与名师对话理函数的奇偶性与周期性.docx

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与名师对话理函数的奇偶性与周期性

第四节　函数的奇偶性与周期性

高考概览：

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

[知识梳理]

1．函数的奇偶性

2.周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

3．函数奇偶性常用结论

（1）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

[辨识巧记]

1．一条规律

奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．两个性质

（1）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0.

（2）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

3．函数周期性的三个常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x，

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a≠0）．

（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a≠0）．

（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a≠0）．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）时是偶函数．（　　）

（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）

（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期．（　　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b,0）中心对称．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．下列函数中，为奇函数的是（　　）

A．y＝3x＋B．y＝x，x∈{0,1}

C．y＝x·sinxD．y＝

[解析]　A、C中函数为偶函数，B中函数为非奇非偶函数，只有D中函数图象关于原点对称，故选D.

[答案]　D

3．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－B.C.D．－

[解析]　f（x）是偶函数，∴b＝0，又a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝，故选B.

[答案]　B

4．（必修1P39A组T6改编）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2＋，则f（－1）等于（　　）

A．－2B．0C．1D．2

[解析]　∵f（x）是R上的奇函数，∴f（－1）＝－f

（1）．

又∵f

（1）＝12＋1＝2，∴f（－1）＝－2.故选A.

[答案]　A

5．（必修1P39A组T6改编）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，那么，不等式f（x＋2）<5的解集是________．

[解析]　当x<0时，－x>0，∴f（－x）＝（－x）2－4（－x）＝x2＋4x，

∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x），故x<0时，

f（x）＝x2＋4x，由f（x＋2）<5，得

或

解得－2≤x<3或－7

所以不等式f（x＋2）<5的解集为{x|－7

[答案]　{x|－7

考点一　函数奇偶性的判断

【例1】　判断下列各函数的奇偶性：

（1）f（x）＝（x－1）；

（2）f（x）＝；

（3）f（x）＝

[思路引导]　→→

→

[解]　

（1）由≥0得函数的定义域为[－1,1），关于原点不对称，所以f（x）为非奇非偶函数．

（2）由得函数的定义域为（－1,0）∪（0,1），

所以f（x）＝＝－.

所以f（－x）＝－＝－＝f（x），所以f（x）为偶函数．

（3）解法一：

当x<0时，－x>0，则

f（－x）＝－（－x）2－x＝－（x2＋x）＝－f（x）；

当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x）2－x＝－（－x2＋x）＝－f（x）．

又f（0）＝0，故对任意的x∈（－∞，＋∞），都有f（－x）＝－f（x），

所以f（x）为奇函数．

解法二：

作出f（x）的图象，由图象关于原点对称可知f（x）为奇函数．

　判断函数奇偶性的方法

（1）定义法：

若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f（－x）是否等于±f（x）．

（2）图象法：

奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（或y轴）对称．

（3）性质法：

偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

[对点训练]

1．（2019·福州市高三期末）下列函数为偶函数的是（　　）

A．y＝tan（x＋）B．y＝x2＋e|x|

C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinx

[解析]　对于选项A，易知y＝tan（x＋）为非奇非偶函数；对于选项B，设f（x）＝x2＋e|x|，则f（－x）＝（－x）2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f（x），所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f（x）＝xcosx，则f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设f（x）＝ln|x|－sinx，则f

（2）＝ln2－sin2，f（－2）＝ln2－sin（－2）＝ln2＋sin2≠f

（2），所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.

[答案]　B

2．（2019·广东期中统考）下列函数中，在定义域内与函数y＝x3的单调性、奇偶性都相同的是（　　）

A．y＝sinxB．y＝x3－x

C．y＝2xD．y＝lg（x＋）

[解析]　函数y＝x3在R上是增函数，且是奇函数．因为y＝sinx在R上不单调，故排除A项；对于B项，y′＝3x2－1，所以函数y＝x3－x在R上不单调；对于C项，因为y＝2x是指数函数，所以y＝2x不是奇函数；D项中y＝lg（x＋）的定义域为R，是奇函数，且是增函数．故选D.

