悬崖跳水的水池深度设定问题数学建模论文 精品.docx

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悬崖跳水的水池深度设定问题数学建模论文精品

数学建模论文

论文题目：

悬崖跳水的水池深度设定问题

摘要：

在红牛悬崖跳水世界杯比赛的背景下，本文经讨论研究了跳水水池的深度设定问题，以保证运动员的安全及投资建设水池的成本合理为目的。

对此，本文将建立物理模型，运用物理学，微分方程学，理论力学等数学方法，结合MATLAB编程进行求解。

对于问题一：

我们假设将人体设为一个均匀圆柱体，并建立物理模型，用物理动力学解题思路，对悬崖跳水物理过程细化为运动员空中、入水与水中三个运动过程，并逐个对其建立运动状态方程，结合微分方程学简化求解，最后用MATLAB软件画图展示结果，从图中得到：

男子的安全水池深度为12.85米，女子的安全水池深度为8.82米；

对于问题二：

根据物理质量公式，结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度与质量等之间的联系，从而判断体重不同者与水池深度大小的关系，得到结果：

体重越大的人跳水时需要更深的水。

该模型建立亮点一体现在其充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用MATLAB软件画图展示结果，直观准确。

关键字：

物理动力学、能量转换、微分方程学、MATLAB

1问题重述

近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。

是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。

我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。

需要完成的任务：

1.跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算；

2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。

2问题分析

要探讨跳水者的安全问题，需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度，从而在速度减为0时而不撞击池底而受伤，以保证跳水者的绝对安全

经分析，把跳水过程具体化，形象化后，悬崖跳水可分为三个阶段，在下文并逐个对其建立了运动状态方程：

第一阶段：

从跳板到水面;

运动员从跳板跳下，再空中完成一系列的动作之后在重力的作用下会快速自由下落，在此期间，会受到恒定不变的重力及方向向上的空气阻力，且空气阻力越来越大，使运动员做加速度减小的加速运动，并且在到达水面时速度最大。

第二阶段：

从空气到水中;

运动员入水后会受到水的阻力，抵消身体所受的重力作用，从而使身体在水中做减速运动，随着运动员入水体积的变化所受水的浮力也会变化；

第三阶段：

从水中到水池深处；

在运动员身体全部进入水中后，浮力可视为与重力相等，则运动员只受到水的阻力引起的速度改变。

直到速度为0，人体入水的最深位置即为所求深度。

3模型假设

1、假设将人体设为一个均匀圆柱体，重心位于L/2处。

且侧面光滑，不受侧面的摩擦阻力，只受到横截面积引起的流体阻力。

2、假设人体所受空气浮力较小可忽略；

3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；

4、假设风速水速为零，不影响运动员下落；

5、假设人水短暂碰撞过程没有能量损失；

6、假设当运动员落入水中速度降为最小即速度为零时，此时的深度为安全深度零界。

7、假设在水中不产生涡流；

4符号说明

符号意义说明

H跳台到水面的高度；

L人的身高；

m运动员的质量；

Vt第一阶段结束时人体刚接触水面的瞬时速度；

V2第二阶段结束时人体完全浸入水面的瞬时速度

g重力加速度=9.8m/s2；

0水的密度=1.0×103kg/m3

空气密度=1.293kg/m3

2人的密度约为1.0×103kg/m3

t与水面撞击的时间；

s将人体视为圆柱体的横截面积；

C1空气阻力系数；

C2水的阻力系数；

Wf空气阻力对人体所做的功；

水的动力粘度=1×104pa·s

Cd水的阻力系数，由表查得为0.4

f水在水中水对人的阻力

5模型建立与求解

对于问题一：

5.1．1第一阶段：

从跳板到水面;

建立运动状态方程：

根据动能定理，

…………①

又空气阻力对人体所做的功

…………②

又由①②可得

并由MATLAB编程，分别得出了男子、女子在这一阶段的图，如下图所示：

且由以上两图，可得出结论：

男子经历第一阶段的最终速度为：

23.4172m/s；

女子经历第一阶段的最终速度为：

17.6737m/s；

5.1．2第二阶段：

从空气到水中;

