黑龙江省大庆市届高三第二次模拟考试数学理试题.docx

1、黑龙江省大庆市届高三第二次模拟考试数学理试题【市级联考】黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知集合，则( )A B C D2若复数满足（其中是虚数单位），则（ ）A2 B4 C D3设命题在定义域上为减函数；命题为奇函数，则下列命题中真命题是A B C D4设，满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D5在等差数列中，是方程的两个实根，则( )A B-3 C-6 D26已知，则，的大小关系为（ ）A B C D7我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在

2、等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（ ）A B C D8已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )A3 B1 C2 D9已知函数，的值域为，则的取值范围是( )A B C D10某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个11已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是（ ）A2

3、B C D12已知是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（ ）A B C D二、填空题13_14已知，为锐角，且，则_15已知球是棱长为4的正方体的外接球，分别是和的中点，则球截直线所得弦长为_16已知为的外心，设，则_三、解答题17设数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（） 设，求数列的前项和.18在中，内角，所对的边分别为，且.（）求的值；（）若，面积为1，求边中线的长度.19如图所示，在四棱锥中，平面，AP=AD=2AB=2BC，点在棱上.（）求证：；（）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.20已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（）求椭圆的方程；（）过点作两条直线，分别交椭圆于

4、，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21已知函数.（）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（）若当时，恒成立，求实数的取值范围.22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（）求的普通方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.23选修4-5：不等式选讲已知函数.（）解不等式；（）求函数的值域.参考答案1D【分析】解一元二次不等式求得集合的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正

5、确选项【详解】由解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2A【分析】利用复数乘法和除法运算，化简为的形式，再求的模.【详解】依题意，故.故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题.3A【解析】【分析】先判断命题和命题的真假，再根据命题的逻辑关系求解.【详解】在定义域上不是减函数，故命题是假命题，时奇函数，故命题是真命题，则为真命题，其余为假命题.故选A.【点睛】本题考查命题的逻辑关系.属于基础题.4B【解析】试题分析：作出可行域：，并作出直线，平移到经过点(3,4)时，目标函数取得最小值

6、为：；故选B考点：线性规划5A【分析】利用韦达定理列出，的关系式，然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值.【详解】由于，是方程的两个实根，所以，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题.6C【分析】利用对数运算的公式化简为形式相同的表达式，由此判断出的大小关系.【详解】依题意得，而，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7D【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图是半径为的半圆，计算出圆锥的体积，也即是三棱锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，故圆锥的高为，所以圆锥的体积也即三

7、棱锥的体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图与底面圆的半径的关系，考查中国古代数学文化，属于基础题.8B【解析】【分析】根据求得的值，利用点差法求得直线的斜率.【详解】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题.9C【分析】先由的取值范围，求得的取值范围，结合函数的值域，求得的取值范围.【详解】由于，所以，由于，所以，解得.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.10A【解析】【分析】画出

8、三视图对应的直观图，根据直观图，判断出个侧面中有几个直角三角形.【详解】画出三视图对应的四棱锥如下图所示.由三视图可知是直角三角形.而，所以，即为直角三角形.所以直角三角形一共有个，故选A.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图，考查空间想象能力，属于基础题.11D【分析】先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以，由于是的中点，故，代入双曲线方程并化简得，即，.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思

9、想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.12B【解析】【分析】构造函数，利用已知条件求得的正负，由此判断函数的单调性，并解出不等式的解集.【详解】由得，构造函数，故为上的减函数.原不等式可转化为，即，所以，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查构造函数法解函数不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题目给定一个含有导数的式子，此类题目主要的解题方法是构造函数法，构造出符合题目已知条件的函数，通过

10、所给的条件得出所构造函数的单调性，由此来解不等式.13【解析】【分析】利用微积分基本定理计算出定积分.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理计算定积分，考查原函数的求法，属于基础题.14【分析】将题目所给方程展开后，化简为的形式，由此求得的大小.【详解】将展开得，即，由于，为锐角，故.【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.15【解析】【分析】先求得球心到直线的距离，然后利用勾股定理求得所求弦长.【详解】依题意可知球心为正方体体对角线的交点处，将球心和投影到平面内，画出图像如下图所示，由图可知到直线的距离为.由于球的半

11、径等于正方体对角线的一半，即，根据勾股定理求得所求弦长为.【点睛】本小题主要考查正方体的外接球，考查与球有关的长度的计算，考查空间想象能力，属于中档题.与球有关的问题求解的关键在于找到球心的位置，本题由于几何体为正方体，球心在体对角线的中点处.求与球有关的弦长问题，主要先求得球心到弦的距离，然后利用勾股定理可求出弦长.163【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，计算出外心的坐标，由此求得的值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，根据已知条件可知.根据外心的几何性质可知在直线上.中点坐标为，的斜率为，故中垂线的斜率为，方程为，令，解得.由得，解得，所以.【点睛】本小题主要考查向量

12、的坐标运算，考查利用向量求解有关平面几何的问题，考查外心的定义以及找外心的方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及到向量的运算，而且题目所给三角形的角度比较特殊，故可采用建立坐标系的方法，利用代数化来解决几何问题.17（1）（2）【分析】（1）利用，求得数列是等比数列，由此求得数列的通项公式.（2）先求得的通项公式，然后利用裂项求和法求得的值.【详解】（）当时，由得，.当时，.是以为首项，以为公比的等比数列.其通项公式为.（） 【点睛】本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查利用裂项求和法求数列的前项和.属于中档题.18（1）（2）【分析】（1）利用三角形内角和定理以及正弦定

13、理化简已知条件，求得的值，利用齐次方程求得的值.（2）根据（1）求得的值，求出的值，根据三角形的面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，然后可利用余弦定理、向量的模或者平行四边形的性质，求得边中线的长.【详解】（），由正弦定理得，. .（），且，为锐角.且，.在中，由余弦定理得，.设边的中点为，连接.法一：在，中，分别由余弦定理得：，.法二：，.法三：由平行四边形的性质得：，.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.19（1）见证明；（2）【分析】（I）设中点为，连接、.设出的边长，通过计算证明，根据已知得到，由此证得平面，从

14、而证得.（II）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面计算出点的坐标，根据直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.【详解】（）设中点为，连接、.由题意.，四边形为平行四边形，又，为正方形.设，在中，又，.，.平面，平面，.，平面，且，平面.平面，.（）因为平面，所以，又，故，两两垂直，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由（）所设知，则，.由已知平面，设，则.，.设平面的法向量，则令，得.设所求的角为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量的方法计算直线与平面所成角的正弦值，属于中档题.20(1) (2)见解析【解析】【分析】（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（