天津科技大学数理金融复习.docx
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天津科技大学数理金融复习
数理金融复习
填空 判断:
1. 单利和复利:
单利和复利都是计息的方式。
单利与复利的区别在于利息是否参与计息。
𝑖 𝑚𝑡
3.复利现值公式:
𝑃 = 𝐹
,普通年金现值公式:
𝑖
,资金还原系数,记
为(A/P,i,n)
4. 例 2-4
汽车每辆售价 100000 元,成交时付款 34000 元,其余 66000 元分 11 个月付款,即每
月 6000 元,试以月息 0.0042 求其现值。
5. 海赛行列式的正定性:
对称阵 A 为正定的充分必要条件是:
A 的各阶主子式都为正。
例:
判定对称矩阵
3 1 0
𝐴 = 1 3 0
0 0 3 正定性。
𝑎11𝑎12
解:
因为𝑎11 = 3 > 0, 𝑎21𝑎22
| = |3 1| = 8 > 0
,
3 1 0
|𝐴| = 1 3 0 = 24 > 0
0 0 3
,
所以 A 是正定的。
6. 回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值,考察被解释变量的总体均值。
由样本
函数尽可能的准确估计总体函数。
7. 样本回归函数(SRF):
基本形式是:
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖
随机形式是:
𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝜇𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑒𝑖
总体回归函数(PRF):
𝑌𝑖 = 𝐸(𝑌│𝑋𝑖) + 𝜇𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖
Y
𝑌𝑖
𝑌𝑖
𝐸(𝑌│𝑋𝑖)
𝜇𝑖
𝑌𝑖
𝜇𝑖
𝑌𝑖
𝐸(𝑌│𝑋𝑖)
𝑆𝑅𝐹:
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖
𝑃𝑅𝐹:
𝑌𝑖 = 𝐸(𝑌│𝑋𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖
2
A
𝑋𝑖
∑𝑒2
2
X
2
2
2
2
2
2
TSS=RSS+ESS
𝐸𝑆𝑆 𝑅𝑆𝑆∑𝑥2
2
10.变量的显著性检验:
计量经计学中,主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性
检验的。
11.小概率事件原理认为:
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。
12.假设一元线性回归方程的总体回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,样本回归函数为
𝛽1
𝛽
n,查 t 分布表得临界值 ,则事件“|𝑡| > 𝑡𝛼/2(𝑛 ‒ 2)”是小概率事件。
13.假设一元线性回归方程的总体回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,样本回归函数为
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,给定显著性水平𝛼,则在1 ‒ 𝛼的置信度下,𝛽1的置信区间为
(𝛽𝑖 ‒ 𝑡 𝛼/2 × 𝑆𝛽
𝑖
,𝛽𝑖 + 𝑡𝛼/2 × 𝑆𝛽
𝑖
)。
14.
