大学物理质点运动学.docx
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大学物理质点运动学
质点运动学
一.质点
质点是有质量无大小和形状的点。
是理想模型。
在生产或生活中，常会看到一种比较简单的运动，称为平动，例如活塞在气缸中的运动、抽屉的运动等；在这种运动中，物体上各点都作同等的运动，因而任一点的运动都能代表整体的运动，物体的形状大小可以不必考虑，在这种情况下，可以将物体抽象为一个具有同等质量的点，称为质点。
抽象的目的是简化问题和便于作比较精确的描述。
在一般情况下，物体的运动是非常复杂的，例如地球的运动就包括有如下的运动类型：
绕太阳的公转（是一种平动，具体表现为地球重心的运动），绕地轴的自转，潮汐所表现的变形运动，以及动植物的运动等。
如果把这些运动按比例画在纸上，由于地球的轨道半径为
11
1.4910m,等于地球半径的
2.34104倍，在这个图上地球只能占有一个小点的位置。
因此就地球的整体运动而言，潮汐和动植物的运动是微不足道的，连自转也是次要的，把这些忽略以后，地球的公转作为主要运动就突出来了。
公转是平动，因此研究地球公转时，虽然它是一个十分巨大的星体，仍然可被简化为一个质点’一般地说，如果我们忽略了物体的转动和形变，只研究它的平动部分，就可以忽略它的形状大小，把它简化为质点来处理。
质点突出了“物体具有质量”和“物体占有位置”这两个根本性质。
从运动方面说，我们忽略了转动和变形运动，从物体方面说，我们忽略了它的形状大小，这两个方面是一致的。
因为忽略了转动和变形运动，就意味着物体的形状大小可被忽略、而忽略了物体的形状大小，我们也就不必再考虑物体的转动和变形运动了。
在另一类问题中，例如研究一个齿轮的转动，由于它的形状大小起了主要作用，不能忽略，结果，即令齿轮很小，也不能被简化为质点。
在这类问题中，可以把物体（如齿轮）分成许多微小部分，小到每一微小部分的转动和形变运动可被忽略、因而这一微小部分可当作一个质点看待为止，这样物体就可以作为质点的集合体处理。
因此，研究了质点的运动，不仅解决了物体的平动问题，解决了复杂运动的平动部分的问题，而且为进一步研究物体的复杂运动打下了基础。
质点是一个理想模型。
在物理学中，为了便于抓住本质，解决问题，常在科学分析的基础上，突出事物中与问题有关的主要矛盾，而将一些影响不大的次要因素忽略，从而建立理想模型。
这种研究问题的方法
（理想化方法），在物理学中经常运用。
在一定条件下恰当地
运用理想模型能不能正确反映客观现实呢？
毛主席在“实践论”中引用过列宁的一句话：
“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。
”可以帮助我们认识这个问题。
知道了质点的涵义，就可以进一步研究质点的运动。
能把物体看作质点的条件：
（1）物体作平动；
2）物体的形状和大小可忽略;
（3）只研究物体的平动。
空间和时间
当我们对质点的运动进行描述时就离不开空间、时间以及它们的测量。
人们对空间和时间并不感到生疏，但是，真要确切回答什么是空间，什么是时间，却是很不容易的事情。
因此最好还是从我们的经验谈起。
在生活中我们习惯于把空间想象成一个三维框架，质点位于空间一个点并在其中运动，运动着的质点与空间之间不会产生任何相互作用。
为了描述质点在空间的位置变动，把三维框架设想成用首尾衔接的米尺组成全空间的三维网阵，并延伸到整个宇宙，也就是说，假定空间是平直的，符合欧几里得几何。
关于时间，从日常生活经验知道，没有人能加快或推迟时间的进程，时间的流逝在整个宇宙是划一的。
为了测量时间间隔原则上可以在三维立方网阵的每一交点安放一座完全相同的钟，并把所有的钟调到同步，由钟的读数就可以记录时间的流逝。
