高二数学下113《两条直线位置关系》教案1沪教版.docx

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高二数学下113《两条直线位置关系》教案1沪教版

2019-2020年高二数学下11.3《两条直线位置关系》教案

（1）沪教版

　一、教学内容分析

本小节的内容大致可以分为两部分：

一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:

第一课时,两条直线的交点和位置关系;第二课时,两条直线的夹角;第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.

在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.

本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：

相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：

有唯一解、无解、无数多个解.

然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.

本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：

建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.

对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.

二、教学目标设计

理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.

三、教学重点及难点

求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情境设置，导入新课

用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.

思考并回答下列问题　

1、平面上两条直线有几种位置关系？

各有什么几何特征？

解答：

两条直线有三种位置关系：

相交、平行、重合.

从几何特征上看：

相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有两个公共点，进而有无数个公共点.

[说明]通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.

2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？

[说明]通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.

二、学习新课

关于两直线的交点、位置关系

1、概念引入

引例：

解下列方程组：

（1）；

（2）

；（3）

．

然后，请你回答：

上述方程组所表示的两条直线的交点个数？

如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？

解答：

由直线方程的概念，我们知道

方程组

（1）有唯一的解，两条直线有且只有一个公共点为；

方程组

（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；

方程组（3）无解，两条直线无公共点.

[说明]①启发学生观察，并得出如下结论：

方程组

（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组

（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.

2、概念形成

一般地，设两条直线的方程分别为

：

（不全为零）……①

：

（不全为零）……②

两条相交直线的交点坐标

思考并回答：

如何求直线、的交点？

解答：

由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线、交点的求法：

联立与的方程:

……（Ⅰ），此方程组的解,即为直线、交点.

⏹两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系

思考并回答：

由方程①②如何判断直线、的位置关系？

解答：

由引例分析、归纳出：

直线、的三种位置关系：

相交、平行、重合，对于直线、的方程联立的方程组是：

有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线、的位置关系.

联立与的方程，得方程组:

…（Ⅰ），此方程组的解的个数与直线、交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:

，，.则

当时，方程组（Ⅰ）有唯一的解为

，此时、相交于一点，交点坐标是.

当且中至少有一个不为零时，方程组（Ⅰ）无解，此时、没有公共点，即直线与平行.

当时，方程组（Ⅰ）有无穷多个解，此时、有无数多个公共点，即直线与重合.

[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：

在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.

⏹回到引例

请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.

[说明]①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：

通过计算由直线方程的系数构成的行列式、的值，判断两直线的平行、重合、相交.②通过引例

（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.

3、概念的辨析

⏹两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:

与相交方程组（Ⅰ）有唯一解即；

与平行方程组（Ⅰ）无解且中至少有一个不为零；

与重合方程组（Ⅰ）有无穷多解.

⏹时，与平行或重合，即是与平行的必要非充分条件.换言之，∥；若两条直线不重合，则//．

[说明]引导学生得出：

①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.

4、例题分析

例1已知直线：

与：

，求实数的值，使直线与平行.（补充例题）

解：

先把直线的方程化为一般形式：

.

由,∴，解得或，

当两方程化为与显然平行；

当两方程化为与两直线重合.

∴不符合，∴即为所求．

[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.

例2讨论直线下列各组直线之间的位置关系.（课本p17例2）

（1）与

;

（2）与.

[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题

（2）是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.

例3求经过原点且经过直线与直线的交点的直线方程．

解：

解方程组：

得，∴与的交点是，

设经过原点的直线方程为，把点代入，得，

所以，所求的直线方程为．

[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.

例4若三条直线：

，：

，：

，当为何值时，三条直线不能构成三角形？

（补充例题）

解:

三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.

（1）若三条直线交于同一点时,

解方程组,得，即与的交点是（），把点（）代入直线的方程得．

（2）若其中至少有两条直线平行时，

由//得：

;由得:

，

综上：

当或或时三条直线不能构成三角形.

[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.

5．问题拓展

⏹从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?

与的一个方向向量分别是=,=;一个法向量分别是=,=.则与有如下关系：

相交不平行不垂直;

平行平行垂直;

重合平行垂直.

⏹三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？

由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.

若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为,通过图示观察,易知其关系.

若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为:

，:

则有

①//且；

②和重合且；

③和相交.

[说明]判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.

三、巩固练习

练习11.3

（1）

[说明]进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.

四、课堂小结

本课我们主要学习了哪些知识？

应当注意什么？

运用了那些思想方法？

1知识点：

本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.

解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件.

2数学思想方法：

类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．

[说明]引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.

五、作业布置

1、书面作业：

习题11.3----2,3,4,5,6,7,8,9

2、思考题：

设直线的方程为

，求证：

不论m为何值，所给的直线经过一定点.

解方法一：

取m=0,1得:

把交点坐标（3,4）代入原方程,可知对于任意m,原方程均成立,

即不论m为何值，所给的直线经过一定点（3,4）.