[答案]　D

考点二　函数奇偶性的应用

【例2】　

（1）（2019·福建三明一中月考）函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝2x，则当x>0时，f（x）＝（　　）

A．－2xB．2－xC．－2－xD．2x

（2）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

[思路引导]　

（1）→

→

（2）→→

[解析]　

（1）x>0时，－x<0，∵x<0时，f（x）＝2x，∴当x>0时，f（－x）＝2－x.∵f（x）是R上的奇函数，∴当x>0时，f（x）＝－f（－x）＝－2－x.故选C.

（2）因为f（x）－f（－x）＝xln（x＋）＋xln（－x＋）＝xln（a＋x2－x2）＝xlna＝0，所以a＝1.

[答案]　

（1）C　

（2）1

（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式或函数值．

（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值．

[对点训练]

1．设函数f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）＋g（x）＝x3－x2＋1，则f

（1）＝（　　）

A．－1B．1C．－2D．2

[解析]　f

（1）＋g

（1）＝1,f（－1）＋g（－1）＝－f

（1）＋g

（1）＝－1，两式相减得f

（1）＝1.故选B.

[答案]　B

2．若函数f（x）＝为奇函数，则a＝（　　）

A.B.C.D．1

[解析]　解法一：

因为f（x）是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）．

因为f（x）＝＝，

所以＝.

所以－（1－2a）＝1－2a，

所以1－2a＝0，所以a＝.故选A.

解法二：

由已知f（x）为奇函数，得f（－1）＝－f

（1），

即＝，

所以a＋1＝3（1－a），解得a＝.故选A.

解法三：

因为f（x）的分子是奇函数，所以要使f（x）为奇函数，则它的分母必为偶函数，所以1－2a＝0，所以a＝.故选A.

解法四：

因为f（x）为奇函数，且－不在f（x）的定义域内，故也不在f（x）的定义域内，

所以－a＝0，所以a＝.故选A.

[答案]　A

考点三　函数的周期性及应用

【例3】　

（1）函数f（x）＝lg|sinx|是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

（2）（2019·云南师范大学附属中学月考）设函数是定义在R上的周期为3的偶函数，当x∈时，f（x）＝x＋1，则f＝________.

[解析]　

（1）∵f（－x）＝lg|sin（－x）|＝lg|sinx|，

∴函数f（x）为偶函数．

∵f（x＋π）＝lg|sin（x＋π）|＝lg|sinx|，

∴函数f（x）的周期为π.故选C.

（2）f＝f＝f＝f＝.

[答案]　

（1）C　

（2）

（1）判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T.

（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：

若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期．

[对点训练]

1．（2019·乌鲁木齐三诊）奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且当x∈（0,1）时，f（x）＝3x＋，则f（log354）＝（　　）

A．－2B．－C.D．2

[解析]　因为f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，所以

f（log354）＝f＝f

＝f＝－f，易知0

所以f＝3log3＋＝＋＝2，

所以f（log354）＝－2.故选A.

[答案]　A

2．设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1,3）时，f（x）＝x－2，则f（2017）＋f（2018）＝________.

[解析]　∵f（x）的周期为2，且x∈[1,3）时，f（x）＝x－2，∴f（2017）＝f

（1）＝－1，f（2018）＝f

（2）＝0，

∴f（2017）＋f（2018）＝－1.

[答案]　－1

考点四　函数性质的综合应用

高考对于函数性质的考查，一般不会单纯考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．

常见的命题角度有：

（1）单调性与奇偶性结合；

（2）周期性与奇偶性结合；

（3）单调性、奇偶性与周期性结合．

角度1：

奇偶性与单调性结合

【例4－1】　（2019·合肥模拟）已知偶函数f（x）对于任意x∈R都有f（x＋1）＝－f（x），且f（x）在区间[0,2]上是递增的，则f（－6.5），f（－1），f（0）的大小关系是（　　）

A．f（0）

B．f（－6.5）

C．f（－1）

D．f（－1）

[思路引导]　→

→

[解析]　由f（x＋1）＝－f（x），得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），∴函数f（x）的周期是2.∵函数f（x）为偶函数，∴f（－6.5）＝f（－0.5）＝f（0.5），f（－1）＝f

