苏教版八年级上册《轴对称图形》全章复习与巩固知识讲解提高.docx

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苏教版八年级上册《轴对称图形》全章复习与巩固知识讲解提高

《轴对称图形》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；

2.了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质；

3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称　　

（1）轴对称图形

　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称

定义：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别:

轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

3.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

4.用坐标表示轴对称

点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.

要点二、线段、角的轴对称性

1.线段的轴对称性

（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

（2）线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线

2.角的轴对称性

（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.

（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.

（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点三、等腰三角形

1.等腰三角形

（1）定义：

有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　　　边”）.

2.等边三角形

（1）定义：

三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【典型例题】

类型一、轴对称的性质与应用

1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.

【答案】C；

【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．

△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（　　）

A.180°B.270°C.360°D.480°

【答案】C；

解：

连接AP，BP，CP，

∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点

∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，

∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．

2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.

【答案与解析】

解：

分别作P关于OM、ON的对称点，，连接交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.

∵∠MON＝40°

　∴∠＝140°.

∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.

∴（∠PAB＋∠PBA）＋∠APB＝140°

∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°

∵∠PAB＝∠＋∠,∠PBA＝∠＋∠

∴∠＋∠＋∠＝180°

∴∠APB＝100°

【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.

举一反三：

【变式】如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）．

A．100°B．110°C．120°D．130°

【答案】C；

提示：

找A点关于BC的对称点，关于ED的对称点，连接，交BC于M

点，ED于N点，此时△AMN周长最小.∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝

∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.

3、如图，△ABC关于平行于轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4），则这条平行于轴的直线是（　　）

A.直线＝－1B.直线＝－3C.直线＝－1D.直线＝－3

【思路点拨】根据题意，可得A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线．

【答案】C；

【解析】

解：

由题意可知，该条直线垂直平分线段AC

又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4）

∴AC＝6

∴点A，C到该直线的距离都为3

即可得直线为＝－1

【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与C的纵坐标求得对称轴．

举一反三：

【变式1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（　　）

A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）

【答案】D；

提示：

因为Rt△AOB与Rt△关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（－2，－1）．

【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为

（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．

【答案】

解：

满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.

类型二、等腰三角形的综合应用

4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．

又∵，

∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：

若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.

【答案】7；4或10；

【解析】

解：

（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，

∵=+，

∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，

又∵AB=AC，

∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，

∴AC=2CH．

∵=AB•CH，AB=AC，

∴×2CH•CH=49，

∴CH=7．

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①．

∵PE+PF=CH，

∴PE=CH-PF=7-3=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②．

∵PE=PF+CH，

∴PE=3+7=10．

故答案为7；4或10．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，

（2）中分情况讨论是解题的关键．

5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°.求的度数．

【答案与解析】

解：

将沿AB翻折，得到，连结CE，

则，

∴∠1＝∠5＝12°.

∴60°

∵48°∴．

又∵∠2＝36°，72°，

∴

∴BE＝BC

∴为等边三角形.

∴

又垂直平分BC．

∴AE平分．

∴30°

∴∠ADB＝30°

【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．

举一反三：

【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，

求∠ACD的度数.

【答案】　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：

作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE

　　　　　∴△ABD≌△ACE

　　　　　∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°

　　　　　∵∠BAC=80°，

∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形

∴∠AED＝60°

　　　　　∵∠DAB＝∠DBA＝10°

　　　　　∴AD＝BD＝DE＝EC

　　　　　∴∠AEC＝160°，

　　　　　∴∠DEC＝140°

　　　　　∴∠DCE＝20°

　　　　　∴∠ACD＝30°

类型三、等边三角形的综合应用

6、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．

（1）如图

（1）所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

（2）如图

（2）所示，当点M在BC上时，其他条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图

（2）证明；若不成立，请说明理由．

【答案与解析】

解：

（1）EN