《轴对称平移与旋转》全章复习与巩固知识讲解提高.docx
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《轴对称平移与旋转》全章复习与巩固知识讲解提高
《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
【学习目标】
1.了解轴对称、平移、旋转,探索它们的基本性质;
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形,能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;
3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计;认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用;
4.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决某些实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1.平移的概念:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.
要点诠释:
(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换;
(2)图形的平移有两个要素:
一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据;
(3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.
2.平移的基本性质:
由平移的概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:
经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应角相等.
要点诠释:
(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征;
(2)“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.
要点二、旋转变换
1.旋转概念:
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
2.旋转变换的性质
图形通过旋转,图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等,旋转过程中,图形的形状、大小都没有发生变化.
3.旋转作图步骤
①分析题目要求,找出旋转中心,确定旋转角.
②分析所作图形,找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向,按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④按原图形连结方式顺次连结各对应点.
4.中心对称与中心对称图形
中心对称:
把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点.
中心对称图形:
把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫中心对称图形.
5.中心对称作图步骤
①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心,并且延长至2倍,得到各点的对称点.
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
要点诠释:
图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求;
②分析设计图案所给定的基本图案;
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换,实现由基本图案到各部分图案的有机组合;
④对图案进行修饰,完成图案.
要点三、轴对称变换
1.轴对称与轴对称图形
轴对称:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也叫做这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的对应点,叫做对称点.
轴对称图形:
把一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
2.轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称,对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称,如果它们对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
3.轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点,过关键点作对称轴的垂线,并延长至2倍,得到各点的对称点.
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系:
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后,虽然对应位置改变了,但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的.
要点四、图形的全等
1.全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
要点诠释:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等,面积相等.
2.全等多边形
(1)定义:
能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角.
(2)性质:
全等多边形的对应边相等,对应角相等.
(3)判定:
边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3.全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
(1)全等三角形的性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
要点诠释:
全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
(2)全等三角形的判定
如果两个全等三角形的边、角分别对应相等,那么这两个全等三角形全等.
【典型例题】
类型一、平移变换
1.阅读理解题.
(1)两条直线a,b相交于一点O,如图①,有两对不同的对顶角;
(2)三条直线a,b,c相交于点O,如图②,则把直线平移成如图③所示的图形,可数出6对不同的对顶角;
(3)四条直线a,b,c,d相交于一点O,如图④,用
(2)的方法把直线c平移,可数出对不同的对顶角;
(4)n条直线相交于一点O,用同样的方法把直线平移后,有对不同的对顶角;
故答案为:
4050156.
【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用,关键是能根据题意得出规律.
2.操作与探究:
对数轴上的点P进行如下操作:
先把点P表示的数乘以
,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P的对应点P′.点A,B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′,其中点A,B的对应点分别为A′,B′.如图1,若点A表示的数是-3,则点A′表示的数是________;若点B′表示的数是2,则点B表示的数是_____;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合,则点E表示的数是__________.
【思路点拨】(根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′,设点B表示的数为a,根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数,设点E表示的数为b,根据题意列出方程计算即可得解;
【答案】0;3;
.
【解析】
解:
点A′:
-3×
+1=-1+1=0,
设点B表示的数为a,则
a+1=2,解得a=3,
设点E表示的数为b,则
b+1=b,解得b=
;
故答案为:
0;3;
.
【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键.
举一反三:
【变式】如图,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移距离是边BC长的两倍,则图中四边形ACED的面积为()
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.无法确定
【答案】B.
四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD,而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC.
类型二、旋转变换
3.正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,回答下列问题:
(1)在图中1,可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使△OAF变到△OBE的位置.请说出其变化过程.
(2)指出图
(1)中AF和BE之间的关系,并证明你的结论.
(3)若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上,且OE=OF(如图2),则
(2)中的结论仍然成立吗?
若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明你的理由.
【思路点拨】
(1)根据图形特点即可得到答案;
(2)延长AF交BE于M,根据正方形性质求出AB=BC,∠AOB=∠BOC,证△AOF≌△BOE,推出AF=BE,∠FAO=∠EBO,根据三角形内角和定理证出即可;
(3)延长EB交AF于N,根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,得到∠ABF=∠BCE,同法可证△ABF≌△BCE,推出AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可.