çç ⎪
E(μ μ ' ) = Eçç M⎪
⎝⎝ n ⎭
(μ1
L
⎪
⎭
⎪ ç
O
⎪
M ⎪
μn ⎪
ç⎪ç
= çMO⎪ = ç M O
⎝ n 1 var(μn ) ⎪ ç 0 L
⎪
M⎪ = σ 2I
σ 2 ⎪
15.多元线性回归总体回归函数的随机表达形式:
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + … + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝜇𝑖
16.多元线性回归调整的可决系数 𝑅2 = 1 ‒
𝑅𝑆𝑆/(𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1)
𝑇𝑆𝑆/(𝑛 ‒ 1)
调整的思路是:
将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度,以剔除变量个数
对拟合优度的影响。
其中:
n-k-1 为残差平方和的自由度,n-1 为总体平方和的自由度。
17.多元线性回归显著性检验公式:
在原假设 H0 成立的条件下,统计量
𝐸𝑆𝑆/𝑘
服从自
由度为(k , n-k-1)的 F 分布。
给定显著性水平𝛼,可得到临界值𝐹𝛼(𝑘,𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1),由样本求
出统计量 F 的数值,通过𝐹 > 𝐹𝛼(𝑘,𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1)或𝐹 ≤ 𝐹𝛼(𝑘,𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1),来拒绝或接受原假
设H0,以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。
18.方程的显著性检验(F 检验),旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总
体上是否显著成立作出推断。
19.单位根过程是非平稳序列。
考虑下式𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝑦𝑡 ‒ 1 + 𝜇𝑡
(1),也可写成
∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 ‒ 𝑦𝑡 ‒ 1 = 𝛼 + 𝜇𝑡
(2),其中𝛼是常数,𝑢𝑡是平稳序列,若𝑢𝑡~𝑖.𝑖.𝑑.𝑁(0,𝜎2),且𝑢𝑡是
一个白噪声序列。
若令𝛼
= 0,
𝑦0 = 0,则由式
(1)生成的序列𝑦𝑡,有
𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝑡𝜎2(𝑡 = 1, 2, …, 𝑇),显然违背了时间序列平稳性的假设。
而式
(2)的差分序
列是含位移𝛼的随机游走,说明𝑦𝑡的差分序列∆𝑦𝑡是平稳序列。
20.协整验证的是变量之间的长期稳定关系,误差修正验证的是变量之间的短期波动关系。
21. DF 检验:
①如果-1<𝜌<1,则𝑦𝑡平稳(或趋势平稳)。
②如果𝜌=1,𝑦𝑡序列是非平稳序列。
归线上)。
度量拟合优度的指标:
判定系数(可决系数)𝑅 。
③如果𝜌的绝对值大于 1,序列发散,且其差分序列是非平稳的。
22.随机过程:
一个随机过程 X={X(t),t∈T}是一族随机变量,即对指标集 T 中的每个 t,X(t)
是一个随机变量。
我们常常把 t 解释成时间,且称 X(t)是过程在时刻 t 的状态。
如果指
标集 T 是一个可数集,则称 X 为一个离散时间的随机过程,而如果 T 是一个连续统,则
称它为连续时间过程。
23.宽平稳:
如果随机过程{X(t),t∈T}的所有二阶矩阵都存在,并且 E[X(t)]=μ,自协方差函
数 C_x (t,s)只与时间差(t-s)有关,则称{X(t),t∈T}为宽平稳过程或二阶平稳过程。
24.拟合优度:
对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验,即要用拟合优度来说明
这条样本回归线对数据拟合得有多么好(拟合得好,就有更多的样本观测值落在样本回
2
25.风险厌恶者效用函数具有凹性
26.金融交易都要面对许多不确定性因素,这些不确定性因素都将影响并反映在金融产品的
风险和收益上,因此,任何金融决策都必须在权衡风险和收益之后才能做出抉择。
27.数理金融的发展阶段
第一个时期:
发展初期(1954-1968).代表人物有,阿罗,德布鲁,马柯维茨,夏普,
莫迪利亚等.
第二个时期:
黄金时代(1969-1979).代表人物有莫顿,布莱克,卢卡斯,哈里森等.
第三个时期:
完善时期(1980-至今) .代表人物有达菲,卡瑞撤斯和考克斯等.
