三角反三角函数图像的解析.docx

1、三角反三角函数图像的解析三角函数值在每个象限的符号:三角、反三角函数整理Sin a， CSC a三角函数的图像和性质：*y=ta nx1!y111t/IJ/3 JIio万2A耳JF1I函 数y=s inxy=cosxy=ta nxy=cotxy=sec xy=cscx疋义 域RRx | x R 且jix 丰 k nJ ,k Zx | x R 且 x 丰 k n,IZ x| x 工 kn + n/2(k Z)x|x 工 k n , k Z值 域-1, 1:jix=2k n +2时 ymax=1JIx=2k n 一 2时 y min =-1-1,1 x=2k n时ymax = 1 x=2k n +

2、 时ymin =-1R无最大值 无最小值R无最大值 无最小值y 1 或 y w -1y|y 1 或 y w -1周 期 性周期为2n周期为2n周期为n周期为nT=2 n2 n奇 偶 性奇函数偶函数奇函数奇函数偶函数奇函数单 调 性在Jl2k n22,2jik n+一 :上2都是增函 数；在ji2k n + 22,2k n+ n3 上都是减函 数(k Z)在2k n- n, 2k n上都是 增函数；在:2k n,2k n +n上都 是减函数(k Z)在(k n 一 ,2Ttk n+亍)内都是增函数(k Z)在(k n, k n + n) 内都是减函数(k Z)一般不讨 论一般不讨 论角函数的诱导

3、公式(六公式)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 ：sin( a +k*2 n )=sin ak 为整数)COS( a +k*2 n )=cos ak 为整数)tan( a +k*2 n )=tan (a 为整数)公式二设a为任意角，n + a的三角函数值与 a的三角函数值之间的关系sin(2k+1) n +a-S=n aCOS(2k+1) n +a 抬OS atan(2k+1) n + a =tan aCOt(2 k+1) n + a =COt a公式三任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(2k- a )=sin acos(2k- a )=COs atan(2k

4、- a )=tan aCOt(2k- a )=COt a公式四利用公式二和公式三可以得到 n- a与a的三角函数值之间的关系sin (2k+1) na =sin aCOS(2k+1) n a =COS atan (2k+1) na =tan aCOt(2k+1) na =COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2n- a与a的三角函数值之间的关系：sin(2k n a )=sin aC0S(2k n- a )=COS atan(2k n a )=tan aC0t(2k n a )=C0t a公式六：n /2 4a a的三角函数值之间的关系：Sin( n /2+ a )=C0S acos(

5、 n /2+ a -sin atan( n /2+ a -Cot aC0t( n /2+ a-)=n asin( n 2 )=C0S aC0S( n /2 a )=Sin atan( n /2a )=C0t aC0t( n /2a )=tan a诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。 2或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。和差角公式三角和公式sin (a + 3 +)y =si n a cos cos 丫 +cos a sin cos 丫 +cos-sin aos Sin- Sin Yn 丫C0S ( a + 3 +)丫 =cos a cos 3 eassya sin 3Sin y

6、cos 3-sSn a sin cos 丫tan (a + 3 +)r= (tan a +ta n 3 +tantan a tan 3)ta( Y-ta n a ta-taB 3 tartan a ta) 丫(a + 3 + Yn /2+2，n、 3、 丫工冗 /2+2k) n积化和差的四个公式sin a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2cosa*s in b=(s in( a+b)-s in( a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化积的四个公式：sin x+

7、si ny=2si n( (x+y)/2)*cos(x-y)/2)si nx-si ny=2cos(x+y)/2)*si n( (x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2si n( (x+y)/2)*si n( (x-y)/2)倍角公式sin (3a) 3sina -4sin3a=sin( a+2a)=sin 2acosa+cos2as ina=2sina (1-sin2a)+ (1-2sin2a)sina=3si na-4si n3acos3a t (2cosA2a-1 ) cosa-2 (1-cosA2a)cosa=co

8、s (2a+a)=cos2acosa-s in 2as ina=(2cosA2a-1 ) cosa-2 (1-cosA2a)cosa=4cosA3a-3cosasin3a t 4sinasin (60 +a)sin (60 -a)=3si na-4si nA3a=4sina (3/4-sinA2a)=4sina ( V3/2 -sina (V3/2 +sina=4s in a(s in60 +sin a)(s in60 -Sina)=4sina*2sin (60+a)/2cos ( 60 -a)/2*2sin (60 -a)/2cos (60 +a)/2=4sinasin (60+a)sin

