中考数学平面直角坐标系专题复习导学案.docx

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中考数学平面直角坐标系专题复习导学案

2017年中考数学平面直角坐标系专题复习导学案

2017年中考数学专题练习10《平面直角坐标系》

【知识归纳】

一、平面直角坐标系

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了。

其中，水平的数轴叫做或，取向右为正方向；铅直的数轴叫做或，取向上为正方向；两轴的交点（即公共的原点）叫做直角坐标系的；建立了直角坐标系的平面，叫做。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做、、、。

注意：

x轴和轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

二、不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征

点P（x,）在第象限

点P（x,）第象限在

点P（x,）在第象限

点P（x,）在第象限

2、坐标轴上的点的特征

点P（x,）在轴上，x为任意实数

点P（x,）在轴上，为任意实数

点P（x,）既在轴上，又在轴上x，同时为零，即点P坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P（x,）在第象限夹角平分线上x与相等

点P（x,）在第象限夹角平分线上x与互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的坐标相同。

位于平行于轴的直线上的各点的坐标相同。

、关于x轴、轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p′关于x轴对称坐标相等，坐标互为相反数

点P与点p′关于轴对称坐标相等，坐标互为相反数

点P与点p′关于原点对称坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P（x,）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,）到x轴的距离等于

（2）点P（x,）到轴的距离等于（3）点P（x,）到原点的距离等于

【基础检测】

1．（2016•荆门）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

2（2016•广西百色•3分）若点A（x，2）在第二象限，则x的取值范围是　　．

3．（2016•临夏州）已知点P（0，）在轴的负半轴上，则点（﹣，﹣+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

4．（2016•贵港）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）．（﹣1，2）D．（1，2）

（2016•四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与轴的交点坐标是　　．

6（2016•贵州安顺•3分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（　　）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）

7（2016•四川眉•3分）已知点（1﹣2，﹣1）在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A．B．．D．

8．（2016•黑龙江龙东•3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△AB“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△AB的顶点的坐标为　　．9（2016•福建龙岩•3分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　　．

【达标检测】

一、选择题

1（201年重庆B第4题4分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（-3,2），则点P所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

2．（2016•大连）在平面直角坐标系中，点（1，）所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

3在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点坐标为（　　）

A．（3，2）B．（2，）．（，3）D．（，）

4．（2016•雅安）已知△AB顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），（1，0），将△AB平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（7，1）B．B（1，7）．（1，1）D．（2，1）

如图，小明从点出发，先向西走40米，再向南走30米到达点，如果点的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）A点AB点B点D点D

610线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（　　）

　A．（﹣8，﹣2）B．（﹣2，﹣2）．（2，4）D．（﹣6，﹣1）

7．（201•甘肃庆阳，第12题，3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△A1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△A1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）　A．（4n﹣1，）B．（2n﹣1，）．（4n+1，）D．（2n+1，）

二、填空题：

8（201年四川省广元市中考，12,3分）若第二象限内的点P（x，）满足|x|=3，2=2，则点P的坐标是　　．

9．（2016•黑龙江龙东•3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△AB“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△AB的顶点的坐标为　　．10．已知点P的坐标为（，a），且点P在第二、四象限角平分线上，则a=。

11．（201•济南,第1题3分）如图，在平面直角坐标系中，△AB的顶点都在方格纸的格点上，如果将△AB先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B11，那么点A的对应点A1的坐标为（　　）　A．（4，3）B．（2，4）．（3，1）D．（2，）

12（201•青海西宁第14题2分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab=　　．

三．解答题

13．（201•衡阳,第23题6分）如图，在平面直角坐标系中，△AB的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，）、（1，2）．

（1）在平面直角坐标系中画出△AB关于x轴对称的△A1B11；

（2）把△AB绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB22，点2在AB上．

①旋转角为多少度？

②写出点B2的坐标．

参考答案

【知识归纳答案】

一、平面直角坐标系

1、平面直角坐标系：

平面直角坐标系；横轴或者x轴；纵轴或者轴；原点；平面直角坐标系；第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