28. 一般经济均衡理论的创始人瓦尔拉斯
29.第一次“华尔街革命”是指:
马科维茨的证券组合是建立在一般经济均衡理论上。
30.年布莱克-肖尔斯期权定价公式是建立在无套利假设上,无套利假设比一般经济均衡理
论更进一步。
31.简单的说:
一无所知而交易是赌博行为,依靠经验与技巧而交易是投机行为,根据市场
的基本面(或某公司的基本情况)而买入并长期持有,然后从每年稳定的红利中获取收
益是投资行为。
简答:
1. 实际利率与名义利率联系与区别
在经济分析中,复利计算通常以年为计息周期。
但在实际经济活动中,计息周期有半年、
季、月、周、日等多种。
当利率的时间单位与计息期不一致时,就出现了名义利率和实
际利率的概念。
①在复利计算中,如果恰好是一年一计息,即计息周期为一年的话,则计息期利率就为
年名义利率。
②然而如果计息周期短于一年,比如半年一计息,或每个月计一次洗的话,就会引起实
际利率和名义利率的问题。
例子:
如果告诉你年利率为 6%,半年计息一次,其含义就是指一年计息两次,半年的
2
2
利率。
显然,实际年利率就是
𝑃(1 + 3%)2 ‒ 𝑃
𝑃
= (1 + 3%)2 ‒ 1 = 6.09%
,而不是 6%。
2. 流量和存量
①凡是在任何一个时点上可观测的量,就是存量,换句话说,存量可以看作是时间变量
t 的函数,S=S(t)。
时间变量是可以连续取值的,这意味着对存量的观测是随时的。
流量是时段的函数,F=F(T),T 是时段,第一时段、第二时段……,是按照序数取
值的,只能是自然序数,是不连续的整数。
②一件事物的存在状态是可以被观测的。
存量就是描述存在状态的,这个定义决定了存
量可以在一个时点上被观测到,观测结果可以用来表述事物当时的存在状态即模样。
但是流量不行。
流量必须通过指定时段内的累加才能得到,是一个过程量,描述的是
一个过程。
3. 为什么要假设𝜇𝑖服从正态分布
①𝜇𝑖代表除解释变量𝑋𝑖之外的其他因素对𝑌𝑖产生的影响的总和。
利用中心极限定理就能
证明,如果存在大量独立同分布的随机变量,那么,随着这些变量的个数无限增大,
它们的总和将趋向正态分布。
即使变量个数并不是很大或者这些变量还不是严格独立
的,它们的总和仍然是正态分布的。
②正态分布的一个性质是,正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的。
下节课我们
将学习到,普通最小二乘法估计量𝛽0和𝛽1是𝜇𝑖的线性函数。
因此,若𝜇𝑖是正态分布的,
则𝛽0和𝛽1也是正态分布的,这就使接下来的假设检验工作十分简单。
4.假设一元线性回归方程的总体回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,样本回归函数为
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,对变量𝑋𝑖的显著性进行假设检验的一般步骤是什么?
①对总体参数提出假设
𝐻0:
𝛽1 = 0𝐻1:
𝛽1 ≠ 0
②以原假设𝐻0构造 t 统计量,并由样本计算其值
𝛽1
𝑡 = 𝑆𝛽
1
③给定显著性水平𝛼,查 t 分布表,得临界值𝑡𝛼/2(𝑛 ‒ 2)
④比较,判断:
若|𝑡| > 𝑡𝛼/2(𝑛 ‒ 2),则拒绝𝐻0,接受𝐻1;
若|𝑡| < 𝑡𝛼/2(𝑛 ‒ 2),则拒绝𝐻1,接受𝐻0;
计算:
1. 给年金求现值,给现值求年金
例 2-3:
某人贷款金额为 20 万,年利息为 6%,计划办理 5 年银行按揭,每个月月末应向银行还
款多少钱
所用公式:
𝐴 = 𝑃 ×
𝑖
1 ‒ (1 + 𝑖) ‒ 𝑛
已知总成本函数𝑇𝐶 = 𝑄 ‒ 18𝑄 + 750𝑄,利用微分知识做出总成本、平均成本和边际
涉及到:
𝑓 (𝑥) ≥ 0,弦在上方,凸函数
者的需求函数是 𝑃 = 274 ‒ 𝑄 ,边际成本函数𝑀𝐶 = 4 + 3𝑄,求消费者剩余。
例 2-4
汽车每辆售价 100000 元,成交时付款 34000 元,其余 66000 元分 11 个月付款,即每
月 6000 元,试以月息 0.0042 求其现值。
2. 总成本、平均成本与边际成本
例 2-7:
(大题)
32
成本三者关系的图形
''
𝑓''(𝑥) ≤ 0,弦在下方,凹函数
3. 消费者剩余
例 2-13
在垄断条件下所销售的数量和市场价格是由需求函数决定的,设一个利益最大化的垄断
2
A、B,他们的预期收益率分别为 10%和 8%,证券 A 的方差为𝜎𝐴 = 200,证券 B 的方差为
最优化函数𝑦 =‒ 5𝑥1 + 10𝑥1 + 𝑥1𝑥3 ‒ 2𝑥2 + 4𝑥2 + 2𝑥2𝑥3 ‒ 4𝑥3,利用海赛行列式检验二
4. 差分方程:
一阶差分方程的通解
一阶差分方程𝑦𝑡 = 𝑏𝑦𝑡 ‒ 1 + 𝑎
𝑎𝑎
通解:
𝑏 ≠ 1时, 𝑡
𝑏 = 1时,𝑦𝑡 = 𝑦0 + 𝑎𝑡
5. 证券组合收益率和风险的测度
例 2-18
某证券组合由一个风险证券和一个无风险证券构成,风险证券组合中包括两个证券
2
2
𝜎𝐵 = 80,协方差𝜎𝐴𝐵 = 50,两种证券权重均为 0.5,无风险证券的预期收益率为 5%,
在证券组合中的权重为 0.25,计算该证券组合的总预期收益率和总风险。
注意:
期望和方差可以用矩阵形式
6. 例 2-21
222
阶条件
所用定理:
若函数𝑍 = 𝑓(𝑥,𝑦)在点(𝑥0,𝑦0)的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,
且𝑍𝑥(𝑥0,𝑦0) = 0,𝑍𝑦(𝑥0,𝑦0) = 0
令𝐴 = 𝑍𝑥𝑥(𝑥0,𝑦0),𝐵 = 𝑍𝑥𝑦(𝑥0,𝑦0),𝐶 = 𝑍𝑦𝑦(𝑥0,𝑦0)
2
2
2
7. 证明白噪声序列是平稳过程
白噪声序列
设序列
0, 𝑚 ≠ 𝑛
则称{𝑋𝑛,𝑛 = 0,1,…}为白噪声,可以证明白噪声为平稳序列
8. 习题 13
[
设马尔科夫链只有三种状态,转移概率如下,判断遍历性。
𝑞 𝑝 0
𝑃 = 𝑞 0 𝑝
0 𝑞 𝑝
]
解:
𝑃𝑖𝑗
(1) = 0
22
𝑞 𝑝 0
0 𝑞 𝑝
[
𝑞2 + 𝑝𝑞 𝑝𝑞 𝑝2
𝑞2 2𝑝𝑞 𝑝2
𝑞 2 𝑝𝑞 𝑝𝑞 + 𝑝
]
𝑃𝑖𝑗(0) > 0,∀𝑖,𝑗 > 0,𝑆 = 2,转移概率矩阵中的每一个元素都大于 0,马尔科夫
链具有遍历性。
9. 假设一元线性回归方程的样本回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,试利用最小二乘法求出𝛽0
和𝛽1的表达式
10.假设一元线性回归方程的样本回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,总体回归函数为
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖,其中𝛽0和𝛽1是𝛽0和𝛽1的最小二乘估计量,求证𝛽0和𝛽1是线性、无
偏估计量,试求𝑉𝑎𝑟(𝛽0)和𝑉𝑎𝑟(𝛽1)
11.对于人均存款(𝑆𝑡 )与人均收入(𝑌𝑡)之间的关系式𝑆𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑌𝑡 + 𝜇𝑡,使用美国 32 年的
年度数据得到如下估计模型,括号内为标准差:
S
$t = 384.105
+ 0.067Yt
(151.105)(0.011)
给定显著性水平𝛼 = 1%,检验是否每一个回归系数都与零显著不同,并求出在 99%的
置信度下,𝛽0和𝛽1的置信区间(𝑡0.01/2(30) = 2.75)