方法二：

对于任意实数m,关于的方程

的解都相同

对于任意实数m恒成立,

得:

即不论m为何值，所给的直线经过一定点（3,4）.

[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.

2019-2020年高二数学下11.3《两条直线位置关系》教案（3）沪教版

教学目标设计

能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.

教学重点及难点

综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.

教学用具准备

多媒体设备

教学过程设计

例1．

（1）求经过点且与直线平行的直线方程;

（2）求过点，且与直线垂直的直线的方程.

解：

（1）已知直线的斜率，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为，

所以，所求直线的方程为：

，即．

另解：

设与直线平行的直线的方程为：

，

过点，∴，解之得，

所以，所求直线的方程为．

（2）已知直线的斜率为，直线与已知直线垂直，∴的斜率为，

所以，所求直线的方程为，即．

另解：

设与直线垂直的直线方程为，

∵直线经过点，∴，∴，

所以，所求直线的方程为

[说明]一般地①与直线平行的直线方程可设为，其中待定；②与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定.

例2.（如右图）等腰三角形的一个腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程.

解：

设的方程为（其中为一法向量，不同时为零），与的夹角是，与的夹角是，由夹角公式得,

又、、所围成的三角形是等腰三角形，所以,

即

舍去（否则与直线重合）,∴的方程是：

.

[说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程来解决；③本题也可以设的方程为，再分类求解.

例3、是否存在实数，使直线与直线分别有如下的位置关系:

（1）平行;

（2）重合;（3）相交;（4）垂直;（5）相交,且交点在第二象限.若存在求出的值；若不存在，说明理由.

解：

联立方程组，

由;由;由.

（1）时,两直线平行;

（2）时,重合;

（3）时,相交;

（4）由

时,垂直;

（5）交点坐标为,显然不存在实数,使交点在第二象限.

例4、已知直线满足性质:

如果任意一点在直线上，那么点也在直线上，求直线的方程.

解:

由已知,点和都在直线上,

而当时，，所以直线经过原点，且不能与坐标轴重合.因此可设直线的方程为：

①

点仍在直线上，

即

②

由题意,方程①与②表示的是同一条直线,所以,即,解得：

所以直线的方程为

.

[说明]①本题也可以设直线方程的一般式:

①,点仍在直线上

②.再由直线①与②重合,求得系数；

②例题4，有一定难度，可以根据学生实际情况选用.

课堂小结

1．通过两直线的位置关系以及夹角有关知识的综合应用，深化对知识以及思想方法的理解，进一步巩固所学的知识．

2．进一步体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习.

作业布置

书面作业：

习题11.3B组----1,2,3,4,5

补充练习：

1．过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是；答：

2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为．答：

；

3．求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程.答：

4．已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为．

解设直线的方程为，令，得，令，得，

由题意：

，即，，

所以，所求直线的方程为．

5.直线过点且与直线和分别交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程.

解设点，由中点公式，得，又点分别在、上，列方程组

，解，为所求.

6.已知三角形的顶点,边的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程.

解设点，则的中点，由点在其角平分线上，中点在边的中线上，列出关于的方程组，解得：

，

从而得直线，由题意，边所在直线的斜率存在，

设，根据夹角公式，得其中舍去（否则与重合），所以边所在直线的方程为.

[说明]补充练习仅供课外巩固练习选用.

教学设计说明

直线是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对直线的位置关系作了比较系统的研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究两直线的位置关系以及夹角的求法.为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

 一、新课引入——以旧带新，提出课题

帮助学生再现原有的认知结构，在“最近发展区”创设问题情景，使学生对本节课的主题有一个直观的印象，寻找新知生长点，激发学生的探究心理，顺利引入课题.

二、概念形成——实例分析，探究，概括形成一般规律

通过对实例的解答，图像的观察，抽象、概括出一般规律，这种运用数形结合的思想，由特殊到一般的探索过程，符合学生认知习惯，有利于培养学生抽象、概括的能力.

要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向.因此，在上述探究的基础上，提出问题：

两条直线的位置关系与方程组的解之间有怎样的对应关系呢？

这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”.

三、巩固和应用阶段

数学概念是要在运用中不断领悟，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，通过设计不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.

1、初步应用、突出内涵

这里安排例1、例2都是公式的“初步应用”，目的也在于帮助学生正确运用所学的基本知识，强调运用公式的前提条件，规范解题过程.

2、变式应用，提升能力

设计例题时，注意学习过程的循序渐进，按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着.例3，例4，目的是在解决问题的方法上进行适当的延展，使得学生对概念的认识不断深入.

通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．

在本节的设计中，力图使学生初步理解并能应用所学的知识，引领学生掌握研究这类问题的一般思路和方法，从而达到培养学生学习能力的目的.根据自己对“问题驱动”教学模式的认识，在教学的每一个环节均设计了问题.以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，使难点的突破水到渠成.