9、(60-a)cos3a t 4cosacos (60 -a)cos (60 +a)=4cosA3a-3cosa=4cosa(cosA2a-3/4 )=4cosacosA2a- (V 3/2 人2=4cosa(cosa-cos30 ) (cosa+cos30 )=4cosa*2cos(a+30 /2cos(a-30 ) /2*-2sin(a+30 ) /2sin(a-30 ) /2=-4cosasin(a+30 / sin(a-30 /=-4cosasin90 - (60-a)sin-90 +(60+a)=-4cosacos (60 / -a)-cos (60 / +a)=4cosacos (6

10、0-a)cos (60 +a)tan3a t tan ata n (60-a)tan ( 60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan (60 / -a)tan (60 / +a)三倍角sin3 a =3sin-4sin人3 a =4sin a(sin/3+ a sin (n /3- a)cos3 a =4cosA3 -3cos a =4cos a CO$ n /3+ a cos ( n /3- a)tan3 a =ta n( a) *(-3+ta n (a)人2) /(-1+3*ta n ( a)人2) =ta n a tan ( n 3+a ) -ta n ( n /3a)其他多倍

11、角四倍角sin4 A=-4*(cosA*si nA* (2*s in 人人2-1 )cos4A=1+(-8*cosAA2+8*cosAA4 )tan4A= (4*tanA-4*tanAA3 ) / (1-6*tanAA2+tanAA4 )五倍角si n5A=16s in AA5-20s in AA3+5si nAcos5A=16cosAA5-20cosAA3+5cosAtan5A=tanA* (5-10*tanAA2+tanAA4 ) / (1-10*tanAA2+5*tanAA4 )六倍角sin6A=2*(cosA*sinA* ( 2*sinA+1 ) * (2*sinA-1 ) *(-3+

12、4*sinAA2 )cos6A=(-1+2*cosA)* (16*cosAA4-16*cosAA2+1 )tan 6A=(-6*ta nA+20*ta nAA3-6*ta nAA5 ) /(-1+15*ta nA-15*ta nAA4+ta nAA6 )七倍角si n7A=-(s inA* (56*si nAA2-112*si nAA4-7+64*si nAA6 )cos7A=(cosA* (56*cosAA2-112*cosAA4+64*cosAA6-7 )tan 7A=ta nA*(-7+35*ta nAA2-21*ta nAA4+ta nAA6 )/(-1+21*ta nAA2-35*t

13、a nAA4+7*ta nAA6 )八倍角si n8A=-8*(cosA*si nA* (2*si nAA2-1 ) *(-8*si nAA2+8*si nAA4+1 )cos8A=1+ (160*cosAA4-256*cosAA6+128*cosAA8-32*cosAA2 )ta n8A=-8*ta nA*(-1+7*ta nAA2-7*ta nAA4+ta nAA6 ) /(1-28*ta nAA2+70*ta nAA4-28*ta nAA6+ta nAA8 )九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinAA2 ) * (64*sinAA6-96*sinAA4+36*sinAA2-3

14、)cos9A=(cosA*(-3+4*cosAA2 ) * (64*cosAA6-96*cosAA4+36*cosAA2-3 )tan 9A=ta nA* (9-84*ta nAA2+126*ta nAA4-36*ta nAA6+ta nAA8 ) /(1-36*ta nAA2+126*ta nAA4-84*ta nAA6+9*ta nAA8 )十倍角sin10A = 2*(cosA*sinA* (4*sinA2+2*sinA-1 ) * (4*sinA2-2*sinA-1 )*(-20*si nA2+5+16*si nAM )cos10A = (-1+2*cosAA2 ) * (256*co

15、sAA8-512*cosAA6+304*cosAA4-48*cosAA2+1 )tan 10A = -2*ta nA* (5-60*ta nAA2+126*ta nAA4-60*ta nAA6+5*ta nAA8 )/(-1+45*ta nAA2-210*ta nAA4+210*ta nAA6-45*ta nAA8+ta nAAIO )N倍角根据棣莫弗定理，(cos 0 + i sin ) Pn = cos(n 0) + i sin(n )B为方便描述，令 sin 0 =s cos 0 =c考虑n为正整数的情形：cos(n 0) + i sin(n ) 0= (c+ i s)An = C(n,

