悬崖跳水的水池深度设定问题数学建模论文 精品.docx
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悬崖跳水的水池深度设定问题数学建模论文精品
数学建模论文
论文题目:
悬崖跳水的水池深度设定问题
摘要:
在红牛悬崖跳水世界杯比赛的背景下,本文经讨论研究了跳水水池的深度设定问题,以保证运动员的安全及投资建设水池的成本合理为目的。
对此,本文将建立物理模型,运用物理学,微分方程学,理论力学等数学方法,结合MATLAB编程进行求解。
对于问题一:
我们假设将人体设为一个均匀圆柱体,并建立物理模型,用物理动力学解题思路,对悬崖跳水物理过程细化为运动员空中、入水与水中三个运动过程,并逐个对其建立运动状态方程,结合微分方程学简化求解,最后用MATLAB软件画图展示结果,从图中得到:
男子的安全水池深度为12.85米,女子的安全水池深度为8.82米;
对于问题二:
根据物理质量公式,结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析,得出高度与质量等之间的联系,从而判断体重不同者与水池深度大小的关系,得到结果:
体重越大的人跳水时需要更深的水。
该模型建立亮点一体现在其充分运用了物理知识,同时结合微分法简化了求解难度;亮点二体现在用MATLAB软件画图展示结果,直观准确。
关键字:
物理动力学、能量转换、微分方程学、MATLAB
1问题重述
近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。
是一种非常危险、挑战人类极限的比赛,比赛规定男子跳台高度为23至28米,女子为18至23米。
我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛,那里的跳台高度是男子28米,女子20米。
需要完成的任务:
1.跳台下面的水池要多深才能安全,请大家给以计算;
2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。
2问题分析
要探讨跳水者的安全问题,需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度,从而在速度减为0时而不撞击池底而受伤,以保证跳水者的绝对安全
经分析,把跳水过程具体化,形象化后,悬崖跳水可分为三个阶段,在下文并逐个对其建立了运动状态方程:
第一阶段:
从跳板到水面;
运动员从跳板跳下,再空中完成一系列的动作之后在重力的作用下会快速自由下落,在此期间,会受到恒定不变的重力及方向向上的空气阻力,且空气阻力越来越大,使运动员做加速度减小的加速运动,并且在到达水面时速度最大。
第二阶段:
从空气到水中;
运动员入水后会受到水的阻力,抵消身体所受的重力作用,从而使身体在水中做减速运动,随着运动员入水体积的变化所受水的浮力也会变化;
第三阶段:
从水中到水池深处;
在运动员身体全部进入水中后,浮力可视为与重力相等,则运动员只受到水的阻力引起的速度改变。
直到速度为0,人体入水的最深位置即为所求深度。
3模型假设
1、假设将人体设为一个均匀圆柱体,重心位于L/2处。
且侧面光滑,不受侧面的摩擦阻力,只受到横截面积引起的流体阻力。
2、假设人体所受空气浮力较小可忽略;
3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程;
4、假设风速水速为零,不影响运动员下落;
5、假设人水短暂碰撞过程没有能量损失;
6、假设当运动员落入水中速度降为最小即速度为零时,此时的深度为安全深度零界。
7、假设在水中不产生涡流;
4符号说明
符号意义说明
H跳台到水面的高度;
L人的身高;
m运动员的质量;
Vt第一阶段结束时人体刚接触水面的瞬时速度;
V2第二阶段结束时人体完全浸入水面的瞬时速度
g重力加速度=9.8m/s2;
0水的密度=1.0×103kg/m3
空气密度=1.293kg/m3
2人的密度约为1.0×103kg/m3
t与水面撞击的时间;
s将人体视为圆柱体的横截面积;
C1空气阻力系数;
C2水的阻力系数;
Wf空气阻力对人体所做的功;
水的动力粘度=1×104pa·s
Cd水的阻力系数,由表查得为0.4
