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新小波变换与图像处理
目录
摘要1
Abstract1
1.概述1
1.1小波变换定义2
1.2数字图像处理5
2.小波变换在图像处理中的运用5
2.1小波变换在图像去噪中的应用5
2.2小波变换在图像增强中的应用8
2.3小波变换在图像识别中的应用8
3.墨西哥帽小波的性质9
3.1小波的发展9
3.2小波的特性9
4.小波变换在图像处理中应用的实例10
4.1基于墨西哥帽小波的图像增强10
4.2用墨西哥毛提取图像特征12
总结13
参考文献14
致谢15
基于墨西哥帽的小波变换与图像处理
摘要：
小波变换由于在时域、频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，成为信号分析图像处理的一个强有力的工具。
利用小波变换的这几个良好特性对图像进行处理，在图像消噪、图像压缩、图像融合等方面，可以很大提高图像的性能。
墨西哥帽小波随系数衰减得较快,比较接近人眼视觉的空间相应特性,因此它比较适合用作拟合函数。
本文将对墨西哥帽小波的性质特点进行分析，并说明其在图像处理中的一部分应用。
关键词：
小波变换；离散变换；图像处理
Abstract：
Thewavelettransformhasgoodlocalizationpropertiesandmulti-resolutionanalysisofthecharacteristicsinthetimedomain,frequencydomain,tobecomeapowerfultoolforsignalanalysisimageprocessing.Useafewgoodfeaturesofthewavelettransformforimageprocessing,imagedenoising,imagecompression,imagefusion,imageperformancecanbegreatlyimproved.MexicanHatwaveletwithcoefficientdecayfaster,closertothecorrespondingcharacteristicsofhumanvisualspace,soitismoresuitableforthefittingfunction.ThisarticlewillbethenatureofthecharacteristicsoftheMexicanHatwaveletanalysis,anddescriptionofitsapplicationsinimageprocessing.
Keywords:
wavelettransform;discretewavelettransform;imageprocessing
1.概述
图像消噪是一种研究颇多的图像预处理技术，根据实际信号（图像是二维信号）和噪声的不同特点，人们提出了各式各样的去噪方法，其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而信号频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波的方法来进行去噪，例如滑动平均窗滤波、Wiener线性滤波、中值滤波等。
这些方法在一定程度上可以消除一部分噪声，但在减小噪声的同时也会不可避免地丢失了许多图像的高频信息，使得图像的突变部分变模糊，这在许多含有丰富细节信息的图像中尤为严重。
传统的低通滤波方法要求信号和噪声的频带重叠部分尽可能小，当它们的频带重叠时，这种方法就不适用了[1]。
小波分析去噪近来受到了许多学者的重视，并获得了良好的效果。
小波变换作为一种新的分析手段,它能有效地从光学图像（信号）中提取信息,并通过伸缩及平移等运算功能对光学图像进行多尺度的细化[2]。
