全等三角形培优竞赛讲义一.doc
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全等三角形培优竞赛讲义
（一）
知识点
全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
（3）有公共边的，公共边常是对应边．
（4）有公共角的，公共角常是对应角．
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角．
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
（1）边角边定理（SAS）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
（2）角边角定理（ASA）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
（3）边边边定理（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等．
（4）角角边定理（AAS）：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）斜边、直角边定理（HL）：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：
能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
例题精讲
板块一、截长补短
【例1】（年北京中考题）已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
【解析】，
理由是：
在上截取，连结，
利用证得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
利用证得≌，∴，∴．
【例2】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?
【解析】猜测.过点作交于点，，∴
又∵，
∴，而，
∴，∴．
【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？
【解析】猜测.在上截取，
∴，∴
∴，∴，
∴，∴．
【例3】已知：
如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：
BE+DF=AE.
【解析】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.
∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF
∴△ABM≌△ADF
∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM
∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
【例4】以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：
平分．
【解析】因为、是等边三角形，所以，，，
则，所以，
则有，，．
在上截取，连结，容易证得，．
进而由．得；
由可得，即平分．
【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【解析】如图所示，延长到使.
在与中，因为，，，
所以，故.
因为，，所以.
又因为，所以.
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为.
【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，
求证：
AD平分∠CDE
【解析】延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF
∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF
∴EF=BC，AC=AF
∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF
∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF
即AD平分∠CDE.
板块二、全等与角度
【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.
【解析】如图所示，延长至使，连接、.
由知，
而，则为等边三角形.
注意到，，，
故.
从而有，，
故.
所以，.
【另解】在上取点，使得，则由题意可知.
在和中，，，，
则，从而，
进而有，，
.
注意到，则：
，
故.
【点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.
需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考 虑的方法.
【例8】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求.
【解析】以为边向外作正，连接.
在和中，，，
，
则.
由此可得，所以是等腰三角形.
由于，
则，
从而，，
则.
【另解1】以为边在外作等边三角形，连接.
在和中，，，，
因此，
从而，.
在和中，，，，
故，
从而，，
故，因此.
【另解2】如图所示，以为边向内部作等边，连接、.
在和中，，，
，
故，
而，进而有.
则，
故.
【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.
【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.
【解析】过作的平行线交于，连接交于.
连接，易知、均为正三角形.
因为，，，
所以，，，
则，，
故.
从而.
进而有，.
【另解】如图所示，在上取点，使得，
由、可知.
而，故，.
在中，，，
故，从而，进而可得.
而，
所以为等边三角形.
在中，，
，
故，从而.
我们已经得到，故是的外心，
从而.
【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师RossHonsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.
【例10】在四边形中，已知，，，，求的度数.
【解析】如图所示，延长至，使，由已知可得：
，
，
故.
又因为，，
故，
因此，，.
又因为，
故，.
而已知，
所以为等边三角形.
于是，
故，
则，
从而，
所以.
【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形中，，，，，求的度数.
【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是的倍数，这使我们想到构造角，从而利用正三角形.
在四边形外取一点，使且，连接、.
在和中，，，，
故.
从而.
在中，，，
故，，
从而.
而，
故是正三角形，，.
在中，，
故.
在和中，，，，
故，
从而，
则.
【例12】（河南省数学竞赛试题）在正内取一点，使，
在外取一点，使，且，求.
【解析】如图所示，连接.因为，，，
则，
故.
而，，，
因此，故.
【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数.
【解析】在中，由可得，.
如图所示，作于点，延长交于点，连接，
则有，
，
，
所以.
又因为，
所以.
而，因此，
故.
由于，
则，
故.
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