运动员所受的浮力，

由以上两图可得出结论：

男子经历第二阶段的最终速度为17.6732m/s；

女子经历第二阶段的最终速度为13.1048m/s；

5.1.3第三阶段：

从水中到水池深处；

由以上两图可得出结论：

男子最终安全着底的最适深度为：

12.85m

女子最终安全着底的最适深度为：

8.82m

对于问题二：

5.2

经分析并建模可得：

，

由第一问分析的过程，同理用MATLAB编程可得出如下两图：

由以上公式和图片，可得出结论：

体重越大的人跳水时需要更深的水；

6模型评价

该模型的建立充分运用了物理学、理论力学、微分方程学，分析了悬崖跳水的整个过程，且该模型基于科学，详细的分析了跳水者在跳水过程中的速度及其受力情况，并根据实时数据计算了出了悬崖跳水的水池深度的合理设计。

以保证运动员的安全，又能使建设水池的成本得到更优化。

6.1模型的优点

（1）、本文在正确、清楚地分析了题意地基础上，建立了合理、科学的可变成实际的模型，为求水池最适合深度准备了条件；

（2）、本文的建模充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用MATLAB软件画图展示结果，直观准确。

（3）、本文选用了数学专用软件——MATLAB编程，且实现了图像与文字相结合的模型解说，直观准确，提升了文章可信度；

6.2模型的缺点

（1）、在假设中，本文假设将人体设为一个均匀圆柱体，重心位于L/2处，且侧面光滑，不受侧面的摩擦阻力，只受到横截面积引起的流体阻力，而且又假设了人体所受空气浮力较小可忽略，这些因素将会在模型过程中造成必然的误差

（2）、在确定空气密度、人的密度、水的动力粘度的时候，我们只是从网上查阅的资料中得到其粗略值，这与实际情况有出入。

7参考文献

[1]空气阻力对跳水成绩的影响———郭桔光等；

[2]弹丸在水介质中的运动特性仿真研究——姚养元，曹红松，刘晓雷，张会锁等；

[3]张圣勤等，《MATLAB实用教程》，北京：

机械工业出版社，2006。

[4]姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：

高等教育出版社，2006。

8附录

男一：

（1）跳台至水面过程

clearall

clc

H=0:

1:

28;

C=0.865;

P=1.29;

S=1/24;

m=70;

g=9.8;

v=（-C*P*S*H+sqrt（（C^2）*（P^2）*（S^2）*（H.^2）+8*（m^2）*g*H））/（2*m）;

plot（H,v）

男二：

（2）空气到水中

clearall

clc

v1=23.4172;

Cd=0.4;

g=9.8;

L=0:

0.05:

1.7;

v2=sqrt（-g*L+（1-Cd）*v1^2）;

plot（L,v2）

男子（3）从水中到水池深处；

clearall

clc

v2=17.6732:

-0.1:

0;

L=1.7;

Cd=0.4;

h1=v2*L/（6*Cd）;

plot（v2,h1）

女子

（1）：

跳台至水面过程

clearall

clc

H=0:

1:

20;

C=0.865;

P=1.29;

m=50;

g=9.8;

L=1.6;

s=m/（P*L）;

v=（-C*P*s*H+sqrt（（C^2）*（P^2）*（s^2）*（H.^2）+8*（m^2）*g*H））/（2*m）;

plot（H,v）

女子：

（2）空气到水中

clearall

clc

v1=17.6737;

Cd=0.4;

g=9.8;

L=0:

0.05:

1.6;

v2=sqrt（-g*L+（1-Cd）*v1^2）;

plot（L,v2）

女子：

（3）从水中到水池深处；

clearall

clc

v2=13.1048:

-0.1:

0;

L=1.6;

Cd=0.4;

m=50;

h1=v2*L/（6*Cd）;

plot（v2,h1）