图像特征点是图像的重要局部特征，它是图像理解和模式识别中的重要信息，图像特征点提取技术也是图像处理的有力工具之一。
小波变换是一新兴的数学工具，它突破了传统的傅里叶变换的限制，并克服了傅里叶变换的缺点，特别适用于处理局部或暂态信号，充分体现了对信号不同区域、不同分辨率的分析特点，在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，正因为如此，有人将小波变换誉为分析信号的数学显微镜，并广泛应用于图像分析、信号处理、分形分析等众多领域之中。
1.1小波变换定义
若函数
满足
（1）
令
（2）
则函数
的小波变换定义为
（3）
其相应的反变换公式为
（4）
式中，
为
的傅里叶变换。
之所以是“小”的，是因为规定
，知
，即
具有衰减属性，特别地
是局部非零的紧支函数；
之所以是“波”，是由式
（2）的积分有界推知，当
时，
的傅里叶变换必须为零，即
此即说明
具有波动性，所以称
为基本小波函数[3]。
基本小波具有允许性、能量比例性、正规性、重建性[4]。
几种常见的基小波有：
Mexican-hat小波
Mexican-hat小波是高斯函数的二阶导数形式
它是实偶函数，且满足子波的允许条件。
其函数图像光滑。
另外,该小波随系数衰减得
较快,比较接近人眼视觉的空间相应特性,因此它比较适合用作拟合函数。
图1墨西哥草帽小波波形
Haar小波
Haar小波是所有小波中最简单的，有一个有限的紧支撑，计算比较简单。
Haar小波函数如图2所示。
图2Haar小波
Daubechies小波
Daubechies小波系是由法国学者Daubechies提出的一系列二进制小波的总称。
在MATLAB中记为dbN，N为小波的序号，N值取2，3，…,10。
该小波无明确的解析表达式，其小波函数如图3所示。
图3Daubechies小波
Symlets小波
Symlets小波系也是一系列小波的总称，其编号为SymN，N值取2，3，…。
这类双正交小波的支撑长度为2*N-1，具有近似的对称性。
其小波函数如图4所示。
图4Symlets小波
Coieflets小波
Coieflets小波具有CoifN（N=1，2，3，4，5）五种小波，为双正交的小波，该小波对称性比较好。
其小波函数如图5所示。
1.2数字图像处理
数字图像处理是指借助于数字计算机来处理数字图像[5]。
图像处理的目的，就是对数字化后的图像信息进行某些运算或处理，以提高图像的质量或达到人们所要求的预期结果[6]。
图像处理任务是对未加工的图像进行一定处理而成为所需的图像。
图像处理的第一个步处理是图像获取；图像增强是对一幅图像进行某种操作，使其结果在特定应用中比原始图像更适合进行处理；图像复原也是改进图像外观的一个处理领域；彩色也是提取图像中感兴趣特征的基础[7]；小波是以不同分辨率来描述图像的基础；压缩指的是减少图像存储量或降低传输图像带宽的处理；形态处理涉及提取图像分量的工具，这些分量在表示和描述形状方面很有用；分割过程将一幅图像划分为它的组成部分或目标；表示和描述总是在分割阶段的输出之后，通常这一输出时为加工的像素数据，这些数据不是构成一个区域的边界，就是构成该区域本身的所有点[8]；识别是基于目标的描述给该目标赋予标志的过程。
2.小波变换在图像处理中的运用
2.1小波变换在图像去噪中的应用
小波被看作是一种用于多层次分解函数的数学工具。
图像信号（数据）经过小波变换后可以用小波系数来描述，小波系数体现原图像信息（数据）性质，图像信息（数据）的局部特征可以通过处理小波系数而改变[9]。
小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或者时间域上的图像信号（数据）变换到小波上，成为多层次的小波系数，根据小波基的特性，分析小波系数特点，针对不同需求，结合常规的图像处理方法（算法）或提出更符合小波分析的新方法（算法）来处理小波系数，在对处理后的小波系数进行反变换（逆变换），将得到所需的目标函数[10]。