空间和时间是物理学的两个基本概念，是物质运动的基本表
现形式。
1.空间：
是物质运动的广延性。
与空间有关的概念有点、线、面、位置、长度和距离等
长度用米尺测量。
长度单位m1m是光在真空中1/299792458S内通过的路程。
2.时间：
是物质运动的持续性。
时刻：
是时间的一瞬，与事件相联系。
时间：
是两个时刻之间的间隔，与过程相对应。
时间用时钟测量。
时间单位s:
1s是133Cs特定辐射
周期的9192631770倍。
3.绝对时空观：
空间和时间是不变的、相互独立的而且与物质的运动无关。
（1）绝对空间是静止不动的、是容器，物体在绝对空间中运动；
（2）物体长度（或空间两点之间的距离）的测量与观察者无关；
（3）空间是欧几里得空间；
（4）时间是不变的、均匀流逝的。
［公理1］空间公理
（1）绝对空间是静止不动的、是容器，物体在绝对空间中运动；
（2）物体长度（或空间两点之间的距离）的测量与观察者无
关；
（3）空间是欧几里得空间；
（4）空间是不变的、独立的,而且与物质的运动无关。
［公理2］时间公理
时间是不变的、独立的、均匀流逝的，而且与空间和物质的运动无关。
参照系坐标系
一.参照系
运动是绝对的，没有绝对静止的物体，这叫运动的绝对性；运动也是相对的，同一物体相对于不同物体的运动情况不
同，这叫运动的相对性。
描述物体运动时用作标准或依据的物体或物体系叫参照系。
常将相对于参照系的运动说成相对于观察者的运动，这里的观察者是相对于参照系静止的人。
参照系的选择以研究的方便、简洁为原则。
研究地面物体的运动，常选地面为参照系；研究太阳系行星的运动常选太阳为参照系等。
二.坐标系
为了定量表示物体相对于参照系的位置，将一付坐标系（如直角坐标系）与参照系牢固连结起来，有了坐标系，就可以用坐标表示物体在任一时刻的位置和物体位置随时间的变化情况。
坐标系是参照系的数学抽象，实际上物体在某时刻的位置坐标，是用固定在参照系上面的直尺和时钟来确定的，这些直尺和时钟的结构完全相同并且经过了校准。
常用的坐标系除直角坐标系外还有平面极坐标系、自然坐标系等。
有关质点运动的基本概念
描述质点运动的物理量（概述）
1.位置和位矢
位置：
是一个物体（如质点）
相对于其它物体的方位。
位矢：
是表示质点方位的物理量，是由原点指向质点的矢量,
rop
直角坐标系rxiyjzk
运动函数rr（t）
直角坐标系（分量式）
xx（t）
yy（t）
zz（t）
上式也是轨道的参数方程。
直线运动X-x（t）
平面运动x=x（t）,yy（t）
2.位移
位移指物体（如质点）位置发生的改变。
位移是表示质点位置改变的物理量，是由起点指向终点的矢
rABr（tt）r（t）
直角坐标系
rxiyjzk
3.平均速度
（1）指物体在一段时间t内位置随时间的平均变化情况；
（2）物体在一段时间t内的平均速度等于该段时间内的位移与时间"t的比值
（t一定）
4.瞬时速度
（1）指物体在某时刻t运动的快慢和方向；
（2）物体在某时刻t的瞬时速度等于从t时刻起物体作匀速直线运动的速度；
（3）物体的瞬时速度等于平均速度在r0时的极限
—Ardr
vlim
t0tdt
5.平均速率和瞬时速率
（1）分别指物体在一段时间
t内的运动快慢和物体在t时刻的运动快慢；
（2）物体在一段时间t内的平均速率等于该段时间内的路程
与时间t的比值；物体在某时刻t的瞬时速率等于从t时刻起物体作匀速率运动的速率；
—s
v（t一定）
（4）物体的瞬时速率等于平
均速率在t00时的极限
■・Asds
vlim
十0“tdt
瞬时速度大小
△r
△r
v
=lim
lim
十0
At
H-0
△s
A
s
A
t
lim
A
lim
△
s
lim
ds
v
dt
瞬时速度的方向沿轨道的切线方向。
6.平均加速度
