFdDFC=45,
•DG=DF
又••在矩形EBFD中,BE=D
【同步练】
（枣庄市2015中考-24）如图，在△ABC中，/ABC=90，以AB的中点0为圆心、
0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE,0E
（1）判断DE与OO的位置关系，并说明理由；
（2）求证：
BC=CD?
20；
（3）若cos/BAD=3,BE=6,求0E的长.
类型四：
关于相似三角形的证明问题
【例题4】（2016•黑龙江齐齐哈尔・8分）如图，在△ABC中，ADLBQBELAC垂
足分别为D,E,AD与BE相交于点F.
（1）求证：
△ACSABFD
（2）当tan/ABD=1AC=3时，求BF的长.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】
（1）由/C+ZDBF=90,/C+ZDAC=90,推出/DBF2DAC由此即可证明.
（2）先证明AD=B»由厶ACDo^BFD得霍=器=1，即可解决问题.
pF,BPI
【解答】
（1）证明：
TADLBC,BELAC,
•••ZBDFZADCZBEC=90,
•••ZC+ZDBF=90,ZC+ZDAC=90,
•ZDBFZDAC
（2）vtanZABD=1ZADB=90
•AD=BD
•二=F•.丽ED
•BF=AC=3
【同步练】
（2016•湖北武汉•10分）在厶ABC中，P为边AB上一点
⑴如图1，若/ACP=ZB,求证：
AC=AP-AB
（2）若M为CP的中点，AC=2,
1
BP的长.
图3
女口图2,若/PBM=ZACPAB=3，求BP的长；
2如图3,若/ABC=45°,/A=ZBM=60°,直接写出
【达标检测】
1.（2016•黑龙江哈尔滨・8分）已知：
如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上,AQLBE于点QDPIAQ于点P.
（1）求证：
AP=BQ
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与
2.（2016•四川内江）（9分）如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD连接BF.
⑴求证：
D是BC的中点；
（2）若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
图6
3.（烟台市2015中考-23）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,
BC的交点分别为D、E,且1='•.
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由.
（2）已知半圆的半径为5,BC=12求sin/ABD的值.
A
2
直于弦
BC垂足为点B,点D在PC上.设/PCB=a，/POC=3.
求证：
tana?
tan
c
B
D
（2）若/ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？
证明你的结论.
4.（2015?
内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中,E、F
分别为边ABCD的中点，BD是对角线.
（1）求证：
△ADE^ACBF
6.（2015?
梧州，第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D
重合，BP的垂直平分线分别交CDAB于E、F两点，垂足为Q过E作EFUAB于H.
（1）求证：
HF=AR
（2）若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.
B£
7
AFh丑
7.（2015?
北海,第25题12分）如图，ABCD为OO的直径，弦AE//CD连接BE交
CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使/PED=/C.
（1）求证：
PE是OO的切线；
（2）求证：
ED平分/BEP
（3）若OO的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
【参考答案】
类型一：
关于三角形的综合证明题
【同步练】
（2016•山东省荷泽市・3分）如图，△ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE
（1）如图1，若/CAB=/CBA=/CDEMCED=50
1求证：
AD=BE
2求/AEB的度数.
（2）如图2,若/ACBMDCE=120,CM^^DCE中DE边上的高，ABE中AE边
【分析】（1［①通过角的计算找出/ACDMBCE再结合△ACB和厶DCE均为等腰三角形可得出“AC=BCDC=EC，利用全等三角形的判定（SAS即可证出厶ACD^^BCE由此即可得出结论AD=BE
②结合①中的△ACD^^BCE可得出/ADCMBEC再通过角的计算即可算出/AEB的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用
（1）的结论，
通过解直角三角形即可求出线段ADDE的长度，二者相加即可证出结论.
【解答】
（1）①证明：
•••/CABMCBAMCDEMCED=50,
•••/ACBdDCE=180-2X50°=80°.
•••/ACBdACD#DCB/DCEMDCB#BCE
•••/ACDMBCE
•/△ACB和厶DCE均为等腰三角形，
•AC=BCDC=EC
rAC=BC
在厶人。
。
和厶bce中，有Zacd=Zbce,
DC=EC
•••△ACD^ABCE（SAS,
•••AD=BE
②解：
•••△ACD^^BCE
•••/ADCMBEC
•••点A,D,E在同一直线上，且/CDE=50,
•••/ADC=180-ZCDE=130,
•••/BEC=130.
vZBECZCEDZAEB且ZCED=50,
•ZAEBZBEC-ZCED=130-50°=80°.