16、0)*cAn + C(n,2 ) *cA(n-2 ) *(i s)A2 + C(n,4 ) *cA(n-4) *(i s)A4 + . +C(r*dA(n-1 ) *(i s)A1 + C(n,3 ) P(n-3 ) *(i s + C(n,5 ) 5n-5 )*(i s)A5 + . 比较两边的实部与虚部实部：cos(n 0) =C(n,0)*cAn + C(n,2 ) *cA(n-2 ) *(i s)A2 + C(n,4 ) *cA(n-4 ) *(i s)A4 + .虚部：i*sin(n 0 =C(n,1 ) P(n-1 ) *(i s)A1 + C(n,3 ) 5n-3 ) *(i s

17、)A3 + C(n,5 ) 5n-5 )*(i s)A5 + . 对所有的自然数n :1.cos(n 0 ):公式中出现的s都是偶次方，而sA2=1-cA2 (平方关系)，因此全部都可以改成以 c (也就是cos 0 )表示。2.sin(n 0 :当n是奇数时：公式中出现的 c都是偶次方，而cA2=1-sA2 (平方关系)，因此全部 都可以改成以s (也 就是sin 0)表示。当n是偶数时：公式中出现的 c都是奇次方，而cA2=1-sA2 (平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c (也就是cos 0 )的一次方无法消掉。例.cA3=c*cA2=c* (1-sA2 ) , cA5=c*(

18、cA2 ) A2=c* (1岭人2 )人2)特殊公式(sin a+s in 0) * (sin a- s in 0 =sin (a+ 0) *sin ( a- 0)证明：(sin a+sin 0) * (sin a- s in 0 =2 sin ( 0 +a)/2 cos(a- 0 )/2 *2 cos ( 0 +a)/2 sin (a - 0) /2=sin (a+ 0) *sin (a- 0)坡度公式我们通常把坡面的垂直高度 h与水平宽度I的比叫做坡度(也叫坡比)，用字母i表示，即i=h / I,坡度的一般形式写成I : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a (叫做坡角)，

19、那么 i=h/l=tan a.半角公式万能公式6辅助角公式注：该公式又称收缩公式 /强提公式/化一公式 等asin a +bcos a =V (aA2+bA2)sin( ，其中) tan $ =b/aasinA+bcosB=根号下a方+b方x (根号下a方+b方分之aXsinA+根号下a方+b方分 之bXcosB)令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB= 根号下 a 方 +b 方(sinAcosC+cosBsinC)= 根号下 a 方 +b 方 xsin(A+C).反三角函数:arcta nx arccotx名称反正弦函数反余弦函反正切函

20、数反余切反正割函数反余割函数数函数定义y=sinx(x r 兀 兀I 一一 L2 2的反函数，叫 做反正弦函 数，记作x=ars inyy=cosx(x o, n ) 的反函 数，叫做 反余弦函 数，记作x=arccosyy=ta nx(x (ji ji,)的2 2反函数，叫做 反正切函数， 记作x=arcta nyy=cotx (x (0, n 的 反函 数，叫 做反余 切函 数，记 作x=arcc otyy=secx , x 0 , n /2)U (n /2 , n 的反函 数为反正 割函数理解arcsinx 表示 属于ji ji 一一，一】2 2且正弦值等 于x的角arccosx表示属于

21、0, n,且余弦值 等于x的 角arctanx 表示属于(-_ )，且2 2正切值等于x的角arccot x表示 属于(0, n) 且余切 值等于 x的角性 质定义域-1,门-1 , 1(-oo, +m)(-o,+ o)(-o, -1 U 1 , +o )x|x w -1 或 x 1值域Jl K ,2 20, nn n(,一)2 2(0, n)0, n /2) U (n /2 , n y|- n /2 w y0或0 027T-arctan x = 7r + arccot ar,如果 0乙 arccot x = 亓 + arctanrr,女口果 rr 01arcsec=x1arccsc=xarccosTarcsinx