（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。
（此时称
X服从以p为参数的几何分布）
（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y得分布律。
（此时称Y服从以r,p为参数的帕斯卡分布或负二项分布）
（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X
的分布律，并计算X取得偶数的概率
解：
（1）k=1,2,3,……
P（X=k）=
（2）=r+,r+,r+,……
P（Y=k）=
（3）=,,,
P（X=k）=0.45,
设p为X取得偶数的概率
P={X=}+{X=}+……+{X=}
=0.45+0.45+.
5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了
房间，它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。
假定鸟是没有记
忆的，它飞向各扇窗子是随机的。
（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。
（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以Y表示这
只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。
如户主所说是确实的，试求Y的分布律。
⑶求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率。
解：
（1）由题意知，鸟每次选择能飞出窗子的概率为1/3，飞不出窗子的概率为2/3，且各次选
择之间是相互独立的，故X的分布律为：
P（X=k）=-
（2）Y的可能取值为1,2,3,其分布律为
方法
P（Y=1）=-
P（Y=3）=-
方法二：
由于鸟飞向各扇窗户是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的。
即P（X=1）=P（Y=2）=P（X=3）=-
（3）设试飞次数X小于Y为事件A,Y小于X为事件B。
普通鸟和聪明鸟的选择是独立的
X小于Y的情况有：
①X=1,Y=2②X=1,Y=3③X=2,Y=3
故P（A）=P（X=1）*P（Y=2）+P（X=1）*P（Y=3）+P（X=2）*P（Y=3）
Y小于X的情况有：
①Y=,X>②Y=,X>③Y=,X>
故（B）=（Y=）*（X>）+（Y=）*（X>）+（Y=）*（X>）
=P（Y=1）*[1-P（X=1）]+P（Y=2）*[1-P（X=1）-P（X=2）]+P（Y=3）*[1-P（X=1）-P（X=2）-P（X
=3）]
=-（1-一）（1----）+-（1-----—）
6.一大楼装有5台同类型的供水设备。
设各台设备是否被使用相互独立。
调查表明在任时刻t每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，
（1）恰有2台设备被使用的概率是多少？
（2）至少有3台设备被使用的概率是多少？
（3）至多有3台设备被使用的概率是多少？
（4）至少有1台设备被使用的概率是多少？
解：
设同一时刻被使用的设备数为X,试验次数为5且每次试验相互独立，显然X满足二次
分布X
（1）
=0.0729
P（X=2）=
（2）
++=0.00856
=0.99954
（X>）=（X=）+P（X=4）+P（X=5）=
（3）（XW）=-P（X=4）-P（X=5）=1-
（4）（X>）=-P（X=0）=1-=0.40951
7.设事件A在每次试验发生的概率为0.3。
A发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：
设进行5次重复独立试验指示灯发出信号为事件B,进行7次重复独立试验指示灯发出
信号为事件C。
用X表示n次重复独立试验中事件
A发生的次数，则
P（X=k）=
（1）P（B）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=
或:
P（B）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=1-
（2）P（C）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=1-
&甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.今各投三次，求：
（1）两人投中次数相等的概率
（2）甲比乙投中次数多的概率
解：
记投三次后甲投中次数为X,乙投中次数为Y,,设甲投中a次，乙投中b次的概率为
P（X=a,Y=b）
（1）设两人投中次数相等为事件A
因为甲、乙两人每次投篮相互独立且彼此投篮相互独立
则P（A）P（X=0,Y=0）+P（X=1,Y=1）+P（X=2,Y=2）+P（X=3,Y=3）
（）
（
）+
+
（）
（）+（
）
（）
0.321
（2）设甲比乙投中次数多为事件
B
则P（B）P（X=1,
Y=0）
+P（X=2,
Y=0）
+P（X=3,
Y=0）+P（X=2,
Y=1）+P（X=3,Y=1）
+P（X=3,Y=2）
+
（）
+
+
（）
+（
）
+（）
（）
0.243
9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：
从中任取10件，经检验无次品接受
这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中
无次品时接受这批产品。
若产品的次品率为10%求：
（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率
（2）需作第二次检验的概率
（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率
（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率
（5）这批产品被接受的概率
解：
记第一次检验抽取的10件中次品个数X,则X〜B（10,0.1）第二次检验抽取的5件
中次品个数Y,则丫〜B（5,0.1）
（1）设事件A为“这批产品第一次检验就能接受”，
P（A）=（）0.349
（2）设事件B为“需作第二次检验”，即第一次检验次品数为1或2
P（B）=P（X=1）+P（X=2）
=（）+（）（）
0.581
（3）设事件C为“这批产品按第二次检验的标准被接受”
P（C）=（）0.590
（4）设事件D为“这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过”由
（2）（3）知事件B、C相互独立
P（D）P（B）P（C）
0.5810.590
0.343
（5）设事件E为“这批产品被接受的概率”，其中包括事件A和事件D,A与D互斥
P（E）P（A）+P（D）
0.349+0.343
0.692