小波可用于图像去噪，图像增强，图像分割，图像检索，图像配准，图像重建，图像压缩。
传统的去噪方法是将被噪声干扰的信号通过一个滤波器，滤掉噪声频率成分，但对于脉冲信号、白噪声、非平稳过程信号等，传统方法存在一定局限性，对这类信号，再低信号比情况下，经过滤波器处理，不仅信号比得不到较大的改善，而且信号的位置信息也被模糊掉了。
基于小波变换的去噪方法利用小波变换中的尺度特性对确定信号具有一种“集中”的能力[11]。
如果一个信号的能量集中于小波变换与少数系数上，那么对这些系数的取值必然大雨在小波变换内能量分散于大量小波系数上的信号或噪声的小波系数里。
在这里，如何对小波变换域的系数进行筛选是小波阈值化去噪的关键步骤，而小波系数筛选又主要依赖于阈值化与阈值的选取。
在小波系数进行取舍之前，实际上按着一定准则（或者阈值化），将小波系数划分为两类：
一类是重要的、规则的小波系数；另一类被看作是非重要的或者受噪声干扰较大的小波系数。
通常以小波系数的绝对值作为小波系数的分类单元。
小波系数绝对值趋向零，意味着小波系数所包含的信息量少并且强烈地受噪声干扰，而且被证明这种判断方法具有良好的统计优化特性[12]。
一幅图像可以通过少数大幅值的小波系数表示。
小波系数的绝对值是一个局部测度，每个小波系数被看成是独立变量。
给定一个阈值
，所有绝对值小于某个阈值
的小波系数被划为“噪声”，它们的数值用零代替;而超过阈值的小波系数的数值用阈值
缩减后再重新取值，因此也有人将此类方法成为小波缩减法[13]。
这种方法意味着阈值化或者缩减小波变换将在小波域中移去小幅度的噪声或者非期望的信号，在小波的逆变换中，将得到所需要的信号。
“软阈值化”（soft-thresholding）和“硬阈值化”（hard-thresholding）是对超过阈值之上的小波系数进行缩减的两种主要方法。
一般说来，硬阈值比软阈值处理后的图像信号更粗糙，所以常对图像信号进行软阈值的小波变换去噪。
如图6所示，横坐标代表信号（图像）的原始小波系数，纵坐标代表阈值化后的小波系数。
对于“软阈值化”，绝对值小于阈值
的小波系数值用零代替;绝对值大于阈值
的小波系数数值用
来缩减。
对于“硬阈值化”，仅保留绝对值大于阈值
的小波系数，并且被保留的小波系数与原始系数相同（未被缩减）。
两种阈值化方法各有差异，前者具有连续性，从数学上容易处理；后者更接近实际应用。
阈值的选取：
阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值
。
如果阈值太小去噪后的图像信号仍然有噪声存在;相反地，阈值太大，重要图像特征将被滤掉，引起偏差。
从直观上，对于给定小波系数，噪声越大，阈值就越大[14]。
大多数阈值选择过程是针对一组小波系数，即根据本组小波系数的统计特性，计算出一个阈值
。
如果噪声是加性的、随机平稳的，则可以证明:
在小波变换域中，每个子带或者每层分辨率上的噪声仍然保持加性与随机平稳。
在第j层子带上，当无干扰噪声的小波系数与去噪后的小波系数之间均方误差最
图6两种主要的阈值化方法示意图
小时，存在一个最优的阈值
。
由此，阈值的选择过程可以通过一个风险函数来定义：
（5）
式中，
代表在地j层子带上的小波系数个数；
表示阈值化的小波系数矢量；
表示无噪声干扰时的小波系数矢量。
Donoho等已提出了一种典型阈值选取方法，从理论上给出并证明阈值与噪声的方差成正比，其大小为
（6）
事实上，对于有限长度
的信号，式（6）仅仅是阈值优化上的上界，阈值优化是随信号长度逐渐变化的，当信号为无线长时，才能符合上式的阈值优化条件，因此，信号足够长，去噪效果才明显[15]。
而如果是用小波包进行消噪处理，会有更好的效果。
