第4章货币的时间价值与利率指标.docx
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第4章货币的时间价值与利率指标
第4章一一货币的时间价值与利率指标例1：
己探明一个有工业价值的油田，目前立即开发可获利100亿元，若5年后开发，由于价格上涨等因素可获利160亿元，如果不考虑资金的时间价值，可以认为5年后开发更有利。
如果考虑资金的时间价值，现在获得100亿元，可以投资其他机会，平均每年获利15%,则5年后将有资金100X1.155
心200亿元。
因此可以认为目前开发更有利。
后一种思考问题的方法更符合现实的经济生活。
货币的时间价值就是利息，也可以理解为对货币使用的机会成本的一种补偿。
对于经济学家来说，利率就是到期收益率，即使债券工具带来的回报的现值与其现在的价值相等的利率.
一、货币时间价值的计算
（一）单利（重点讲）
1、单利利息只根据本金计算利息，本金所
生的利息不重复计息。
公式：
I=PVXiXn
（4.1）
PV：
本金或现值
i：
利率，每年利息与本金之比
I:
利息
n：
计息期数
2、单利终值
S：
本利和或终值
S=PV+I=PV（1+iXn）
（4.2）
3、单利现值的计算
PV=s
S
（4.3）
（2）复利（重点讲）
不仅本金，而且本金产生的利息也要重复计丿息、。
公式：
S=PV（1+i）n
I=S-PV=PV[（1+i）n-l]一般表达式：
S=PV（1+i/m）m*n（4.4）
m表示一年内的计息次数。
将S=PV（1+i）n变形得：
（4.
5）
为了简化计算手续，其中的（1+i）n被称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号
（S/P,1,i）表示，例如（S/P,6%,3）表示利率为6%,3年期复利终值的系数；宀为
（1+0
复利现值系数，用符号（P/S,i,n）或（P/V,i,n）表不。
复利终值二现值X复利终值系数
复利现值二终值X复利现值系数
对于单一贷款，其到期收益率是：
（4.6）
特殊情况：
当n二1时，心诗
例2：
某人有1200元，准备投入报酬率为8%的投资机会，经过多少年才可能使现有货币增加1倍？
分析：
己知PV二1200,i=8%,求n
根据S=PV（1+i）n
S=1200X2=2400（增加一倍后）所以,2400=1200（1+8%）n
即：
2=（1+8%）n
所以问题实质是已知复利终值系数的值，求期数。
查“复利终值系数表”，当i二8%时，找到系数最接近2时，n=9
例3：
某人有1200元，想在19年后使其达到原来的3倍，选择投资机会时最低可以接受的报酬率（利息率）为多少？
分析：
己知PV二1200,n=19,求i・
根据S二PV（1+i）n
S=1200X3=3600（达到原来的3倍）
所以,3600=1200（1+i）19
即：
3=（1+i）19
查“复利终值系数表”，当「19,找到与3最接近的数，这时1=6%.