（1）指物体在一段时间t内速度随时间的平均变化情况；
（2）物体在一段时间t内的平均加速度等于该段时间内的速度改变与时间t的比值
—迟V、
a-7（t一定）
At
7.瞬时加速度
（1）指物体在某时刻t速度随时间的变化情况；
（2）物体在某时刻t的瞬时加速度等于从t时刻起物体作匀
变速运动的加速度；
（3）物体的瞬时加速度等于平均加速度在r0时的极限
一Avdv
alim
十0△tdt
瞬时加速度的方向为t0时
v的极限方向，总是指向轨道曲线的凹侧。
8.直角坐标系
位矢rxiyjzk
位移rxiyjzk
平均速度
xi
t
+
A
z
△
t
VxiVyjvzk
瞬时速度
xlim（——it，0t
'X（lim）i
t0t
dx・dy・ij
dtdt
r
vlim
tOf
y・z,、
jk）
tt
AyAz
（lim）j（lim）kt、ottot
dzk
k
dt
VxivyjVzk
瞬时加速度
Vx・-it
=ajayjazk
AVlimrot
亠亠k）
tt
VyAvz
）i（lim~）j（lim—）k
ttottot
A
（lim-
VxVyVz
-）i（limy）j（limz）k
tototo
trottot/
axiayjazk
直线运动
一.直线运动中物体的位置和位移
对一定的参照系而言，如果质点的运动轨道是一条直线，就说它作直线运动。
研究直线运动，通常选质点所在的轨道为坐标轴如ox轴（如图）。
设to时刻质点经过A点，oAxo，称为质点在to时刻的坐标，它表示该时刻质点的位置；设t时刻质点经过B点，贝UoB=x为t时刻质点的坐标。
ABxX。
x表示ttot时间内质点位置的变化，称为质点在这一段时间内的位移。
坐标x为正，表示质点位于原点的右方；坐标X为负，表示质点位于原点的左方。
位移为正,贝旷XX-x。
。
，B在A的右边，表示质点的位置向坐标
轴的正向变化；位移为负，则
x=X-沧°,B在A的左边,表示质点的位置向坐标轴的负向变化。
位移是矢量有大小和方向，质点作直线运动时，可以用正负表示位移的方向。
位移为正，表示位移的方向为X轴的正方向，位移为负，表示位移的方向为X轴的负方向。
路程指质点经过轨迹的长度，恒为正。
若在V-1°时间内质点一直向右运动，那么位移ABxX。
「X就和路程一致；若质点一直向左运动，则位移为负，它的绝对值才等于通过的路程。
若在该段时间内质点先向右运动到C再折回B.，那么位移还是AB「x-沧，但通过的路程是距离AC和CB之和，路程与位移一般是不一致的。
二.直线运动中物体的速度
1.匀速直线运动
如果质点沿直线运动，且在任意相等的时间内通过相等的位移，称质点作匀速直线运动。
不同质点作匀速直线运动时，有的快，有的慢，如飞机比汽车快，汽车比步行快。
为了表示质点运动的快慢，引入速度的概念。
质点在一段时间t内通过的位移X与这段时间的
比值可以表示质点运动的快慢，所以定义速度
（t任意）
于是一段时间质点通过的位移与时间的关系就是
'xvi
我们说一个作匀速直线运动的物体的速度为10m/s.，它表示的运动快慢是，如果让物体以这个速度运动1秒，物体通过的位移是10米。
AX
速度1还可以表示物体的运动方向，v0表示物体沿x轴正方向运动，v0表示物体沿X轴负方向运动。
速度是矢量有大小和方向，质点作直线运动时，可以用正负表示速度的方向。
速度为正，表示速度的方向为X轴的正方向，速度为负，表示速度的方向为X轴的负方向。
［按照匀速直线运动的特点，比
△X
值"7为恒量，速度v不仅表示质点运动的平均快慢还表示质点在各个瞬时运动的快慢！
当然一个匀速直线运动只有一个速度，一个快慢，没有必要区分平均速度和瞬时速度，但是我们明确了匀速直线运动的速度是瞬时速度这个问题，对于我们以后研究变速直线运动的瞬时速度是有帮助的。
］
2.变速直线运动