对小波包分析而言，在确定最佳小波包基时所用的标准时，没有严格的理论作为保证，不同的问题所用标准不一致；此外，在用小波包去噪时，各层阈值的选取也没有一个精确的理论用来作为指导，从而给其应用带来了不利的影响，值得进一步研究。
2.2小波变换在图像增强中的应用
由于图像的边缘和其它尖锐的跳跃（例如噪声）对傅里叶变换的高频分量有很大贡献,所以在频域进行边缘增强可以采用高通滤波的方法,在空间域对图像进行边缘增强其本质就是进行微分运算。
这两种方法用得较为普遍,而作为继傅里叶变换之后又一种光信息处理方法—子波变换,在包括提取图像边缘信息方面也有其独特的性能。
平移因子的引入使得子波变换可以用来分析瞬时信号,而在处理静态信号时则令其为零；通过改变比例因子则可适应对高频信号和低频信号的分析。
可见,子波变换实质上为一带通滤波器,利用这一特性,选取适当的比例因子滤去图像的低频信号,保留其高频信号,这样就达到了提取图像边缘信息的目的。
边缘增强可以有效减少输入图像信号的零频和低频成份，提取和突出低衬度图像的边缘和细节，提高图像的分辨率和识别率。
小波变换不仅具有傅里叶变换的所有优点，而且还具有处理短暂和瞬变信号的独特能力，小波函数的局域特性使得小波变换成为目标特征抽取的一个特别有效的方法。
在图像信息处理中，相对于图像整体而言，其边缘就是局部特征。
光学图像的小波变换就是图像与小波函数的互相关,如果小波函数波形和参数选择适当，其实质上就是边缘增强图像。
小波变换可以通过数学计算实现,与傅立叶变换相比,其运算量大、速度慢。
利用光学系统的高度并行处理能力实现小波变换,可实现实时变换运算。
2.3小波变换在图像识别中的应用
图像目标识别中应用小波变换的优点
（1）小波变换具有多分辨率的特性,此特点是指能够利用小波变换对原始图像进行不同尺度的分解,从而获得目标图像不同层次的轮廓信息和细节信息；
（2）它具有运算速度快的特点,从而有助于降低图像目标小波变换的时间复杂度和空间复杂度；（3）小波变换后代表图像顶点等特征点的模极大值的范数不随图像的旋转、平移和伸缩的变化而改变,但模极大值的相位携带有目标图像的方向信息,从而开拓了图像目标识别的范围；（4）小波分解后,数据量并没有增加,不会占用大量的计算机内存,有利于计算机的实时处理；（5）利用图像信号突变点和噪声对小波系数敏感性的不同,也可进行图像的消噪处理,从而进一步提高图像目标识别的准确率。
综上所述,小波变换是进行图像目标识别较为理想的工具。
空频域小波滤波器可由任意形状的孔径和狭缝组成低通、高通、带能小波滤波器,并可根据小波的特性,对输入信息的局部进行提取、识别,还可根据其空频域局部的变换情况,找出输入信号奇异点的变化情况,而通过调整和移动空频滤波器可实现各种尺度下的空频域小波滤波,当输入光信号是非平稳信号时,只有用小波变换才有可能进行滤波处理。
通过分析小波滤波的方法,根据小波变换实现相关识别的原理特点,采用了频率域滤波的方法,来实现基于小波变换及联合变换相关器实现图像的相关识别。
3.墨西哥帽小波的性质
3.1小波的发展
小波一词由JeanMorlet和AlexGrossman在1980年代早期建立。
他们当时用的是法语词ondelette–其意思就是“小波”。
后来在英语里，将“ondelette”变为“wave”从而变成wavelet。
小波变换可分成两个大类：
离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
小波的发展有几条不同的思路，其最早相关的是AlfredHaar在20世纪早期的工作。
对小波理论做出过贡献的有PierreGoupillaud,AlexGrossma和JeanMorlet的表述，现在称为CWT（1982），Jan-OlovStrö；mberg在离散小波上有过早期工作（1983），英格丽.多贝西（IngridDaubechies）的紧支撑正交小波（1988），StephaneMallat的多分辨率框架（1989），NathalieDelpratCWT的时域频域解释（1991），DavidE.Newland的调和小波变换和之后的很多其他人的贡献等。