（1）．

∵f（x）在区间[0,2]上是单调递增的，∴f（0）

（1），即f（0）

[答案]　A

角度2：

周期性与奇偶性结合

【例4－2】　（2019·重庆一模）定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），f（x）＝f（x＋4），且x∈（－1,0）时，f（x）＝2x＋，则f（log220）＝（　　）

A．1B.C．－1D．－

[思路引导]　→

→

[答案]　C

角度3：

单调性、奇偶性与周期性结合

【例4－3】　已知定义在R上的偶函数满足：

f（x＋4）＝f（x）＋f

（2），且当x∈[0,2]时，y＝f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f

（2）＝0；②x＝－4为函数y＝f（x）图象的一条对称轴；③函数y＝f（x）在[8,10]上单调递增；④若方程f（x）＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.

以上命题中所有正确命题的序号为________．

[思路引导]　→

[解析]　据已知抽象函数关系式f（x＋4）＝f（x）＋f

（2）可得f（－2＋4）＝f（－2）＋f

（2），又函数为偶函数，故有f

（2）＝f（－2）＋f

（2）＝2f

（2）⇒f

（2）＝0，即①正确，因此f（x）＝f（x＋4）即函数是以4为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图象必关于y轴即直线x＝0对称，又其周期为4，故x＝－4也为函数图象的一条对称轴，即②正确；又已知函数在区间[0,2]上单调递减，故将其图象沿x轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8,10]上也单调递减，故③错误；如图，若方程f（x）＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故④正确，综上所述命题①②④正确．

[答案]　①②④

　函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

[对点训练]

1．（2018·沈阳模拟）下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是（　　）

A．y＝2xB．y＝2|x|

C．y＝2x－2－xD．y＝2x＋2－x

[解析]　A中函数是非奇非偶函数，B，D中函数是偶函数，对于选项C，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.

[答案]　C

2．（2019·四川省成都市高三二诊）已知函数f（x）的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f（x）单调递减，且函数f（x＋2）为偶函数．则下列结论正确的是（　　）

A．f（π）

C．f（）

[解析]　因为函数f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，又当x∈[－2,2]时，f（x）单调递减，所以当x∈[2,6]时，f（x）单调递增，f（）＝f（4－），因为2<4－<3<π，所以f（）

[答案]　C

3．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

[解析]　∵f（x＋4）＝f（x－2），∴f（x）的周期为6，

∵919＝153×6＋1，∴f（919）＝f

（1）．又f（x）为偶函数，∴f（919）＝f

（1）＝f（－1）＝6.

[答案]　6

易错系列①——奇偶性与单调性综合应用错误

素养解读：

函数的单调性反映了函数在区间上的变化趋势，函数的奇偶性不能只停留在定义上，要明确其实质．解题时应根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题．

【典例】　设函数f（x）在R上是偶函数，在（－∞，0）上递增，且有f（2a2＋a＋1）

[易错分析]　偶函数关于原点对称区间上单调性相反，因此在解决这类求参数取值范围的问题时最好利用偶函数的性质“f（x）＝f（|x|）”将自变量转移到同一单调区间．类似地，尽管奇函数关于原点对称区间上的单调性相同，但不一定能将它并起来得到在R上单调．如奇函数f（x）＝.

[规范解答]　由于f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增，则f（x）在（0，＋∞）上递减．

因为2a2＋a＋1＝22＋>0，

－3a2＋2a－1＝－32－<0，

又因为f（2a2＋a＋1）

所以2a2＋a＋1>3a2－2a＋1，即a2－3a<0，

解得0

[答案]　（0,3）

　奇函数对称区间单调性相同，

偶函数对称区间单调性相反，

单调性将自变量关系来建立，

综合问题转化与构建来处理．

[感悟体验]

1．（2018·威海模拟）已知函数f（x）＝（x－2）（ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则f（2－x）>0的解集为（　　）

A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2

C．{x|x<0或x>4}D．{x|0

[解析]　由题意可知f（－x）＝f（x），则（－x－2）·（－ax＋b）＝（x－2）（ax＋b），即（2a－b）x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.则f（x）＝a（x－2）（x＋2）．又函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a>0，f（2－x）>0，即ax（x－4）>0，解得x<0或x>4.故选C.