（2）证明：
•••△ACB和厶DCE均为等腰三角形，且ZACBZDCE=120,
•ZCDMZCEM=-X（180°-120°）=30°.
•/CMLDE
•ZCMD=9°0,DM=EM
在Rt△CMD中,ZCMD=9°,ZCDM=3°,
•DE=2DM=2,=2-CM
tanz_CDH°
vZBECZADC=180-30°=150°,ZBECZCEMZAEB
•ZAEBZBEC-ZCEM=15°-30°=120°,
•ZBEN=180-120°=60°.
口匚—
BN
BE=
glnZBEU
在Rt△BNE中，ZBNE=90,ZBEN=60,
—^-BN.
3
vAD=BEAE=AD+DE
BN+2.「CM
•AE=BE+DE=-
3
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及
角的计算，解题的关键是：
（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD^^BCE
（2）找出线段ADDE的长.本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时,
最后根据全等三
利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,角形的判定定理证出三角形全是关键.
类型二：
关于四边形的综合证明题
【同步练】
（2016•山东省济宁市•3分）如图，正方形ABCD勺对角线ACBD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接E0.
（1）已知BD=「一，求正方形ABCD勺边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
【考点】正方形的性质.
【分析】
（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE!
AF,进一步得出/BAF=/BCN然后通
过证得△ABF^ACBN得出AF=CN进而证得厶ABF^ACOM根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=「CM
【解答】解：
（1）v四边形ABCD是正方形，
•••△ABD是等腰直角三角形，
•••2AB^bD,
BD=~,
•AB=1,
•正方形ABCD的边长为1;
（2）CN=.：
CM
证明：
•••CF=CAAF是/ACF的平分线，
•CE!
AF,
•/AEN/CBN=90,
•••/ANE/CNB
•/BAF=/BCN
在厶ABF和厶CBN中,
rZBAF=ZBCN
AB=BC
•••△ABF^ACBN（AAS,
•••AF=CN
•••/BAF=/BCN/ACN=/BCN
•••/BAF/OCM
•••四边形ABCD是正方形，
•AC丄BD,
•/ABF=/COM=90,
•△ABF^ACOM
【同步练】
（枣庄市2015中考-24）如图，在△ABC中，/ABC=90，以AB的中点O为圆心、
OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DEOE
（1）判断DE与OO的位置关系，并说明理由；
（2）求证：
BC=CD?
2O；
3
（3）若cos/BAD=—,BE=6,求OE的长.
思路分析：
本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.故对于题
（1）
可以连接ODBD,由AB为圆O的直径，得到/ADB为直角，从而得出三角形BCD为直角三
角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE利用等边对等
角得到一对角相等，再由OA=OD利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到/ADO与/CDE互余，可得出/ODE为直角，即DE垂直于半径OD可得出DE为圆0的切线；
对于题
（2）首先可证明OE：
＞AABC的中位线，贝UAC=2OE然后证明厶ABSABDC根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
对于题（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，之后根据三角形中位线定理
OE的长即可求得.
解题过程：
（1）证明：
连接ODBD
•/AB为圆O的直径，
•••/ADB=90,
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
1
•CE=DE=BE=BC
2
•••/C=ZCDE
•/OA=OD
•••/A=ZADO
•••/ABC=90，即/C+ZA=90,
•••/ADOZCDE=90，即ZODE=90,
•DELOD又OD为圆的半径，
•DE为OO的切线；
（2）证明：
TE是BC的中点，O点是AB的中点，
•••。
丘是厶ABC的中位线，
•AC=2OE
•/ZC=ZC,ZABCZBDC
•△ABC^ABDC
•BCAC，即BCf=AC?
CD
CDBC
•BCf=2CD?
O；
（3）解：
Tcos/BAD=?
5
•••sin/BAC=BC二4AC5'
又•••BE=6E是BC的中点，即BC=12
•AC=15
又•••AC=2OE
115
••OE=1AC=15.
规律总结:
熟练把握切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关
键•要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.
类型四：
关于相似三角形的证明问题
【同步练】
（2016•湖北武汉•10分）在厶ABC中，P为边AB上一点.