有小波变换可以视为时域频域表示的形式，所以和调和分析相关。
所有实际有用的离散小波变换可用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段（filterbank）。
3.2小波的特性
墨西哥帽小波的形式为
它是由标准高斯函数的二阶导数取反而来，是厄米特小波集的一个特例。
在地学领域，墨西哥帽小波通常被称为Ricker小波，用于对地震数据建模。
小波变换是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，它在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。
这使小波变换在信号分析和傅立叶光学中非常重要，一个小波函数必须满足定域性条件：
在小波变换中，存在一个母小波的概念，由它可以衍生出一系列的小波函数。
如何寻找新的母小波函数是小波研究中的一个重要课题。
我们可以从最基本的定域性条件出发，利用狄拉克表象和纠缠态理论，寻找到了一个新的母小波函数系列，并把它命名为高阶墨西哥帽母小波列。
然后为了对这一系列新的母小波的性质进行研究并找到其应用领域，我们将几种特别的光学信号通过不同的母小波进行变换，寻找出了高阶墨西哥帽母小波系列的独特性质和应用领域。
为增强相关峰对比度，在谱面采取了墨西哥帽小波变换，此方法有效地抑制了联合变换功率谱中的噪声信息，提高了有用信息，增强了大部分相关峰对比度。
傅里叶的基函数（即正弦函数）保证了FFT的存在，而FWT的存在取决于使用的小波的尺度函数是否可用，以及尺度函数和相应的小波的正交性（或双正交性）。
因此，墨西哥草帽小波不能用于计算FWT，因为它没有相应的尺度函数。
换句话说，不能为墨西哥草帽小波建立一个滤波器族；它不满足FWT方法的基本假设。
4.小波变换在图像处理中应用的实例
现在用墨西哥帽小波写几个关于图像处理的具体实例。
4.1基于墨西哥帽小波的图像增强
实验的的装置如下图所示，摄像头CCD1将实时获取的目标图像送入计算机。
计算机中带有一个具有多路输入、实时采集、存储、显示功能的图像卡，可以把由CCD1摄取的图像送入计算机内存；Mexican一hat小波函数由计算机产生,经编程控制将其图像与待处理的目标图像并列光显示在显示器上。
成像透镜L把输入的待处理图像和小波函数图像成像在液晶光阀LCLV上；由He一Ne激光器（功率20w,波长0.6328
）输出的激光束，经扩束和准直及全反镜反射后提供读出光，读出的图像经傅立叶透镜FTL变换后，将在其后焦面上形成联合变换功率谱，CCD2摄取联合变换功率谱，经图像卡采集到计算机中，并由计算机输出到显示器上显示，成像透镜L将功率谱成像在LCLV的写入面上，由读出光将功率谱读出，再经傅氏透镜FTL变换后，在其后焦面上即得到输入图像的小波变换（即边缘增强图像）。
CCD2摄取处理后的结果送入计算机内存，并在其屏幕上显示，实验中可根据处理结果实时改变小波函数的参数，调制图像处理的效果至最佳。
其中用到的墨西哥帽小波形式为
式中a为扩展因子，I为强度参数。
图为输入的待处理坦克模型图像和小波函数平面图像及小波变换边缘增强后实验结果。
所得的实验结果如图7所示。
实验结果表明,当a比较小时,频域通带的中心频率向高频移动,具有较高的鉴别力,但易受噪声的干扰。
受计算机分辨率的限制,a过小时,一些信息会无法显示,如图8中（a）所示。
图8（b）的边缘增强效果比较好。
随着a的增大,频域通带中心频率向低频移动,可以有效地抑制高频噪声,但鉴别能力下降,如图8中（c）所示。
如a继续增加,小波函数的平滑效应进一步增强,就会丢失一些细节信息,如图8中（d）所示。
