数值计算方法实验jrh.docx
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数值计算方法实验jrh
学院：
自动化学院
班级：
自动化085
姓名：
学号：
2011年3月
一、实验的性质、目的和任务
本实验是与本专业基础课《数值计算方法》相配套的，旨在巩固专业课内容和学生编程的能力。
通过实验加强对数值方法的理解和掌握，编制出适用的程序。
同时，在理论教学的基础上，注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，；其次要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。
要求学生应用高级计算机语言Matlab编程完成实验。
二、实验基本要求
要求熟悉高级计算机语言Matlab，以及相关上机操作说明；上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备；记录调试过程及结果。
三、实验原理
应用高级计算机语言实现数值计算方法课程中的各种算法。
四、设备及器材配置
主机：
微机
操作系统：
WINDOWS98以上
软件：
高级计算机语言Matlab
五、考核与报告
每个实验完成后交一份实验报告。
本实验作为平时成绩的一部分占学期期末总成绩的20%。
六、适用对象
自动化专业
七、主要参考书
1.王能超编，《数值分析简明教程》，高等教育出版社，2003年，第2版
2.封建湖编，《数值分析原理》，科学出版社，2001年，第1版
3.冯有前编，《数值分析》，清华大学出版社，2005年，第1版
4.周璐等译，JohnH.Mathews等编，《数值方法（MATLAB版）》，电子工业出版社，2007年，第二版
实验一采用拉格朗日方法计算插值
一、实验目的：
1.掌握多项式插值的概念、存在唯一性；
2.能够熟练地应用拉格朗日方法计算插值，并完成插值程序的设计和调试。
二、实验内容：
构造拉格朗日插值多项式
逼近
，要求：
（1）取节点
，
求线性插值多项式
；
（2）取节点
，
，
求抛物插值多项式
；
（3）取节点
，
，
，
求三次插值多项式
；
（4）分别求
、
、
的值，并与精确值相比较。
三、实验程序及结果：
实验程序如下：
Ex1_1.m:
l0=xianxing（1.3,-1,1）;
l1=xianxing（1.3,1,-1）;
y0=hanshu（-1）;
y1=hanshu
（1）;
y=l0*y0+l1*y1
det1=abs（y-hanshu（1.3））
Ex1_2.m:
l0=paowu（1.3,-1,0,1）;
l1=paowu（1.3,0,-1,1）;
l2=paowu（1.3,1,-1,0）;
y0=hanshu（-1）;
y1=hanshu（0）;
y2=hanshu
（1）;
y=l0*y0+l1*y1+l2*y2
det2=abs（y-hanshu（1.3））
Ex1_3.m:
l0=sanci（1.3,-1,0,1,2）;
l1=sanci（1.3,0,-1,1,2）;
l2=sanci（1.3,1,0,-1,2）;
l3=sanci（1.3,2,-1,0,1）;
y0=hanshu（-1）;
y1=hanshu（0）;
y2=hanshu
（1）;
y3=hanshu
（2）;
y=l0*y0+l1*y1+l2*y2+l3*y3
det3=abs（y-hanshu（1.3））
xianxing.m:
functionf=xianxing（x,y,z）
f=（x-z）/（y-z）;
paowu.m:
functionf=paowu（x,y,z,w）
f=（（x-z）*（x-w））/（（y-z）*（y-w））;
sanci.m:
functionf=sanci（x,y,z,w,s）
f=（（x-z）*（x-w）*（x-s））/（（y-z）*（y-w）*（y-s））;
hanshu.m:
functionf=hanshu（x）
f=x^3;
实验结果分析：
y=1.3000
det1=0.8970
y=1.3000
det2=0.8970
y=2.1970
det3=4.4409e-016
结果说明三次插值方法得到的结果最接近真实值。
实验二采用埃特金方法计算插值
一、实验目的：
1.进一步掌握多项式插值的概念；
2.能够熟练地应用埃特金方法计算插值，并完成插值程序的设计和调试。
二、实验内容：
设
取节点为
，
，
，
，
，
，
，
，
，用埃特金方法求
的近似值，并与真实结果相比较。
三、实验程序及结果：
实验程序如下：
Ex2.m:
x=[-1,-0.75,-0.5,-0.25,0,0.25,0.5,0.75,1];
fori=2:
9
forj=i:
9
y（j-1,i-1）=atj（0.793,x（i-1）,x（j））;
end
end
y（8,8）
det=abs（y（8,8）-hs（0.793））
hs.m:
functionf=hs（x）
f=2+sin（pi*x/6）;
atj.m:
functionf=atj（x,y,z）
f=（（x-z）/（y-z））*hs（y）+（（x-y）/（z-y））*hs（z）;
实验结果分析：
ans=
2.4029
det=
5.2372e-004
实验结果说明利用埃特金算法得到的结果与真实值很接近，而且利用此迭代算法可以避免拉格朗日插值公式中的重新计算。
实验三采用复化柯特斯公式计算数值积分
一、实验目的：
1.掌握牛顿－柯特斯公式的基本原理及推导，了解复化求积法的计算步骤；