例4：
某人希望8年后有100万元购买一套新房子，若银行的复利率为10%,问现在需一次存入银行多少现金？
分析:
已知S=100万,n二8年，1=10%,求PV根据S=PV（1+i）n
100=PV（1+10%）8
查“复利现值系数表”,（P/S,10%,8）=0.467,
PV=100X0.467=46.7万元。
（一）实际利率与名义利率
复利的计息期不一定总是1年，有可能是季度、月和日，当利息在1年内要复利几次时,给岀的年利率叫做名义利率。
当1年内复利几次时，实际得到的利息要比名义利率高。
例5：
本金1000元，投资5年，利率8%,分别计算每年复利一次和每季度复利一次时，其本利和与复利息是：
每年复利一次：
S=1000X（1+8%）-1269元
1=1469-1000=469元
每季度复利一次：
S=1000X（1+墮）^=1486元
4
1=1486-1000=486元
实际利率和名义利率的关系是:
，是实际利率〃是名义利率
（4.7）
（二）系列收付款的终值和现值的计算（变额年金）
付款是由一系列的付款组成，或收款额是由一系列的收款组成的，则不同时间的各次付款（收款）是按不同的时间价值换算的终值（现值）之和，这就是系列收款的终值
和现值。
系列付款的终值公式表示如下:
S=Ro（1+i）小+&（1+1）宀+……Rn_2（l+i）2+Rn
公式中的Rn是每次付款额
例6：
银行存款利率为8%,第一年年初存款（R。
）100元，第二年年初（或第一年末）存款（Ri）200元，第三年年初存款300元，第四年年初存款400元，第五年初存款
500元，问第五年年初的本利和（终值）是多少？
S二工心（1+，）
/i=0
=100X（1+8%）4~°+200X（1+8%）4_1+300
X（1+8%）4"2+400X（1+8%）4_3+500X（1+8%）4-4
=1669.91元
若要求计算第5年末的终值，则n=5,而t=4
«=0
=100X（1+8%）5_o+2OOX（1+8%）5_1+300
X（1+8%）5"2+400X（1+8%）5_3+500X（1+8%）5-4
=1803.50元
相当于把1669.91又存了一年。
即：
1669.91X（1+8%）=1803.5
系列付款现值的公式如下:
"（1+沪
（4.9）
例7：
银行存款年利率为10%,某公司第二年末需要用款10000元，第三年末需要用款15000元，第五年末需用20000元，第六年末需用10000元，问现在应该向银行存款多少才能恰好保证这几次的用款？
分析：
已知i=10%,t=2,3,5,6则：
」、+15000X」+20000X
（1+10%）2（1+10%）'
」+10000X」
（1+10%）5（1+10%）6
=37596.90
（三）年金（重点讲）
年金是系列收支的一个特例，它是指等额、定期的系列收支。
例如：
分期付款赊购、分期偿还贷款、分期支付工程款，作为债权人一方，就是分期收款。
年金有以下几类：
1、普通年金终值（后付年金）（重点）
是指在各期期末收付的年金。
100100100100
横线表示时间的延续，竖线表示支付的时刻，竖线下端的数字表示支付的金额。
普通年金终值是指其最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。
假设匸10%,n=3每年末支付年金100元，则第三年末的年金终值为：
100X（1+10%）2+100X（l+10%i）+100=331,图示如下：
0123
100
►
100X（1+10%）
100X（1+10%）2
（1）年金终值的公式：
S=A+A（1+i）+A（1+i）2+……A（l+i）n_1
利用等比数列求和公式:
称为年金终值系数，记做（S/A,i,n）
I
（2）偿债基金
偿债基金是指为使年金终值达到既定
金额每年应支付的年金数额。
例8：
杨白劳准备在5年后还清黄世仁
（还死人）100元债务，从现在起每年等额存入钱柜一笔款子，假设钱柜存款利率10%,
每年杨白劳需要存入多少钱?
根据年金终值计算公式:
—称为偿债基金系数，是年金终值（1+0-I
系数的倒数，记做（A/S,i,n）
A=100X——1——=16.38元
（$/人10%,5）
2、普通年金现值计算与定期定额贷款
（1）普通年金现值
普通年金现值是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。
例9：
你现在就准备给你的孩子3年后上大学的学费，每年学费10000元，银行利率10%,那么你现在应当给你的帐户里存入多少钱？
设年金现值为PV,则
PV=10000X（l+10%）_1+10000X（1+10%）
_2+10000X（1+10%）_3
=24868
如图：
现在第一年末第二年末第三年末
0
1
2
3
10000X
（1+10%）T
10000X
（1+10%）
10000X
（1+10%）—'
◄
计算普通年金现值的一般公式：
PV=A（1+i）^H-Ad+i）"2+……A（l+I）~n
p二A—i+h（4.13）
i
公式中的an是普通年金为1元、利率为
I
i、经过n期的年金现值，记作（P/A,i,
n）,称“年金现值系数”。
上例也可以查表
直接求得。
（2）定期定额贷款及其收益率
对于定期定额贷款的现值是通过计算
所有偿付额（利息加本金）的现值之和（公式
4.13）得到的，而息票债券则是定期支付利息的现值之和，再加上到期偿还本金的现值.