由实验结果可知,小波变换系统对图像的边缘增强处理效果明显,对于不同衬比度的图像,可以通过调制小波函数的扩展因子来达到不同的边缘增强效果。
该小波变换图像边缘增强处理系统结构紧凑、实时性好，是一种比较理想的提取低对比度图像边缘信息的微分处理系统。
图7小波变换图像增强的实验装置
图8输入图像的加入墨西哥帽小波的图像增强效果
4.2用墨西哥毛提取图像特征
图9墨西哥帽提取图像特征点
因为墨西哥帽小波特有的各向同性特征，在实际应用中确定局部极值点时所用的邻域是半径为
的圆域，不同的情况可以取不同值。
由于数值比较小的特征点对图像变形更敏感，因此进一步选取数值大于特定阈值的局部极大值点作为候选特征点，根据经验，选取全局最大值1/10大小的阈值具有较好的结果。
墨西哥帽小波对角度不敏感，而且在经过模糊、亮度变化以及噪声等处理后的图像中仍能够检测出局部极大值点。
图9为从失真图像中提取极大值点过程。
其中（a）是在goldhill原图中检测到的局部极大值点，（b）、（c）、（d）、（e）、（f）分别是图像经过旋转、亮度变化、模糊处理、加入椒盐噪声和高斯噪声后检测局部极大值点的结果。
如果尺度变换与墨西哥帽小波结合得到的图像会更好。
在原图和经过失真处理后的图像中，总体上局部极大值点的数量、分布以及相对位置都比较一致，尺度相互作用的墨西哥帽小波对图像局部极大值点的检测结果良好，但都是在所处理图像为相同尺度的情况下得到的。
对于不同尺度的图像，墨西哥帽小波的中心峰值和对应图像区域的关系是不同的，导致了在不同尺度图像中提取的局部极大值点位置不一致。
为了补偿图像间的尺度差异，可在墨西哥帽小波中加入尺度因子，进一步优化图像特征的提取。
总结
小波图像去噪的优点：
（1）对于信号和噪声的频带相互分离的确定性噪声的去噪处理,选用方法简单、计算速度快的小波分解与重构去噪法最为合适。
（2）对于高斯白噪声的去噪处理,可以选用阈值法、平移不变量法以及模极大值法。
究竟选择哪种方法应根据实际信号的特点以及这几种方法的优缺点再作决定。
阈值法由于具有能得到原始信号的近似最优估计、计算速度快以及具有广泛的适应性等优点,是小波去噪方法中应用最广泛的一种。
一般情况下,均可选用该方法去噪。
平移不变量法适用于信号中含有若干不连续点的情况。
通常去噪性能优于阈值法,但以牺牲计算速度为代价。
小波变换模极大值法当信号中含有较多奇异点时去噪性能相当好,但其最大缺点就是计算速度太慢,在应用中需权衡去噪效果和计算速度之间的关系。
小波变换的不足之处在小波分解层数的问题上，如果小波分解的层数过多，滤波后重构的图像有可能会产生失真现象，大量的研究表明，在用小波去噪的时候，一般分解的层数为三层时，其中的噪声已经衰减了90％以上，因此不宜选择过多的分解层数。
小波去噪方法和其它方法结合使用,可能会达到更好的效果。
通过本文理论介绍和计算机仿真结果可以看出，采用基于小波变换的图像处理具有较高图像数据处理能力，并且在图像消噪应用方面小波变换与替他方法结合消噪效果更好。
这种图像处理方法，将在医学图像处理、卫星图像处理等领域显示出强大的优势，具有广泛的应用价值。
在消噪过程中，由于要用阈值进行小波分解系数的量化处理，所以阈值的选取就成为图像消噪处理中的关键。
根据具体情况要求，选择好阈值之后，再根据要求，选择一种适当的方法与小波结合，可取得更好的效果。
用墨西哥帽小波对目标进行匹配识别，重新设计的墨西哥帽小波滤波器在畸变目标的探测领域具有很强的优势和良好的应用前景。
墨西哥帽小波变换在提取图像边缘及角点信息方面是一种行之有效的方法。
参考文献：
[1]MallatS．Theoryformulti-resolutionsignaldecomposition：
Thewaveletrepresentation［J］．IEEETransac
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