四边形整章知识题型总结.docx

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四边形整章知识题型总结

第十九章四边形知识及题型总结

一.本章知识要求和结构

1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系.

（1）演变关系图：

（2）从属关系

平行四边形

（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）

2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

名称

平行四边形

矩形

菱形

正方形

定

义

的四边形是平行四边形

的平行四边形是矩形

的平行四边形是菱形

的平行四边形是正方形

性

质

边

角

对角线

对称性

判

定

边

角

对角线

面

积

周

长

3.

（1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.

如图1，=BC·AE=CD·BF

（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2，=

4.三角形中位线定理

定义:

叫做三角形中位线（及中线的区分）;

定理:

作用:

可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分.

拓展:

三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的和;

（4）直角三角形的性质定理:

直角三角形斜边上的中线

5.正方形：

（1）对角线：

若正方形的边长为a，则对角线的长为;

正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等

（3）面积：

正方形的面积等于边长的平方;等于两条对角线的乘积的一半.

周长相等的四边形中，正方形的面积最大.

6.※梯形的中位线

（1）定义:

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

（2）梯形的中位线定理:

梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.

（3）梯形的面积S=×（上底+下底）×高=中位线×高

7.几种特殊四边形的对角线

①矩形对角线交角为60︒（120︒）时,可得：

等边三角形和含30︒角直角三角形

②菱形有一个角为60︒时,可得：

③正方形中可得：

含30︒角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形

（①图）（②图）（③图）

④对角线互相垂直的梯形,⑤对角线互相垂直的等腰梯形

平移腰可得：

双垂图可得：

等腰直角三角形

（④图）（⑤图）

8.中点四边形:

（顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线）

（1）顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________

（2）顺次连结对角线相等的四边形的各边中点,构成的四边形是__________

（3）顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______

（4）顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_________

顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_________

顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_________

顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是__________

顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是__________

二．典型题型归纳

（一）概念题

1．中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，

则的周长为．

2．在中，∠C=60º,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．

（1）则∠EDF=；

（2）如图，若AE=4，CF=7，

则周长=;

（3）若AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求周长．

3．

（1）在平行四边形ABCD中，若∠C=∠B+∠D，则∠A=.

（2）已知在,∠A比∠B小20º，则∠C的度数是．

（3）在中，周长为100cm，AB-BC=20cm，则AB=,

BC=.

（4）在中，周长为30cm，且AB：

BC=3：

2，则AB=cm.

（5）（2007河北省）如图，若□ABCD及

□EBCF关于BC所在直线对称，

∠ABE＝90°，则∠F ＝°．

4．（2007福建福州）下列命题中，错误的是（）

A．矩形的对角线互相平分且相等

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．等腰梯形的两条对角线相等

D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等

5.（2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（　　）

A．一组对边平行的四边形是平行四边形　

B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6.（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

7.（2007四川眉山）下列命题中的假命题是（）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

8.（2007四川成都）下列命题中，真命题是（　　）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形

Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

9.（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）

Ａ．Ｂ．AC⊥BDＣ．等边△ABDＤ．∠CAB＝∠CAD

（二）图形的性质和判定方法

10．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作//，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交、于Q、P，试判断四边形PQMN的形状．

11．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH，求证：

四边形EFGH为正方形．

12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，

AE=AB，AB=2AD，求∠EBC的度数

（三）转化的思想——将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题.如图所示：

13．填空

（1）等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60º，

则下底长是．

（2）等腰梯形一个底角是60º，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的

腰长是，高是，面积是．

（3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰及下底的

夹角为30º，则另一腰长为，下底长为．

（4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为，

面积为．

（5）已知在梯形ABCD中，AD//BC，若两底AD、BC的长分别为2、8，

两条对角线BD=6，AC=8，则梯形的面积为．

（四）推理论证的进一步巩固

14．（2007恩施自治州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：

四边形BFDE是平行四边形.

15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是直线AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，CE、BF交于点H．求证：

四边形GEHF是平行四边形.

16．平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE，,求证：

四边形AECF是平行四边形.

17．求证：

正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形．

18．已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，

（1）若BE=CF，如图13

（1）．求证：

AE=BF并且AE⊥BF；

（2）若E、F分别是BC、EF的中点，如图13

（2），求证：

GD=AD．

19．（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（）

A．红花、绿花种植面积一定相等

B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等

D．蓝花、黄花种植面积一定相等

20.（06盐城）已知的面积为4，对角线交于O，

则S△AOB=．

21.若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围是（）

A.4

23.平行四边形中一边长为10cm，那么两条对角线的长度可以是（）

A．4cm和6cmB．6cm和8cm

C．8cm和12cmD．20cm和30cm

24.（07北京市23）如图，已知．

（1）请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使

（1）成立的相应条件，证明．

25．如图已知，过顶点A作∠B、∠C的平分线的

垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：

ED//BC．

26．如图，已知BD、CE是⊿ABC的两条高，

M、N分别是BC、DE的中点．

求证：

（1）EM=DM；

（2）MN⊥DE．

27．

（1）如图27

（1），正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

①若∠EAF=45º．求证：

EF=BE+DF．

②若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，

问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？

（2）如图27

（2），已知正方形ABCD的边长为1，

BC、CD上各有一点E、F，如果⊿CEF的周长为2．

求∠EAF的度数．

（3）如图27（3），已知正方形ABCD，F为BC中点

E为CD边上一点，且满足∠BAF=∠FAE．

求证：

AE=BC+CE．

（五）知识的联系及综合

28．已知的顶点A、B、C的坐标为（-2,3）,（-5,-4）,（1,-4），则D点坐标为

29.如图，已知的两条对角线AC及BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（-2,3），则点C的坐标为（）

A、（-3,2）B、（-2,-3）C、（3,-2）D、（2,-3）

第32题图

30．如图，两平面镜的夹角为，入射光线AO平行于入射到，两次反射后的光线O`B平行于，则角等于．

31．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为．

32.（05,潍坊）如图,在直角坐标系中,将长方形OABC沿OB对折,使点A落在A1处,已知OA=,AB=1,则点A1的坐标是（）

A.（）B.（）C.（）D.（）

（六）面积的问题：

各种四边形面积的求法和等积变换

33．如图，E为边CD上一点，的面积为S，则△ABE的面积为（）

A、SB、SC、SD、

34．如图，在ABCD中，AD⊥BD，∠A=∠ABC，如果AD=2，

那么ABCD的周长是，面积是．

35．如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN和PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1及矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2（填“>”、“=”或“<”）

36．如图，在中，点P在BC上，PQ∥BD交CD及Q，则图中和△ABP面积相等的三角形有个，它们分别是:

．

37．如图，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，

DE交BC于F．求证：

38．如图，点E、F分别在的边DC、CB上，

且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足．

求证：

DG=BH．

（七）运动变换的思想在本章中的应用．

39．（希望杯第9届初二第二试）已知ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的值．

40．在矩形AB