三角反三角函数图像的解析.docx
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三角反三角函数图像的解析
三角函数值在每个象限的符号:
三角、反三角函数整理
Sina，CSCa
三角函数的图像和性质：
*
y=tanx
1
!
y
1
1
1
t
/
I
J
/
3JI
{
i
■
o万
2
A耳
JF
{
1
I
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
y=secx
y=cscx
疋
义域
R
R
{x|x€R且
ji
x丰knJ,k€Z}
{x|x€R且x丰kn€,IZ}
{x|x工k
n+n
/2（k€Z）}
{x|x工kn,k€Z}
值域
[-1,1:
ji
x=2kn+
2
时ymax=1
JI
x=2kn一2
时ymin=-1
[-1,1]
x=2kn时
ymax=1x=2kn+时
ymin=-1
R
无最大值无最小值
R
无最大值无最小值
y>1或yw-1
{y|y>1或yw-1}
周期性
周期为2n
周期为2n
周期为n
周期为n
T=2n
2n
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
Jl
[2kn——2
2,2
ji
kn+一:
上
2
都是增函数；在
ji
[2kn+—
2
2
2kn+n]
3上都是减函数（k€Z）
在]2kn-n,2kn上都是增函数；在
:
2kn,
2kn+]n上都是减函数
（k€Z）
在（kn一,
2
Tt
kn+亍）内都是增
函数（k€Z）
在（kn,kn+n）内都是减函数
（k€Z）
一般不讨论
一般不讨论
角函数的诱导公式（六公式）
公式一：
设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（a+k*2n）=sinak为整数）
COS（a+k*2n）=cosak为整数）
tan（a+k*2n）=tan（a为整数）
公式二
设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系
sin[（2k+1）n+a-S=na
COS[（2k+1）n+a抬OSa
tan[（2k+1）n+a]=tana
COt[（2k+1）n+a]=COta
公式三
任意角a与-a的三角函数值之间的关系：
sin（2k-a）=sina
cos（2k-a）=COsa
tan（2k-a）=tana
COt（2k-a）=COta
公式四
利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系
sin[（2k+1）na]=sina
COS[（2k+1）na]=COSa
tan[（2k+1）na]=tana
COt[（2k+1）na]=COta
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：
sin（2kna）=sina
C0S（2kn-a）=COSa
tan（2kna）=tana
C0t（2kna）=C0ta
公式六：
n/2±4aa的三角函数值之间的关系：
Sin（n/2+a）=C0Sa
cos（n/2+a-sina
tan（n/2+a-Cota
C0t（n/2+a-）=na
sin（n2）=C0Sa
C0S（n/2a）=Sina
tan（n/2a）=C0ta
C0t（n/2a）=tana
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限。
[2]
或者也可以这样记：
分变整不变，符号看象限。
和差角公式
三角和公式
sin（a+3+）y=sina・coscos丫+cosa・sincos丫+cos-sin・aosSin-[SinYn丫
C0S（a+3+）丫=cosa・cos3°eassya^sin3'Siny•cos3°-sSna•sin[•cos丫
tan（a+3+）r=（tana+tan3+tantana・tan3・）ta（Y-tana・ta-taB3°tartana・ta）丫
（a+3+Y^n/2+2，n、3、丫工冗/2+2k）n
积化和差的四个公式
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
和差化积的四个公式：
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
倍角公式
sin（3a）3sina-4sin^3a
=sin（a+2a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3at（2cosA2a-1）cosa-2（1-cosA2a）cosa
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cosA2a-1）cosa-2（1-cosA2a）cosa
=4cosA3a-3cosa
sin3at4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
=3sina-4sinA3a
=4sina（3/4-sinA2a）
=4sina[（V3/2-sina][（V3/2+sina]
=4sina（sin60+sina）（sin60-Sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3at4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
=4cosA3a-3cosa
=4cosa（cosA2a-3/4）
=4cosa[cosA2a-（V3/2人2]
=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°/2]cos[（a-30）°/2]*{-2sin[（a+30）/2]sin[（a-30）°/2]}
=-4cosasin（a+30/sin（a-30/
=-4cosasin[90-（60°-a）]sin[-90+°（60°+a）]
=-4cosacos（60/-a）[-cos（60/+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