[答案]　C

2．（2019·兰州双基考试）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）＋f（loga）≤2f

（1），则a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D．（0,2]

[解析]　因为f（loga）＝f（－log2a）＝f（log2a），所以原不等式可化为f（log2a）≤f

（1）．又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，故选C.

[答案]　C

课后跟踪训练（七）

基础巩固练

一、选择题

1．（2019·石家庄质检）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝B．y＝|x|－1

C．y＝lgxD．y＝|x|

[解析]　∵函数y＝|x|－1和y＝|x|是偶函数，其中y＝|x|－1在（0，＋∞）单调递增，y＝|x|在（0，＋∞）且单调递减．故选B.

[答案]　B

2．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f等于（　　）

A．－B．－

C.D.

[解析]　∵f（x）是周期为2的奇函数，

∴f＝f

＝f＝－f

＝－2××＝－.故选A.

[答案]　A

3．（2019·贵阳市高三监测考试）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x＋2）－1，则f（－6）＝（　　）

A．2B．4C．－2D．－4

[解析]　根据题意得f（－6）＝－f（6）＝1－log2（6＋2）＝1－3log22＝－2.故选C.

[答案]　C

4．（2018·石家庄市高三一检）已知函数f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）单调递增，且f

（1）＝0，若f（x－1）>0，则x的取值范围为（　　）

A．{x|02}

B．{x|x<0或x>2}

C．{x|x<0或x>3}

D．{x|x<－1或x>1}

[解析]　由于函数f（x）是奇函数，且当x>0时f（x）单调递增，f

（1）＝0，故由f（x－1）>0，得－11，所以02，故选A.

[答案]　A

5．（2018·合肥市高三二检）已知函数f（x）＝，实数a，b满足不等式f（2a＋b）＋f（4－3b）>0，则下列不等关系恒成立的是（　　）

A．b－a<2B．a＋2b>2

C．b－a>2D．a＋2b<2

[解析]　由题意知f（－x）＝＝＝－＝－f（x），函数f（x）为奇函数，又f（x）＝＝＝－1，所以f（x）在R上为减函数，由f（2a＋b）＋f（4－3b）>0得f（2a＋b）>－f（4－3b）＝f（3b－4），故2a＋b<3b－4，即b－a>2.故选C.

[答案]　C

二、填空题

6．（2019·豫东十校联考）若f（x）＝＋a是奇函数，则a＝________.

[解析]　依题意得f

（1）＋f（－1）＝0，

由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝.

[答案]　

7．（2019·山西省八校第一次联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋2）＝－，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f＝________.

[解析]　∵f（x＋2）＝－，∴f（x＋4）＝f（x），

∴f＝f，又2≤x≤3时，f（x）＝x，

∴f＝，∴f＝.

[答案]　

8．（2019·陕西省高三一检）若函数f（x）＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g（x）＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．

[解析]　由函数f（x）的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f（x）＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f（0）＝0，所以b＝0，所以g（x）＝，易知g（x）在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g（－1），g（－4）]，即[－2，－]．

[答案]　[－2，－]

三、解答题

9．已知函数f（x）＝是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）设x<0，则－x>0，

所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），

于是x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，

结合f（x）的图象知

所以1

10．（2019·日照检测）设f（x）是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f（1＋x）＝f（1－x）．当－1≤x≤0时，f（x）＝－x.

（1）判定f（x）的奇偶性；

（2）试求出函数f（x）在区间[－1,2]上的表达式．

[解]　

（1）∵f（1＋x）＝f（1－x），∴f（－x）＝f（2＋x）．

又f（x＋2）＝f（x），∴f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（2）当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f（x）＝f（－x）＝x；

进而当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，

f（x）＝f（x－2）＝－（x－2）＝－x＋2.

故所求为f（x）＝

能力提升练

11．（2019·山东淄博月考）已知f（x）是定义域为（－1,1）的奇函数，而且f（x）是减函数，如果f（m－2）＋f（2m－3）>0，那么实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C．（1,3）D.

[解析]　∵f（x）是定义域为（－1,1）的奇函数，∴－10可转