如果质点沿直线运动，在任意两段相等的时间内通过的位移不相等，称质点作变速直线运^动。
（1）平均速度
物体在t时间内通过的位移
x与t的比值，叫t时间内的平均速度
—也X
v（t一定）
41
如果质点沿一个方向运动，则速度V表示质点运动的平均快慢；一般情况下，速度v表示质点位置随时间的平均变化情况。
（2）瞬时速度
质点作变速运动时，用平均速度v描述质点的运动是粗略的。
但由于运动时间t很小时，
变速运动与匀速运动很接近，
—“x
用速度M描述质点在t时刻的运动，就会接近精确（因动物体在t时刻的运动是精确的）并且随着t越来越小而变得越来越精确。
所以，当r0
时，速度M的极限就精确描述质点在t时刻的运动（运动
快慢和方向）
dx
dt
瞬时速度等于位置坐标x对时间t的变化率。
瞬时速度v表示质点在t时刻运动的快慢和方向。
例一.一列火车由车站出发沿直线运动，t时刻的坐标为
x=3t2（x单位为米，t单位为秒）
，求
（1）t时刻后的t时间内的平均速度；
（2）t时刻的瞬时速度。
解：
（1）火车在t时间内的位移为
x=3（tt）23t2=6tt（t）2
平均速度为
2
6tt（t）
6tt
（2）解法一：
t时刻的瞬时速
度为
也X
vlimlim（6tt）6t
解法二：
t时刻的瞬时速度为dxd2、
v（3t）6t
dtdt
例二.在上例中，求
（1）在3到3.1秒间的平均
速度；
（2）在3到3.001秒间的平均速度；
（3）在3到3.00001秒间的平均速度；
（4）火车在3秒时的速度。
解：
（1）3秒时的坐标
x⑶33227m
3.1秒时的坐标
x（3.1）33.1228.83m
一x（3.1）x（3）,cc/
v18.3m/s
3.13
（2）
x（3.001）33.001227.018003m
-x（3.001）x（3）
v18.003m/s
3.0013
（3）
x（3.00001）33.000012
27.0001800003m
_=x（3.00001）x（3）
V3.000013
=18.00003m/s
（4）解法：
由上面的答案可
0时，v18m/s，所
以得
v=18m/s
解法二:
由瞬时速度公式得
dx~v=—=6t
dt
t=3s
v=63=18m/s
［公理3］状态公理
作机械运动的物体运动状态可用坐标和速度描述。
［公理4］速度公理
瞬时速度等于r0时平均速度的极限。
三.直线运动中物体的加速度
1.匀变速直线运动
如果质点沿直线运动，且在任意相等的时间内速度的改变都相等，称质点作匀变速直线运^动。
为了表示质点速度随时间变化的快慢，弓I入加速度的概念。
质点在一段时间t内速度的改变V与这段时间的比值定义为匀变速直线运动的加速度
（t任意）
于是一段时间内质点速度的改变与时间的关系为
、vat
我们说一个作匀变速直线运动
2
的物体的加速度为10m/s，它表示速度的变化快慢是，如果让物体以这个加速度运动1
秒,物体速度的改变是10m/s。
△V
加速度n的正负还可以表示加速度a的方向，a0表示加速度沿x轴正方向，a0表示加速度沿x轴负方向。
速
度改变V是矢量，它的方向与加速度的方向相同。
［按照匀变速直线运动的特点，
&V
比值T为恒量，加速度a不仅表示质点速度变化的平均快慢还表示质点在各个瞬时速度变化的快慢！
当然一个匀变速直线运动只有一个加速度，一个速度变化快慢，没有必要区分平均加速度和瞬时加速度，但是我们明确了匀变速直线运
动的加速度是瞬时加速度这个问题，对于我们以后研究一般变速直线运动的瞬时加速度是有帮助的。
］
2.—般变速直线运动
（1）平均加速度
物体在t时间内速度的改变
v与t的比值，叫t时间内的平均加速度
—x
a（t一定）
7
如果质点沿一个方向运动，则加速度a表示速度改变的平均快慢；一般情况下，加速度a表示质点速度随时间的平均变化情况。