【答案与解析】
解:
(1)旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度.
(2)图
(1)中AF和BE之间的关系:
AF=BE;AF⊥BE.
证明:
延长AF交BE于M,
∵正方形ABCD,
∴AC⊥BD,OA=OB,
∴∠AOB=∠BOC=90°,
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE(SAS),
∴AF=BE,∠FAO=∠EBO,
∵∠EBO+∠OEB=90°,
∴∠FAO+∠OEB=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
(3)成立;
证明:
延长EB交AF于N,
∵正方形ABCD,
∴∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,
∵∠ABF+∠ABD=180°,∠BCE+∠ACB=180°,
∴∠ABF=∠BCE,
∵AB=BC,BF=CE,
∴△ABF≌△BCE,
∴AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°,
∴∠E+∠FAB=45°,
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°,
∴∠ANE=180°-90°=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,旋转的性质等知识点的连接和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
4.如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,E是BA延长线上一点,且AE=
AB.
①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置?
若是旋转,指出旋转中心和旋转角.
②线段BF和DE之间有何数量关系?
并证明.
【思路点拨】
(1)把△ABF以A点为旋转中心,逆时针旋转90°可得到△ADE;
(2)根据正方形的性质得到AB=AD,∠BAF=∠EAD,又F是AD的中点,AE=
AB,则AE=AF,根据旋转的定义得到△ABF以A点为旋转中心,逆时针旋转90°时,AB旋转到AD,AF旋转到AE,于是有BF=DE.
【答案与解析】
解:
(1)可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置,即把△ABF以A点为旋转中心,逆时针旋转90°可得到△ADE;
(2)线段BF和DE的数量关系是相等.理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAF=∠EAD,
∵F是AD的中点,AE=
AB,
∴AE=AF,
∴△ABF以A点为旋转中心,逆时针旋转90°时,AB旋转到AD,AF旋转到AE,即F点与E点重合,B点与D点重合,
∴BF与DE为对应线段,
∴BF=DE.
【总结升华】本题考查了旋转的性质:
旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形的性质.
举一反三:
【变式】如下图,等边△ABC经过平移后成为△BDE,则其平移的方向是;平移的距离是;△ABC经过旋转后成为△BDE,则其旋转中心是;旋转角度是度.
【答案】
解:
等边△ABC经过平移后成为△BDE,则其平移的方向是水平向右;平移的距离是AB或BD;
△ABC经过旋转后成为△BDE,则其旋转中心是B;旋转角度是120度.
类型三、轴对称变换
5.现有如图①的瓷砖若干块.
(l)用两块这样的瓷砖拼成一个长方形,使拼成的图案呈轴对称图形,请在图②的两
个长方形中各画出一种拼法(要求两种拼法不同,所画图案中的阴影部分用斜线表示);
(2)用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形,请你在图③的三个正方形中各画出一种拼法,要求同
(1);
(3)在第
(1)题中,请你计算用如图①的瓷砖拼成的所有长方形中,是轴对称图形的成功率是多少?
【思路点拨】
(1)根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形,使拼成的图案呈轴对称图形,利用轴对称图形的性质拼凑即可;
(2)利用轴对称图形的性质拼凑即可;
(3)根据所有是轴对称图形的个数,以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的成功率.
【答案与解析】
解:
(1)如图所示:
(2)如图所示:
(3)∵所有拼凑图形是16种,是轴对称图形的个数是4种,
∴是轴对称图形的成功率为:
.
【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识,同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力.趣味性强,便于操作,是一道好题.
举一反三:
【变式】(2015秋•睢宁县期中)如图,是4×4正方形网格,其中已有4个小方格涂成了黑色.现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色,使整个黑色部分图形构成轴对称图形,这样的白色小方格有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C.
解:
如图所示:
蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形,
类型四、图形的全等
6.(2016春•蓝田县期中)如图,在下列4个正方形图案中,与左边正方形图案全等的图案是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断,对选择项逐个与原图对比验证.
【答案】C.
【解析】
解:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
A、B、D图案均与题干中的图形不重合,所以不属于全等的图案,
C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合.
故选C.
【总结升华】本题考查的是全等图形的识别,主要根据全等图形的定义做题.