tan3attanatan（60°-a）tan（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60/-a）tan（60/+a）
三倍角
sin3a=3sin-4sin人3a=4sina・（sin/3+asin（n/3-a）
cos3a=4cosA3-3cosa=4cosa・CO$n/3+acos（n/3-a）
tan3a=tan（a）*（-3+tan（a）人2）/（-1+3*tan（a）人2）=tanatan（n3+a）-tan（n/3a）
其他多倍角
四倍角
sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sin人人2-1））
cos4A=1+（-8*cosAA2+8*cosAA4）
tan4A=（4*tanA-4*tanAA3）/（1-6*tanAA2+tanAA4）
五倍角
sin5A=16sinAA5-20sinAA3+5sinA
cos5A=16cosAA5-20cosAA3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanAA2+tanAA4）/（1-10*tanAA2+5*tanAA4）
六倍角
sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinAA2））
cos6A=（-1+2*cosA）*（16*cosAA4-16*cosAA2+1）
tan6A=（-6*tanA+20*tanAA3-6*tanAA5）/（-1+15*tanA-15*tanAA4+tanAA6）
七倍角
sin7A=-（sinA*（56*sinAA2-112*sinAA4-7+64*sinAA6））
cos7A=（cosA*（56*cosAA2-112*cosAA4+64*cosAA6-7））
tan7A=tanA*（-7+35*tanAA2-21*tanAA4+tanAA6）
/（-1+21*tanAA2-35*tanAA4+7*tanAA6）
八倍角
sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinAA2-1）*（-8*sinAA2+8*sinAA4+1））
cos8A=1+（160*cosAA4-256*cosAA6+128*cosAA8-32*cosAA2）
tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanAA2-7*tanAA4+tanAA6）/
（1-28*tanAA2+70*tanAA4-28*tanAA6+tanAA8）
九倍角
sin9A=（sinA*（-3+4*sinAA2）*（64*sinAA6-96*sinAA4+36*sinAA2-3））
cos9A=（cosA*（-3+4*cosAA2）*（64*cosAA6-96*cosAA4+36*cosAA2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanAA2+126*tanAA4-36*tanAA6+tanAA8）/
（1-36*tanAA2+126*tanAA4-84*tanAA6+9*tanAA8）
十倍角
sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）
*（-20*sinA^2+5+16*sinAM））
cos10A=（（-1+2*cosAA2）*（256*cosAA8-512*cosAA6+304*cosAA4-48*cosAA2+1））
tan10A=-2*tanA*（5-60*tanAA2+126*tanAA4-60*tanAA6+5*tanAA8）
/（-1+45*tanAA2-210*tanAA4+210*tanAA6-45*tanAA8+tanAAIO）
N倍角
根据棣莫弗定理，（cos0+isin）Pn=cos（n0）+isin（n）B
为方便描述，令sin0=scos0=c
考虑n为正整数的情形：
cos（n0）+isin（n）0=（c+is）An=C（n,0）*cAn+C（n,2）*cA（n-2）*（is）A2+C（n,4）*cA（n-
4）*（is）A4+...…+C（r*dA（n-1）*（is）A1+C（n,3）P（n-3）*（is"+C（n,5）5n-5）
*（is）A5+...…比较两边的实部与虚部
实部：
cos（n0）=C（n,0）*cAn+C（n,2）*cA（n-2）*（is）A2+C（n,4）*cA（n-4）*（is）A4+...
虚部：
i*sin（n0=C（n,1）P（n-1）*（is）A1+C（n,3）5n-3）*（is）A3+C（n,5）5n-5）
*（is）A5+...…
对所有的自然数n:
1.cos（n0）:
公式中出现的s都是偶次方，而sA2=1-cA2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也
就是cos0）表示。
2.sin（n0:
⑴当n是奇数时：
公式中出现的c都是偶次方，而cA2=1-sA2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sin0）表示。
⑵当n是偶数时：
公式中出现的c都是奇次方，而cA2=1-sA2（平方关系），因此即使
再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cos0）的一次方无法消掉。
例.cA3=c*cA2=c*（1-sA2）,cA5=c*（cA2）A2=c*（1岭人2）人2）
特殊公式
（sina+sin0）*（sina-sin0=sin（a+0）*sin（a-0）
证明：
（sina+sin0）*（sina-sin0=2sin[（0+a）/2]cos[（a-0）/2]*2cos[（0+a）/2]sin[（a-0）/2]
=sin（a+0）*sin（a-0）
坡度公式
我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度I的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，
即i=h/I,坡度的一般形式写成I:
m形式，如i=1:
5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.