例10:
贷款额为1000元，在以后的25年中,每年偿付126元，总偿付额的现值计算如
下:
1000=126/（1+1）+
126/（l+i）2+—126/（l+i）25
即:
1000=1261丄+—+…一!
—v]
1+/（1+0（1+/）12
7.9365=[—+—+…—1
1+Z（1+0（1+0
计算定期定额贷款的到期收益率，己知年固定偿付额和贷款期限，只有到期收益率是未知数，用复利现值系数表查表可得
i=12%.
（3）息票债券的现值及到期收益率
计算息票债券的到期收益率的方法：
使该债券现在的价值与其现值相等，即通过计算所有的利息支付的现值之和与最后支付的债券面值的现值之和得到。
例11：
面值为1000美元10年期到期每年利息支付额为100美元（息票率10%）的息票债券，其现值计算如下：
PV=100/（1+i）+100/（1+i）2+-100/（1+i）10+l000/（l+i）10
表4.1票面利率为10%的10年期息票债券的到期收益率（面值=1000美元）
债券价格（美元）
到期收益率（%）
1200
7.13
1100
8.48
1000
10.00
900
11.75
800
13.81
该表揭示：
1•当息票债券价格等于其面值时，到期收益率与票面利率相等
2•息票债券价格与到期收益率负相关
3•债券价格低于面值时，到期收益率高于票面利率
（4）永续债券
这是一种没有到期日也不偿还本金的、永远进行固定利息支付的债券。
p=9
■
■
公式：
1
其中，戸=永续债券的价程
0=年支付额
（5）贴现债券的到期收益率及贴现收益率
以1年期美国国债为例，在1年到期时,按面值支付1000美元，如果该债券现价为900美元，使这一价格与1年后的1000美元的现值相等，使用公式（4・3）,
有：
900=1000/（1+i）
i=（1000-900）/900=ll.1%
对于任意的1年期贴现债券其到期收益率可以写为：
i=（F—P）/P
贴现债券面值
贴现债券现价
而贴现收益率公式则是:
._F-P360
5=距到期日天戮
切=贴现收益率
F=贴现面值
贴现债券购买价格
这时再来计算贴现收益率:
900=1000-/xlOOOx—
360
产生偏差的主要原因是由于贴现收益率公
式采用了面值的百分比收益率，而不是购买价格的百分比收益率.因为根据定义，贴现债券的购买价格总是低于面值，面值的百分比收益率必然低于购买价格的百分比收益
率•贴现债券的购买价格与其面值差别越大,贴现收益率与到期收益率的偏差也就越大.
同时，贴现收益率与到期收益率一样，它也与债券价格负相关.比较而言，贴现债券到期收益率更精确，因此贴现收益率在一定程度上会引起人们的误解，但是贴现收益率变动总是和到期收益率方向相同.
（6）当期收益率
当期收益率定义为每年支付的息票利息金额除以债券价格
C
"~~p
当期收益率
息票债券价格
（?