2.能够熟练地应用复化梯形公式、复化新甫生求积公式和复化柯特斯求积公式计算数值积分，并完成积分程序的设计和调试。
二、实验内容：
设
取节点为
，
，
，
，
，
，
，
，
，分别用复化梯形公式、复化新甫生法和复化柯特斯方法求积分
的近似值。
三、实验程序及结果：
实验程序如下：
Ex3.m:
tnf=tx（0,1,8）
snf=xps（0,1,8）
cnf=kts（0,1,8）
hs3.m:
functionf=hs3（x）
f=2+sin（2*pi*sqrt（x）/8）;
tx.m:
functionf=tx（x,y,n）
h=（y-x）/n;
sum=0;
fori=1:
n-1
sum=sum+hs3（x+i*h）;
end
f=h/2*（hs3（x）+2*sum+hs3（y））;
xps.m:
functionf=xps（x,y,n）
h=（y-x）/n;
sum1=0;
sum2=0;
fori=0:
n-1
sum1=sum1+hs3（x+（i+1/2）*h）;
end
forj=1:
n-1
sum2=sum2+hs3（x+j*h）;
end
f=h/6*（hs3（x）+4*sum1+2*sum2+hs3（y））;
kts.m:
functionf=kts（x,y,n）
h=（y-x）/n;
sum1=0;
sum2=0;
sum3=0;
sum4=0;
fori=0:
n-1
sum1=sum1+hs3（x+（i+1/4）*h）;
sum2=sum2+hs3（x+（i+1/2）*h）;
sum3=sum3+hs3（x+（i+3/4）*h）;
end
forj=1:
n-1
sum4=sum4+hs3（x+i*h）;
end
f=h/90*（7*hs3（x）+32*sum1+12*sum2+32*sum3+14*sum4+7*hs3（y））;
实验结果分析：
tnf=
2.4852
snf=
2.4910
cnf=
2.5143
实验四采用四阶龙格－库塔方法求解常微分方程
一、实验目的：
1.掌握龙格－库塔方法的设计思想；
2.能够熟练地应用龙格－库塔方法求解常微分方程，并完成四阶龙格－库塔方法程序的设计和调试。
二、实验内容：
用四阶龙格－库塔方法计算区间
上初值问题
的解。
其中步长
。
三、实验程序及结果：
实验程序如下：
Ex4.m:
y0=0;
y
（1）=lg_kt（y0,0.1）;
fori=2:
14
y（i）=lg_kt（y（i-1）,0.1）;
end
y
lg_kt.m:
functionf=lg_kt（y,h）
k1=hs4（y）;
k2=hs4（y+h/2*k1）;
k3=hs4（y+h/2*k2）;
k4=hs4（y+h*k3）;
f=y+h/6*（k1+2*k2+2*k3+k4）;
hs4.m:
functionf=hs4（x）
f=1+x^2;
实验结果分析：
y=
Columns1through9
0.10030.20270.30930.42280.54630.68410.84231.02961.2602
Columns10through14
1.55741.96472.57213.60165.7920
实验五采用迭代法求解非线性方程
四、实验目的：
1.掌握牛顿法、弦截法、快速弦截法的算法思想；
2.能够熟练地应用牛顿法、弦截法、快速弦截法求解非线性方程，并完成程序的设计和调试。
五、实验内容：
分别用牛顿法、弦截法、快速弦截法求方程
的根，要求精度
。
六、实验程序及结果：
实验程序如下：
Ex5_1:
x
（1）=0;
x
（2）=newton（x
（1））;
i=2;
while（abs（x（i）-x（i-1））>1e-4）
x（i+1）=newton（x（i））;
i=i+1;
end
x
ex5_2:
x0=0;
x
（1）=1;
x
（2）=xjf（x0,x
（1））;
i=2;
while（abs（x（i）-x（i-1））>1e-4）
x（i+1）=xjf（x0,x（i））;
i=i+1;
end
x
ex5_3:
x0=0;
x
（1）=1;
x
（2）=k_xjf（x0,x
（1））;
i=2;
while（abs（x（i）-x（i-1））>1e-4）
x（i+1）=k_xjf（x（i-1）,x（i））;
i=i+1;
end
x
newton.h:
functionf=newton（x）
f=x-（exp（x）-4*cos（x））/（exp（x）+4*sin（x））;
xjf.h:
functionf=xjf（x,y）
f=y-（hs5（y）/（hs5（y）-hs5（x）））*（y-x）;
k_xjf.h:
functionf=k_xjf（x,y）
f=y-（hs5（y）*（y-x））/（hs5（y）-hs5（x））;
hs5.h
functionf=hs5（x）
f=exp（x）-4*cos（x）;
实验结果分析：
牛顿迭代法：
x=
Columns1through9
03.00001.83561.11340.92070.90490.90480.90480.9097
Columns10through18
0.90140.90710.90320.90590.90400.90530.90440.90510.9046
Columns19through23
0.90490.90470.90480.90470.9048
☆实验总结：
通过本次试验，受益匪浅啊！
使得对数值计算的各种方法产生了更为深刻的认知和了解，同时也巩固了过去所学的matlab知识。
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