半角公式万能公式6辅助角公式
注：
该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式等
asina+bcosa=V（aA2+bA2）sin（，其中）tan$=b/a
asinA+bcosB=根号下a方+b方x（根号下a方+b方分之aXsinA+根号下a方+b方分之bXcosB）令根号下a方+b方分之a=cosC则根号下a方+b方分之b=sinCasinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC）=根号下a方+b方xsin（A+C）
.反三角函数:
arctanxarccotx
名称
反正弦函数
反余弦函
反正切函数
反余切
反正割函数
反余割函数
数
函数
定义
y=sinx（x€
r兀兀
I一一L〕
22
的反函数，叫做反正弦函数，记作
x=arsiny
y=cosx（x
€〔o,n）的反函数，叫做反余弦函数，记作
x=arccos
y
y=tanx（x€（
jiji
—,—）的
22
反函数，叫做反正切函数，记作
x=arctany
y=cotx（x€（0,n的反函数，叫做反余切函数，记作
x=arccoty
y=secx,x€[0,n/2）
U（n/2,n]的反函数为反正割函数
理解
arcsinx表示属于
jiji［一一，一】
22
且正弦值等于x的角
arccosx
表示属于
［0,n］,
且余弦值等于x的角
arctanx表示属
于（-_—），且
22
正切值等于x
的角
arccotx表示属于
（0,n）且余切值等于x的角
性质
定义域
[-1,门
[-1,1]
（-oo,+m）
（-o,
+o）
（-o,-1]U[1,+o）
{x|xw-1或x>1}
值域
JlK
[,——]
22
[0,n]
nn
（—,一）
22
（0,n）
[0,n/2）U（n/2,n]
{y|-n/2wy<0或
0/2}
单调性
在〔-1,1〕上是增函数
在［-1,1］
上是减函
数
在（-o,+o）上是增数
在（-o,+o上是减函数
单调递增区
间:
（-o,
-1］、［1,+o）
单调递减区
间:
（-o,
-1］、［1,+o）
奇偶性
arcsin（_x）=_arcsinx
arccos（-x）
=n-arccos
x
arctan（-x）=-arctanx
arccot（-x）=narccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin（arcsinx）=x（x€[-1,
1]）arcsin（sinx）=x（x€jiji
[-—,—]）
22
cos（arccosx）=x（x€
[-1,1]）arccos（cosx）=x（x€
[o,n）
tan（arctanx）=x（x€R）arctan（tanx
JI31
）=x（x€（-—,—））
22
cot（arccotx）=x（x€R）arccot（cotx）=x（x€（0,n
互余恒等式
ji
arcsinx+arccosx=—（x€
2
[-1,1:
）
arctanx+arccotx=—（X€R）
2
反三角函数之间的关系
补角:
7T.
arccosx=——arcsinrr乙
7T
arccotx=——arctanx乙
7T
arccscx=——arcsccx
乙
负数参数:
arcsin（—t）=—arcsinx
arccos（—x）=7r—arccosrrarctan（—x）=—arctantarccot（—t）=7r—arccotrr
ec（—t）=
arccsc（—rr）=—arccscrr
arcs
7T—arcsecx
倒数参数:
1
arccos—=
x
.1
a.rcsm—=
x
1
a.rctaui—=
x
1arctan一=
x
1
arccot—=
x
1
arccot—=
arcsecx
arccscj;
TT
——arctaiiT=arccot果a：
>0
2
7T
--—arctanx=—7r+arccotar,如果<0
壬—arccotrr—arctanx,如果x>0
乙
—arccotx=亓+arctanrr,女口果rr<0
1
arcsec—=
x
1
arccsc—=
x
arccosT
arcsinx
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