黑龙江省大庆市届高三第二次模拟考试数学理试题.docx
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黑龙江省大庆市届高三第二次模拟考试数学理试题
【市级联考】黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．若复数满足（其中是虚数单位），则（）
A．2B．4C．D．
3．设命题在定义域上为减函数；命题为奇函数，则下列命题中真命题是
A．B．C．D．
4．设，满足约束条件，则的最小值是（）
A．B．C．D．
5．在等差数列中，，是方程的两个实根，则（）
A．B．-3C．-6D．2
6．已知，，，则，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
7．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
8．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（）
A．3B．1C．2D．
9．已知函数，的值域为，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是（）
A．2B．C．D．
12．已知是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．______．
14．已知，为锐角，且，则_____．
15．已知球是棱长为4的正方体的外接球，，分别是和的中点，则球截直线所得弦长为______．
16．已知为的外心，，，，设，则_____．
三、解答题
17．设数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，面积为1，求边中线的长度.
19．如图所示，在四棱锥中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，点在棱上.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？
若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
21．已知函数.
（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
22．选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的普通方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.
23．选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）求函数的值域.
参考答案
1．D
【分析】
解一元二次不等式求得集合的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正确选项
【详解】
由解得，故.故选D.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．A
【分析】
利用复数乘法和除法运算，化简为的形式，再求的模.
【详解】
依题意，故.故选A.
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
先判断命题和命题的真假，再根据命题的逻辑关系求解.
【详解】
在定义域上不是减函数，故命题是假命题，
时奇函数，故命题是真命题，
则为真命题，其余为假命题.
故选A.
【点睛】
本题考查命题的逻辑关系.属于基础题.
4．B
【解析】
试题分析：
作出可行域：
，并作出直线，平移到经过点Ｅ（3,4）时，目标函数取得最小值为：
；故选B．
考点：
线性规划．
5．A
【分析】
利用韦达定理列出，的关系式，然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值.
【详解】
由于，是方程的两个实根，所以，所以.故选A.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的基本性质，考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题.
6．C
【分析】
利用对数运算的公式化简为形式相同的表达式，由此判断出的大小关系.
【详解】
依题意得，，，而，所以，故选C.
【点睛】
本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面展开图是半径为的半圆，计算出圆锥的体积，也即是三棱锥的体积.
【详解】
设圆锥的底面半径为，则，解得，故圆锥的高为，所以圆锥的体积也即三棱锥的体积为.故选D.
【点睛】
本小题主要考查圆锥侧面展开图与底面圆的半径的关系，考查中国古代数学文化，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
根据求得的值，利用点差法求得直线的斜率.
【详解】
由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题.
9．C
【分析】
先由的取值范围，求得的取值范围，结合函数的值域，求得的取值范围.
【详解】
由于，所以，由于，所以，解得.故选C.
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.
10．A
【解析】
【分析】
画出三视图对应的直观图，根据直观图，判断出个侧面中有几个直角三角形.
【详解】
画出三视图对应的四棱锥如下图所示.由三视图可知是直角三角形.而，所以，即为直角三角形.所以直角三角形一共有个，故选A.
【点睛】
本小题主要考查三视图和直观图，考查空间想象能力，属于基础题.
11．D
【分析】
先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率.
【详解】
由于双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以，由于是的中点，故，代入双曲线方程并化简得，即，.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.
12．B
【解析】
【分析】
构造函数，利用已知条件求得的正负，由此判断函数的单调性，并解出不等式的解集.
【详解】
由得，构造函数，，故为上的减函数.原不等式可转化为，即，所以，解得，故选B.
【点睛】
本小题主要考查函数导数运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查构造函数法解函数不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题目给定一个含有导数的式子，此类题目主要的解题方法是构造函数法，构造出符合题目已知条件的函数，通过所给的条件得出所构造函数的单调性，由此来解不等式.
13．
【解析】
【分析】
利用微积分基本定理计算出定积分.
【详解】
依题意.
【点睛】
本小题主要考查利用微积分基本定理计算定积分，考查原函数的求法，属于基础题.
14．
【分析】
将题目所给方程展开后，化简为的形式，由此求得的大小.
【详解】
将展开得，即，由于，为锐角，，故.
【点睛】
本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
先求得球心到直线的距离，然后利用勾股定理求得所求弦长.
【详解】
依题意可知球心为正方体体对角线的交点处，将球心和投影到平面内，画出图像如下图所示，由图可知到直线的距离为.由于球的半径等于正方体对角线的一半，即，根据勾股定理求得所求弦长为.
【点睛】
本小题主要考查正方体的外接球，考查与球有关的长度的计算，考查空间想象能力，属于中档题.与球有关的问题求解的关键在于找到球心的位置，本题由于几何体为正方体，球心在体对角线的中点处.求与球有关的弦长问题，主要先求得球心到弦的距离，然后利用勾股定理可求出弦长.
16．3
【分析】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，计算出外心的坐标，由此求得的值.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，根据已知条件可知.根据外心的几何性质可知在直线上.中点坐标为，的斜率为，故中垂线的斜率为，方程为，令，解得.由得，解得，所以.
【点睛】
本小题主要考查向量的坐标运算，考查利用向量求解有关平面几何的问题，考查外心的定义以及找外心的方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及到向量的运算，而且题目所给三角形的角度比较特殊，故可采用建立坐标系的方法，利用代数化来解决几何问题.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用，求得数列{}是等比数列，由此求得数列的通项公式.
（2）先求得的通项公式，然后利用裂项求和法求得的值.
【详解】
（Ⅰ）当时，由得，∴.
当时，，∴.
∴是以为首项，以为公比的等比数列.其通项公式为.
（Ⅱ）∵
∴
【点睛】
本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查利用裂项求和法求数列的前项和.属于中档题.
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用三角形内角和定理以及正弦定理化简已知条件，求得的值，利用齐次方程求得的值.
（2）根据
（1）求得的值，求出的值，根据三角形的面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，然后可利用余弦定理、向量的模或者平行四边形的性质，求得边中线的长.
【详解】
（Ⅰ）∵，∴，
由正弦定理得
∵，∴，∴.
∴.
（Ⅱ）∵，且，∴为锐角.且，∴，
∵，∴.
在中，由余弦定理得，.
设边的中点为，连接.
法一：
在，中，分别由余弦定理得：
∴，∴.
法二：
∵，∴，.
法三：
由平行四边形的性质得：
，∴.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.
19．
（1）见证明；
（2）
【分析】
（I）设中点为，连接、.设出的边长，通过计算证明，根据已知得到，由此证得平面，从而证得.（II）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面计算出点的坐标，根据直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）设中点为，连接、.由题意.
∵，∴四边形为平行四边形，又，∴为正方形.
设，在中，，又，.
∴，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，且，∴平面.
∵平面，∴.
（Ⅱ）因为平面，所以，，又，故，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由（Ⅰ）所设知，则，，，.
由已知平面，∴，设，则.
，∵，∴，，
∴.
设平面的法向量，则
令，得.
设所求的角为，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量的方法计算直线与平面所成角的正弦值，属于中档题.
20．
（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】
（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（
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