（2）瞬时加速度
质点作一般变速运动时，用平均加速度a描述质点速度随时间的变化情况是粗略的。
但由于运动时间t很小时，一般变速运动与匀变速运动很接近，
用加速度M描述质点在t时刻速度随时间的变化情况，就会接近精确（因为用加速度
也va=
也t
描述匀变速运动物体
在t时刻速度随时间变化的快
慢和方向是精确的），并且随着t越来越小而变得越来越精
确。
所以，当t0时，加速
v
度M的极限就精确描述
质点在t时刻速度随时间的变化快慢和方向。
dv
dt
瞬时加速度等于速度v对时间t的变化率，瞬时加速度表示质点在t时刻速度随时间变化的快慢和方向。
［公理5］加速度公理
瞬时加速度等于r0时平均加速度的极限。
例三.在例一中，求
（1）t时刻后的t时间内的平均加速度；
（2）t时刻的瞬时加速度。
解：
（1）火车在t时间内速度的改变为
v6（tt）6t6t
平均加速度为
速度为
解法二：
t时刻的瞬时速度为
dvd2
aKt）6（m/s）例四.如图所示，一人站在河岸上（岸高h）,手握绳的一端，绳的另一端系一小船。
人不动以手收绳，设收绳速率为vo，求当绳与水面的夹角为一时，船向岸运动的速度v。
解法一：
如图以岸边为原点o，沿船的运动轨迹建X轴。
设任一时刻t，绳长为I，船的坐标为X，则由几何关系得
a/1
Vo
两个分速度Vr和V，则
vrvcosv0
船速v—v°—
cos
同理求船的加速度，本题中速度与加速度同号，说明船是加速运动。
例五.如图路灯距地面的高度为H，—身高为h的人以匀速V0沿水平直线行走，试证明人
影的顶端作匀速直线运动，并求其速度。
解：
如图所示，人与路灯的距离为X1，人影顶端与路灯的距离为X2,根据图中几何关系有
Xi
X2
h0h2
人影顶端的速度为
Vi
hi
hrh2
结果表明人影顶端作匀速直线运动。
微分
1.函数的微分设有函数*f（x），令自变量的增量为X,则函数相应的增量为
yf（xx）f（x）f（x）X（x）把f（x）X叫做函数y在点x处的微分，记作
dyf（x）x
3.自变量的微分
设有函数厂x,那么自变量x的微分就是函数y的微分，从而
dxdyxxx
自变量的微分等于自变量的增因此函数的微分可以写成
dy=f（x）dx
导数可以写成微商
dy
dx
已知导数和自变量的微分可以求函数的微分
微元法
设物理量A与一段时间tot或
空间区域Xo「X相对应（如位移、质量、引力等），物理量A叫做整体量。
物理量等于部分
量（对应于各部分时间段或区域）A的和
AA
■
I
而部分量Af（l）tl,f（t）t是函数FF（t）的微分dF,叫做物理量A的微元，记作AdF=f（t）dt。
因而得
AllmAlimf（l）tl
丸T0丸T0
ii
f（t）dt
to
所以物理量A等于对微元dF的无穷累加。
在物理中，微元由物理规律得到，如
位移元dxxdtvdt
t
位移xxx0vdt
t0
速度改变的微兀dvvdt=adt
t
速度改变v=vVoadt
to
四.直线运动中位移与速度的关系
由速度公理得位移
t
xxx0vdt
to
对匀速直线运动"恒量，有
XXXov（tto）
五.直线运动中速度与加速度的关系
由加速度公理得速度改变
t
vvv0adt
to
对匀变速直线运动a=恒量，有
vvvoa（tto）
位移xxx0vdt
to
t12
（v0at）dtvotat
t2
to
1
坐标xx0votat2
2
例六.一质点沿x轴运动，已知加速度与速度的关系为
a」kv2（k为常量），设
ro时，x=o,v=Vo，求
（1）速度v与时间t的函数关系；
（2）坐标x与时间t的函数关系；
（3）速度v与坐标x的函数关系。
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