⑴如图1，若/ACP=ZB,求证：
AC=AP-AB
（2）若M为CP的中点，AC=2,
1
BP的长.
如图2,若/PBM=ZACPAB=3，求BP的长;
【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，勾股定理。
【答案】
（1）证厶ACP^ABC即可；（2［①BP=.5:
②.7_1
【解析】
（1）证明:
ACP=ZB,ZBAC=ZCAP/•△ACP^AABC二ACAB=AP:
2
AC•••AC=AP-AB
（2）①如图，作CQ/BM交AB延长线于Q,设BP=x,贝UPQ=2x
•••/PBM=ZACP/PAC=ZCAQAP3AACQ由AC=AP-AQ得：
22=（3-x）
（3+x）,•x=5
即BP=5;
2如图：
作CQLAB于点Q作CP=CP交AB于点F0,
TAC=2,•-AQ=1,CQ=BQ=.3,
AP0旦
MP一BP
设PoQ=PQ=1—x,BP=,3—1+x,
•••/BPM=ZCPoA,/BMP=ZCAPo,APoO^AMPB•
MRPoC=1rc2=（间；（1_x）=AR?
BP=x（73—1+x）,解得x^''7-<3
•BP=3—1+7-3=.7-1.
【达标检测】
1.（2016-黑龙江哈尔滨-8分）已知：
如图，在正方形ABCD中,点E在边CD上,
AQLBE于点QDPIAQ于点P.
（1）求证：
AP=BQ
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.
【分析】
（1）根据正方形的性质得出AD=BA/BAQMADP再根据已知条件得到
/AQBMDPA判定△AQB2ADPA并得出结论；
（2）根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析.
【解答】解：
（1）v正方形ABCD
•••AD=BAZBAD=90，即/BAQ#DAP=90
•••DPIAQ
•••/ADP#DAP=90
•••/BAQ#ADP
•AQLBE于点QDPIAQ于点P
•••#AQB#DPA=90
•△AQB2ADPA（AAS
•AP=BQ
（2）①AQ-AP=PQ
2AQ-BQ=PQ
3
DP-AP=PQ
（9分）如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中
点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD连接BF.
⑴求证：
D是BC的中点；
⑵若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
图6
［考点］三角形例行，特殊四边形的性质与判定。
⑴证明：
•••点E是AD的中点，•••AE=DE
•••AF//BC,AFE=ZDCE/FAE=ZCDE
•△EAF^AEDC
•AF=DC
•/AF=BD,
•BD=DC即D是BC的中点.
（2）四边形AFBD是矩形•证明如下：
•/AF/BD,AF=BD,
•四边形AFBD是平行四边形.
•/AB=AC,又由
（1）可知D是BC的中点，
•AD丄BC.
•口AFBD是矩形.
3.（烟台市2015中考-23）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,
bc的交点分别为d、e,且..
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由.
思路分析:
（1）连结AE,如图，根据圆周角定理，由De|^J得/DAEdBAE由AB为直径得
/AEB=90，根据等腰三角形的判定方法即可得厶ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8,
2
接着由AB为直径得到/ADB=90，则可利用面积法计算出BD巫，然后在Rt△ABD中利用
国
勾股定理计算出AD—，再根据正弦的定义求解.
5
解题过程：
解：
（ABC为等腰三角形•理由如下：
连结AE如图，
•••丨uI-'.,
•••/DAEdBAE即AE平分/BAC
•/AB为直径，
•dAEB=90,
•AE!
BC,
•△ABC为等腰三角形；
（2）：
公ABC为等腰三角形，AE!
BC
BE=6,
•AE=卜-=8,
•/AB为直径,
•dADB=90,
在Rt△ABD中，TAB=10
BD譜
•AD=—|--=
14
•sind
14
7|
AR10
=25
5
•余E?
B吕BD?
AC
左％12=
.48
=10=
'5
规律总结:
本题考查了圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半•推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦是直径•也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理.
4.（2015?
内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第22题7分）如图，在平行四边形ABCC中，E、F
分别为边ABCD的中点，BD是对角线.
（1）求证：
△ADE^ACBF；
（2）若/ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？
证明你的结论.
乞£C
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.
分析：
（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BCAB=CD/A=ZC,又由E、
F分别为边ABCD的中点，可证得
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