10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部
挑出来，算是试验成功一次。
（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对
的，还是他确有区分的能力（设每次试验是相互独立的）
解：
（1）设事件A为“试验成功一次”，题意为在8杯中挑4杯，恰好挑到事件A
由题意知P（A）--
（2）设事件B为“他连续试验10次，成功3次”由于每次试验相互独立
则P（B）=
（-）
（一）
此概率太小在试验中竟然发生了，按实际推断原理，认为他确实有区分的能力。
11.尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每年总有一些“发明家”撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章。
设某地区每年撰写此类文章篇
数X服从参数为6的泊松分布。
求明年没有此类文章的概率。
解：
设明年没有此类文章的概率为P,又X服从泊松分布，得
X-
令入=6,贝U
12.一电话总机每分钟收到呼叫的次数服从参数为4的泊松分布。
求
（1）某一分钟恰有8次呼唤的概率；
（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率。
解：
设每分钟收到呼叫的次数为随机变量X,呼叫k次的概率为P,同理有
⑴令k=8，则有
X
⑵依题意，X>3,即
XX
XXXX
13.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数X服从参数为（1/2）t的泊松
分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。
（1）求某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率；
（2）求某一天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼叫的概率。
解：
（1）设某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率为P,时间间隔长度t=3,
依题意有
⑵依题意，即X>1,时间间隔长度t=5，贝y
XX
14.某人家中在时间间隔
t（小时）内接到电话的次数
X服从参数为2t的泊松分布。
（1）若他在外出计划用时
10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少?
（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少?
解：
（1）设其间有电话铃响一次的概率为P,t=1/6，依题意有
X-_
（2）外出时没有电话的概率至少为0.5,
即为
X
X
即
求解得
-（小时）
即外出时间不得超出20.79分钟.
15•保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元。
设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，
且各投保人是否死亡相互独立。
求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率
（利用泊松定理计算）。
解：
设投保人在一年内死亡人数为X,则X~b（5000,0.0015），若公司赔付不超过30万元，
则死亡人数不该超过一=10个人,
P{XW10}=
根据泊松定理，入
=np=5000X0.0015=7.5
P{XW10}~
16.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概
率为0.0001。
在某天的该时间段内有1000辆汽车通过。
问出事故的车辆数不小于2的概率
是多少？
（利用泊松定理计算）
解：
设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为X,则X~b（1000,0.0001）,
所求为P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}.
其中，根据泊松定理，入=np=1000
P{X=k}=所以，P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=1}~1-
17.
（1）设X服从（0-1）分布，其分布律为P{X=k}=pk（1-p）1-k,k=0,1，求X的分布函数,
并作出其图形。
（2）求第2题
（1）中的随机变量的分布函数。
解：
;当X=1,
（1）X服从（0-1）分布，即，当x=o,
当x<0,F（x）=0;
当0Wxv1,F（x）=1-p;
当x>1,F（x）=（1-p）+p=1.
X的分布函数为
（2）第2题
（1）中，X的分布律为
X
3
4
5心
P
0.1
0.3
0.氐
所以,
当X
X,
4
X,
5
X,
所以，X的分布函数为
v
F（x）=
18.在区间［0,a］上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。
设这个质点落在］0,
a］中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。
试求X的分布函数。
解：
当xv0,P（x）=0;
当0wxwa,P（x）=kx,（其中k表示概率与区间长度的比例关系）
由于题中说明，在区间［0,1］上任意投掷质点，所以，质点落在区间内是必然事件，所以P（0wx所以X的分布函数为
F（x）=
19.
X的分布
以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）
函数是（x）=
'求下列概率:
（1）P{至多3分钟}.
（2）P{至少4分钟}.
（3）P{3分钟至4分钟之间}.
（4）P{至多3分钟或至少4分钟}.
（5）P{恰好2.5分钟}.
解：
（1）P{至多3分钟}=P{X<}=（3）=1-=1-
（2）P{至少4分钟}=P{X>4}=1-P{XV4}=1-（4）==
（3）P{3分钟至4分钟之间}=P{3WX4}=（4）-（3）=（1-）-（1
（4）P{至多3分钟或至少4分钟}=P{XW3UX>4}=P{XW3}+P{X>4}=（1-=1+-
（5）P{恰好2.5分钟}=P{X=2.5}=0
20.设随机变量X的分布函数为（x）
V,
V,
（1）求P{XV2},P{0VXW3},P{2VXV2.5}.
（2）求概率密度（x）.
解：
（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得
P{XV2}=
（2）=ln2
P{0VXW3}=（3）-（0）=1-0=1
P{2VXV2.5}=（2.5）-
（2）=ln2.5-1n2=ln1.25
（2）根据概率密度的定义可得
（x）=」
，其他
21.设随机变量X的概率密度为
（1）f（x）=
其他
（2）f（x）=
，其他
求X的分布函数
F（x）,并画出
（2）中f（x）及F（x）的图形.
