凯莱哈密顿定理.docx
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凯莱哈密顿定理
凯莱－哈密顿定理
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在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。
明确地说：
设A为给定的
矩阵，并设In为
单位矩阵，则A的特征多项式定义为：
其中det表行列式函数。
凯莱-哈密顿定理断言：
此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。
凯莱-哈密顿定理的重要推论之一是矩阵的极小多项式整除其特征多项式，这在寻找约当标准形时特别有用。
[隐藏]
∙1例子
∙2定理证明
∙3抽象化与推广
∙4外部链接
[编辑]例子
举例明之，考虑下述方阵：
其特征多项式为
此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理：
A2−5A−2I2=0
此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：
A2−5A−2I2=0
A2=5A+2I2.
例如，为了计算A4，可以反复利用上述关系式：
A3=（5A+2I2）A=5A2+2A=5（5A+2I2）+2A=27A+10I2
A4=A3A=（27A+10I2）A=27A2+10A=27（5A+2I2）+10A
A4=145A+54I2.
此外，凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。
注：
一般而言，若
矩阵A可逆（即：
），则A-1可以写成A的幂次和：
特征多项式有如下形式
将方程式p（A）=0同乘以A-1，便得到
-{R|
[编辑]定理证明
以下考虑布于域
上的矩阵。
凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中克莱姆法则的推论。
克莱姆法则断言：
若S是
矩阵，而cof（S）表其余因子矩阵，则
取S:
=tIn−A，便得到（tIn−A）cof（tIn−A）t=pA（t）In。
此式对所有t皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环k[t]内成立。
设M:
=kn，矩阵A赋予M一个k[t]-模结构：
。
考虑k[t]-模
，我们有k[t]-模之间的“求值态射”：
固定
，对M[t]中的等式
右侧取eA后得到pA（A）m，左侧取eA后得到
。
明所欲证。
一个简单的证明：
令：
由:
得：
将上式左边按t进行多项式展开得：
将上式右边展开得：
因两多项式，他们的对应项系数相等得：
在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai,并将等式左右两边分别相加并合项得：
得证
[编辑]抽象化与推广
前述证明用到系数在k[t]的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。
借此，凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环R上的任何有限生成自由模M（向量空间是特例）。
中山正引理的一种证明就用到这个技巧。
[编辑]外部链接
∙PlanetMath上的证明
取自“http:
//zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86”
3个分类:
线性代数|矩阵论|数学定理
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