二、不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征：

一；二；三；四。

2、坐标轴上的点的特征：

x轴；轴；x轴，轴；

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：

第一象限；第三象限。

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：

纵坐标；横坐标。

、关于x轴、轴或远点对称的点的坐标的特征：

横坐标，纵坐标；纵坐标，横坐标。

横坐标和纵坐标。

6、点到坐标轴及原点的距离：

（1）||

（2）|x|（3）

【基础检测答案】

1．（2016•荆门）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．

【解答】解：

∵点A（a，﹣b）在第一象限内，

∴a＞0，﹣b＞0，

∴b＜0，

∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．

故选D．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）

2（2016•广西百色•3分）若点A（x，2）在第二象限，则x的取值范围是　x＜0　．

【考点】点的坐标．

【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，可得答案．

【解答】解：

由点A（x，2）在第二象限，得

x＜0，

故答案为：

x＜0．

3．（2016•临夏州）已知点P（0，）在轴的负半轴上，则点（﹣，﹣+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

【分析】根据轴的负半轴上点的横坐标等于零，纵坐标小于零，可得的值，根据不等式的性质，可得到答案．

【解答】解：

由点P（0，）在轴的负半轴上，得

＜0．

由不等式的性质，得

﹣＞0，﹣+1＞1，

则点（﹣，﹣+1）在第一象限，

故选：

A．

【点评】本题考查了点的坐标，利用点的坐标得出不等式是解题关键．

4．（2016•贵港）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）．（﹣1，2）D．（1，2）

【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．

【解答】解：

∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，

∴点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，

∴A′的坐标为（﹣1，1）．

故选：

A．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

（2016•四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与轴的交点坐标是　（0，3），（0，﹣1）　．

【考点】坐标与图形性质．

【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．

【解答】解：

以（1，1）为圆心，为半径画圆，与轴相交，构成直角三角形，

用勾股定理计算得另一直角边的长为2，

则与轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．

故答案为：

（0，3），（0，﹣1）．

6（2016•贵州安顺•3分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（　　）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：

由题意可知此题规律是（x+2，﹣3），照此规律计算可知顶点P（﹣4，﹣1）平移后的坐标是（﹣2，﹣4）．

故选A．

【点评】本题考查了图形的平移变换，平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

7（2016•四川眉•3分）已知点（1﹣2，﹣1）在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A．B．．D．

【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．

【解答】解：

由点（1﹣2，﹣1）在第四象限，得

1﹣2＞0，﹣1＜0．

解得＜，

故选B．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

8．（2016•黑龙江龙东•3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△AB“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△AB的顶点的坐标为　　．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．

【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．

【解答】解：

解：

∵△AB是等边三角形AB=3﹣1=2，

∴点到x轴的距离为1+2×=+1，

横坐标为2，

∴A（2，+1），

第2016次变换后的三角形在x轴上方，

点A的纵坐标为+1，

横坐标为2-2016×1=-2014，

所以，点A的对应点A′的坐标是（-2014，+1）

故答案为：

（-2014，+1）．

9（2016•福建龙岩•3分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　　．【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．

【分析】根据勾股定理，可得A的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．

【解答】解：

如图，，

由勾股定理，得

A==2．

sin∠1==，

故答案为：

．

【达标检测答案】

一、选择题

1（201年重庆B第4题4分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（-3,2），则点P所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】

试题分析：

第一象限中的点横纵坐标都是正数；第二象限中的点横坐标为负数；纵坐标为正数；第三象限中的点横纵坐标都是负数；第四象限中的点横坐标为正数；纵坐标为负数

2．（2016•大连）在平面直角坐标系中，点（1，）所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限．第三象限D．第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．

【解答】解：

点（1，）所在的象限是第一象限．

故选A．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

3在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点坐标为（　　）

A．（3，2）B．（2，）．（，3）D．（，）

【答案】B．

【解析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点A（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）

故选B．

4．（2016•雅安）已知△AB顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），（1，0），将△AB平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（7，1）B．B（1，7）．（1，1）D．（2，1）

【分析】根据点A的坐标以及平移后点A的对应点A1的坐标可以找出三角形平移的方向与距离，再结合点B的坐标即可得出结论．

【解答】解：

∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），

4﹣0=4，10﹣6=4，

∴△AB向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，

∴点B的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．

故选．

【点评】本题考查了坐标与图形变化中的平移，解题的关键是找出三角形平移的方向与距离．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形一个顶点以及平移后对应点的坐标找出平移方向和距离是关键．

如图，小明从点出发，先向西走40米，再向南走30米到达点，如果点的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）A点AB点B点D点D

【答案】B

【解析】根据题意可得：

小明从点出发，先向西走40米，再向南走30米到达点，如果点的位置用（﹣40，﹣30）表示，即向西走为x轴负方向，向南走为轴负方向；则（10，20）表示的位置是向东10，北20；即点B所在位置．