f水在水中水对人的阻力
5模型建立与求解
对于问题一:
5.1.1第一阶段:
从跳板到水面;
建立运动状态方程:
根据动能定理,
…………①
又空气阻力对人体所做的功
…………②
又由①②可得
并由MATLAB编程,分别得出了男子、女子在这一阶段的图,如下图所示:
且由以上两图,可得出结论:
男子经历第一阶段的最终速度为:
23.4172m/s;
女子经历第一阶段的最终速度为:
17.6737m/s;
5.1.2第二阶段:
从空气到水中;
运动员所受的浮力,
由以上两图可得出结论:
男子经历第二阶段的最终速度为17.6732m/s;
女子经历第二阶段的最终速度为13.1048m/s;
5.1.3第三阶段:
从水中到水池深处;
由以上两图可得出结论:
男子最终安全着底的最适深度为:
12.85m
女子最终安全着底的最适深度为:
8.82m
对于问题二:
5.2
经分析并建模可得:
,
由第一问分析的过程,同理用MATLAB编程可得出如下两图:
由以上公式和图片,可得出结论:
体重越大的人跳水时需要更深的水;
6模型评价
该模型的建立充分运用了物理学、理论力学、微分方程学,分析了悬崖跳水的整个过程,且该模型基于科学,详细的分析了跳水者在跳水过程中的速度及其受力情况,并根据实时数据计算了出了悬崖跳水的水池深度的合理设计。
以保证运动员的安全,又能使建设水池的成本得到更优化。
6.1模型的优点
(1)、本文在正确、清楚地分析了题意地基础上,建立了合理、科学的可变成实际的模型,为求水池最适合深度准备了条件;
(2)、本文的建模充分运用了物理知识,同时结合微分法简化了求解难度;亮点二体现在用MATLAB软件画图展示结果,直观准确。
(3)、本文选用了数学专用软件——MATLAB编程,且实现了图像与文字相结合的模型解说,直观准确,提升了文章可信度;
6.2模型的缺点
(1)、在假设中,本文假设将人体设为一个均匀圆柱体,重心位于L/2处,且侧面光滑,不受侧面的摩擦阻力,只受到横截面积引起的流体阻力,而且又假设了人体所受空气浮力较小可忽略,这些因素将会在模型过程中造成必然的误差
(2)、在确定空气密度、人的密度、水的动力粘度的时候,我们只是从网上查阅的资料中得到其粗略值,这与实际情况有出入。
7参考文献
[1]空气阻力对跳水成绩的影响———郭桔光等;
[2]弹丸在水介质中的运动特性仿真研究——姚养元,曹红松,刘晓雷,张会锁等;
[3]张圣勤等,《MATLAB实用教程》,北京:
机械工业出版社,2006。
[4]姜启源,谢金星,数学建模案例选集,北京:
高等教育出版社,2006。
8附录
男一:
(1)跳台至水面过程
clearall
clc
H=0:
1:
28;
C=0.865;
P=1.29;
S=1/24;
m=70;
g=9.8;
v=(-C*P*S*H+sqrt((C^2)*(P^2)*(S^2)*(H.^2)+8*(m^2)*g*H))/(2*m);
plot(H,v)
男二:
(2)空气到水中
clearall
clc
v1=23.4172;
Cd=0.4;
g=9.8;
L=0:
0.05:
1.7;
v2=sqrt(-g*L+(1-Cd)*v1^2);
plot(L,v2)
男子(3)从水中到水池深处;
clearall
clc
v2=17.6732:
-0.1:
0;
L=1.7;
Cd=0.4;
h1=v2*L/(6*Cd);
plot(v2,h1)
女子
(1):
跳台至水面过程
clearall
clc
H=0:
1:
20;
C=0.865;
P=1.29;
m=50;
g=9.8;
L=1.6;
s=m/(P*L);
v=(-C*P*s*H+sqrt((C^2)*(P^2)*(s^2)*(H.^2)+8*(m^2)*g*H))/(2*m);
plot(H,v)
女子:
(2)空气到水中
clearall
clc
v1=17.6737;
Cd=0.4;
g=9.8;
L=0:
0.05:
1.6;
v2=sqrt(-g*L+(1-Cd)*v1^2);
plot(L,v2)
女子:
(3)从水中到水池深处;
clearall
clc
v2=13.1048:
-0.1:
0;
L=1.6;
Cd=0.4;
m=50;
h1=v2*L/(6*Cd);
plot(v2,h1)