解：
（1）F（x）=P（XWx）=（）
当xv1时，F（x）==0
当1WxW2时，F（x）=+
-=2（x+--2）
当2vx时，F（x）=
故分布函数为F（x）=
（2）F（x）=P（X当xv0时，F（x）=
当0Wxv1时，F（x）=
当1Wxv2时，F（x）=
当2Wx时，F（x）=
故分布函数为F（x）=
-+=1
v
>
（）
=0
+=-
++
（
）
=2x-—-1
++（
）
+
=1
v
一>
v
v
F（x）
22.
（1）分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为:
其他
其中b=m/（2kT），k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。
（2）研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山发生导致不少于10人死亡的事故的
频繁程度。
得知相继两次事故之间的时间T（日）服从指数分布，其概率密度为
（t）=
其他
求分布函数F（t），并且求概率P（50（1）解：
由题意可知
可得
=-A
不妨令
则原式可写为—
由此可得
（2）解：
当t<0时,
当t>0时，
故所求的分布函数为
（t）=
其他
而P{5023.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有概率密度
f（x）=
其他
现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立）大于1500小时的概率是多少？
，任取5只，问其中至少有2只寿命
解：
任取一只该种器件，其寿命大于1500h的概率为
P=
任取5只这种器件，其中寿命大于1500小时的只数记为X则X〜b（5,）.
故所求概率为P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=1}
24.设顾客在某银行的窗口等待服务时间
X（min）服从指数分布，其概率密度为
（X）=其他
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个
月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P（Y>1）.
解：
顾客在窗口等待服务超过10min的概率为
P=
故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为，从而丫〜b（5,）
那么，Y的分布律为P{Y=k}=,k=0,1,2,3,4,5.
P{Y>1}=1-P{Y=0}=1-=0.5167
25、设K在（0,5）服从均匀分布，求x的方程4+4Kx+K+2=0有实根的概率。
解：
4+4Kx+K+2=0有实根
即（）4（）
解得K或K
由题知K在（0,5）服从均匀分布
即
设方程4+4Kx+K+2=0有实根为事件A
P（A）=
26、设X,
（1）求，，
⑵确定c使得
（3）设d满足，问至多为多少
解：
-
（1）——一
即一可得
⑶
即一一
即一
即
则d至多为0.42
）分布，在该地
27、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mmHg十）服从N（110,
区任选一18岁的女青年，测量她的血压X,求
（1）,
（2）确定最小的，使
解:
（1）
⑵
即————
即————
即——
则x最小为129.8，使得
28.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数卩=10.05,（T=0.06的正态分布。
规定长度在范围10.05内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。
解：
设螺栓的长度为X。
I根据（T法则，产品合格的概率合格X
不合格概率：
不合格合格
29.
）的正态分布,
一工厂生产的某种元件的寿命（h）X服从参数为卩,o
若要求P，允许o最大为多少？
解：
由正态分布图形得，o越小时，X落在卩附近的概率越大。
当时
根据标准正态分布表查得,
o
即o最大为
30.设在一电路中，电阻两段的电压（V服从
，今独立测量了5次，试确定2次
测定值落在区间[118,122]之外的概率。
，则Xi-N（120,2A2）
118-120）
2
解：
设第i次测定值为Xi,i=1,2,3,4,5
122120
P{118wXiw122}=0（）-0（
2
=0
（1）-0（-1）
=20
（1）-1
=0.6826
P{Xi?
【118,122】}=1-{wXw}
=0.3174（i=1,2,3,4,5
•/Xi之间相互独立
•••若以Y表示5次测量其测定值Xi落在【118,122】之外的个数
Y~b（5,0.3174）•••所求概率
P{Y=2}=C：
（0.3174）A2（0.6826）A3
=0.3204
31•某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有80%寸间亮红灯，此时
他在指示灯旁等待直至绿灯亮。
等待时间在区间[0,30]（以秒计）服从均匀分布。
以X表
示他的等待时间，求X的分布函数F（x）。
画出F（x）的图形，并问X是否为连续性随机变量，是否为离散型的？
（要说明理由）
解当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯则等待时间为0，若是亮红灯则等待时间X
服从均匀分布。
记“指示灯亮绿灯”为事件A。
则对于固定的＞，全概率公式有
XXX
当wV30时，X当》时，X于是得到X的分布函数为
F（x）的图像如图所示
因F（x）在x=0处有不连续点，故随机变量X不是连续型，又因不存在一个可列的点集，使
得在这个点集上X取值的概率为1所以随机变量也不是离散型的，X是混合型随机变量。
32设f（x），g（x）都是概率密度函数，求证
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