=息票债券年利息
（7）其他关于年金复利现值的例子:
例12：
某企业准备购置一台柴油机，更新目前使用的汽油机，每月可节约燃料费60元，但柴油机价格较汽油机价格高出1500元，问柴油机应使用多少年才合算？
假设利率为12%,每月复利一次。
分析:
P=1500,i=12%,A=60,求n1500=60（p/A,兽n）25=（p/A,空，n）
12
的差额，而不考虑汽油机的价格，就是根据不可避免成本，汽油机的价格是不可避免的成本，所以这里只计算当投资回报（这里是燃料节约费）等于1500元时的时间。
例13：
以10%的利率借款20000元，投资于周期为10年的项目，每年至少要收回
多少现金才有利？
分析：
P=20000元，n二10年，i=10%,求A
20000=A（P/A,10%,10）
查表（P/A,10%,10）=6.1446
A=20000/6.1446=3254.89其中，又称投资回收系数。
（p/Ajji）
2、预付年金预付年金是指在每期期初支付的年金,
又称即付年金或先付年金。
现在第2年初第3年初第4年初
（1）预付年金终值计算
计算公式：
S=A（1+i）+A（1+i）〜+A（1+i）
二A[（Wi]
i
[Wil称为预付年金终值系数，或称1
I元的预付年金终值。
实际上，预付年金终值二普通年金终值（n期）一A+A（1+i）n
二普通年金终值（n+1期）一A
=A（s/A,i,n+1）—A
=A[（s/A,i,n+1）—1]所以，[（U—1]二[（s/A,i,n+l）一1]
I
（2）预付年金现值计算
计算公式：
P二A+A（1+i）_1+A（l+i）'2+……A（l+i）-（n_1）
二人[1-（1+严+1]
I
实际上，预付年金现值二普通年金现值（n期）X（1+1）
二A匕凹2x（1+i）
i
i—!
—
x（1+i）
i
=人1+'-（l+i）n
i
二A[皿二+i]
i
=A[（p/A,i,n-1）+1]
例14：
6年分期付款购汽车，每年初付20000元，设银行利率为10%,该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？
分析：
A=20000,n=6,1=10%,求pp=A[（p/A,i,n-1）+1]
=20000：
（p/A,10%,6—1）+1]
=20000X4.791
=95820
3、变额年金举例
所谓变额年金，是指收入或支付的年金额并不相等，其终值和现值的计算要综合运用复利终值、复利现值和年金终值、年金现值的计算方法。
例15：
利群公司有一投资项目，需10年建成，资金投入为：
第一年年初投入10000元；
第二年年初投入20000元；
第三年年初至第六年年初每年投入5000元;以后四年每年年初投入15000元。
若资金的时间价值为10%,问：
（1）该投资项目10年内共投资多少？
（2）10年内总投资额的现值是多少？
分析：
（1）是终值问题
第一年年初在第10年年末的终值是：
（复利终值问题）
S产10000X（1+10%）10
=25937
第二年年初在第10年年末的终值是：
（复利终值问题）
S2=20000X（1+10%）9
=23580
第三年年初至第6年年末投资在第6年年末的终值是：
（预付年金终值问题）
计算第三年年初至第6年年末投资在第6年年末（第7年初，连付4期，第7年初没有付，所以「4）的预付年金终值：
S3=5000X[（s/A,10%,4+1）-l]=5000X5.105=25525
或者先计算第三年年初至第6年年末的年金终值：
S=5000（l+10%）4+5000（1+10%）3+5000（1+10%）2+5000（1+10%）
=5000X（s/A,10%,4）（1+10%）
（因为5000X（s/A,i,4）=5000（1+i）3+
5000（1+i）2+5000（1+i）+5000）
所以至第6年末的复利终值：
S=5000X4.641X（1+10%）=25525
上述终值在第10年年末的终值为：
S3=25525X（1+10%）=37369
第7年至第10年年初每年投入15000元在
第10年年末的终值为：
S4=15000X（s/A,10%,4）（1+10%）=76576
所以，该项目10年的总投资额为：
S=S1+S2+S3+S4=163462
（2）求总投资额的现值
第1年初投入10000元，现值就是PVF10000元；
第2年初投入20000元，现值是PVF20000/（1+10%）二18182
第3年至第6年初每年投入5000元在第三年初的现值是：
根据PV二A[（p/A,i,n-l）+l]
=5000[（p/A,10%,4-1）+1]
二17435
其在第1年初的现值二17435/（1+10%）彳二14409第7年至第10年年初每年投入15000元在
第7年初的现值为:
PV=15000[（p/A,10%,4-1）+1]
=52305
其在第1年初的现值PV.F52305/（1+10%）*二29552所以，该项目总投资的现值为：
PV1+PV2+PV3+PV1=72143
4、递延年金
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