解：

根据如图所建的坐标系，易知（10，20）表示的位置是点B，

故选：

B．

610线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（　　）

　A．（﹣8，﹣2）B．（﹣2，﹣2）．（2，4）D．（﹣6，﹣1）

【答案】．

【解析】∵点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），

∴P点是横坐标+，纵坐标+3得到的，

∴点Q（﹣3，1）的对应点N坐标为（﹣3+，1+3），

即（2，4）．

故选．

7．（201•甘肃庆阳，第12题，3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△A1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△A1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）　A．（4n﹣1，）B．（2n﹣1，）．（4n+1，）D．（2n+1，）

【解析】首先根据△A1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．

【解答】解：

∵△A1B1是边长为2的等边三角形，

∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），

∵△B2A2B1与△A1B1关于点B1成中心对称，

∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，

∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，

∴点A2的坐标是（3，﹣），

∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，

∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，

∵2×4﹣3=，2×0﹣（﹣）=，

∴点A3的坐标是（，），

∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，

∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，

∵2×6﹣=7，2×0﹣=﹣，

∴点A4的坐标是（7，﹣），

…，

∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，

∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，

∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，

∴顶点A2n+1的纵坐标是，

∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．

故选：

．

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少．

二、填空题：

8（201年四川省广元市中考，12,3分）若第二象限内的点P（x，）满足|x|=3，2=2，则点P的坐标是　（﹣3，）　．

【解析】根据绝对值的意义和平方根得到x=±，=±2，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，＞0，于是x=﹣，=2，然后可直接写出P点坐标．

【解答】解：

∵|x|=3，2=2，

∴x=±3，=±，

∵第二象限内的点P（x，），

∴x＜0，＞0，

∴x=﹣3，=，

∴点P的坐标为（﹣3，），

故答案为：

（﹣3，）．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

9．（2016•黑龙江龙东•3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△AB“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△AB的顶点的坐标为　　．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．

【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．

【解答】解：

解：

∵△AB是等边三角形AB=3﹣1=2，

∴点到x轴的距离为1+2×=+1，

横坐标为2，

∴A（2，+1），

第2016次变换后的三角形在x轴上方，

点A的纵坐标为+1，

横坐标为2-2016×1=-2014，

所以，点A的对应点A′的坐标是（-2014，+1）

故答案为：

（-2014，+1）．

10．已知点P的坐标为（，a），且点P在第二、四象限角平分线上，则a=。

【答案】-

【解析】根据第四象限内点的纵坐标是负数解答即可．

11．（201•济南,第1题3分）如图，在平面直角坐标系中，△AB的顶点都在方格纸的格点上，如果将△AB先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B11，那么点A的对应点A1的坐标为（　　）　A．（4，3）B．（2，4）．（3，1）D．（2，）

【解析】坐标与图形变化－平移．根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．

【解答】解：

由坐标系可得A（﹣2，6），将△AB先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），

即（2，），故选：

D．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．

12（201•青海西宁第14题2分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab=　　．

【解析】关于原点对称的点的坐标．平面直角坐标系中任意一点P（x，），关于原点的对称点是（﹣x，﹣），即：

求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

【解答】解：

∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，

∴b=﹣1，a=2，

∴ab=2﹣1=．

故答案为：

．

【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．

三．解答题

13．（201•衡阳,第23题6分）如图，在平面直角坐标系中，△AB的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，）、（1，2）．

（1）在平面直角坐标系中画出△AB关于x轴对称的△A1B11；

（2）把△AB绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB22，点2在AB上．

①旋转角为多少度？

②写出点B2的坐标．【解析】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．

（1）分别得到点A、B、关于x轴的对称点，连接点A1，B1，1，即可解答；

（2）①根据点A，B，的坐标分别求出A，B，A的长度，根据勾股定理逆定理得到∠AB=90°，即可得到旋转角；

②根据旋转的性质可知AB=AB2=3，所以B2=A+AB2=，所以B2的坐标为（6，2）．

【解答】解：

（1）A（3，2）、B（3，）、（1，2）关于x轴的对称点分别为A1（3，﹣2），B1（3，﹣），1（1，﹣2），

如图所示，

（2）①∵A（3，2）、B（3，）、（1，2），

∴AB=3，A=2，B=，

∵，

∴AB2+A2=B2，

∴∠AB=90°，

∵A与A2的夹角为∠A2，

∴旋转角为90°；

②∵AB=AB2=3，

∴B2=A+AB2=，

∴B2的坐标为（6，2）．

【点评】本题考查轴对称及旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点．