常数列
an＋1＝an
（3）数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项an与它的前一项an－1（n≥2）（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
【特别提醒】
1.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3，…，n}）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f（n）＝an（n∈N*）．
【高频考点突破】
一、由数列的前几项求数列的通项公式
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用（－1）n或（－1）n＋1来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
例1、下列公式可作为数列{an}：
1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是（ ）
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－
D．an＝
【解析】由an＝2－
可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
【答案】C
考点二、由an与Sn的关系求通项an
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；
（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
例2、已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.
（1）Sn＝2n2＋3n；
（2）Sn＝3n＋1.
【解析】
（1）由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2＋3n）－[2（n－1）2＋3（n－1）]＝4n＋1.
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.
考点三、数列的性质
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f（n），利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．
2．前n项和最值的求法
（1）先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；
（2）根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
例3、已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
（1）n为何值时，an有最小值？
并求出最小值；
（2）n为何值时，该数列的前n项和最小？
【经典考题精析】
1．【2013·安徽卷】如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
图1－3
2．【2013·辽宁卷】下面是关于公差d>0的等差数列
的四个命题：
p1：
数列
是递增数列；
p2：
数列
是递增数列；
p3：
数列
是递增数列；
p4：
数列
是递增数列．
其中的真命题为（ ）
A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4
【答案】D
【解析】因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.
3．【2013·全国卷】等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a
，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
4．【2012·重庆卷】设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.
（1）求证：
{an}是首项为1的等比数列；
（2）若a2＞－1，求证：
Sn≤
（a1＋an），并给出等号成立的充要条件．
假设n＝k时，结论成立，即ak＝a
，那么
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝（a2Sk＋a1）－（a2Sk－1＋a1）＝a2（Sk－Sk－1）＝a2ak＝a
，
这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
当0＜a2＜1时，对a2求导得f′（a2）＝n[（n－2）a
－（n－1）a
＋1]＝ng（a2）．
5．【2012·上海卷】对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.
（1）若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：
1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；
（3）若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
（3）设a1＝（s1，t1），a2＝（s2，t2），则a1·a2＝0等价于
＝－
，
6．【2012·浙江卷】设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（ ）
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
【当堂巩固】
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），则a100等于（ ）．
A．1B．－1C．2D．0
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1（n∈N*），则此数列是（ ）．
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1（n∈N*），则a5＝（ ）．
A．－16B．16C．31D．32
解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1（n≥2），∴Sn－Sn－1＝an＝2（an－an－1）．
∴
＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.
答案 B
4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即a2014－5＝（ ）．
A．2020×2012B．2020×2013
C．1010×2012D．1010×2013
解析 结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋（n＋2）．所以a2014－5＝4＋5＋…＋2016＝2013×1010.故选D.
答案 D
5．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝
－1，则x2013＝（ ）．
A．－1B．－
C.
D．1
6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；（3）（a*b）*c＝c*（ab）＋（a*c）＋（c*b）．设数列{an}的通项为an＝n*
*0，则数列{an}为（ ）．
A．等差数列B．等比数列
C．递增数列D．递减数列
7．已知f（x）为偶函数，f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2x，若n∈N*，an＝f（n），则a2013＝________.
8．设函数f（x）＝
数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵数列{an}是递增数列，又an＝f（n）（n∈N*），
∴
⇒2答案 （2,3）
9．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
10．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n（an＋1－an）（n∈N*），则a2＝________；an＝________.
11．（12分）在数列{an}中，a1＝1，
an＝
an－1＋
（n≥2），求{an}的通项公式．
12．（13分）（2013·西安质检）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2），a1＝
.
（1）求证：
成等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以
－
＝2，
13．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a（a≠3），an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
（1）设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
（2）若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
14．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（9m,92m）内的项的个数记为bm，求数
列{bm}的前m项和Sm.
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