三角形与四边形类比探究题.docx

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三角形与四边形类比探究题

类比探究

解决类比探究问题的一般方法：

1、根据题设条件，结合各问条件，先解决第一问；

2、用解决第一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问综合进行分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法。

类比探究：

图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。

类比探究解题方法和思路

1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：

相似（母子型、A型、非A型、X型、非X型）三线合一、面积、全等三角形等；

2、借助几问之间的联系，寻找条件和思路。

3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。

4、找结构：

寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。

常见不变结构及方法：

①直角：

作横平竖直的线，找全等或相似；

②中点：

作倍长、通过全等转移边和角；

③平行：

找相似、转比例。

5、哪些是不变的，哪些是变化的。

哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。

1．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sn．

（1）计算S1、S2、S3、S4．

（2）总结出Sn与Sn﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+Sn与n的关系．

2．（淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，

（1）中结论还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

3．将两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如图所示的位置摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上，且AB和DE、EF分别相交于点P、M，AC和DE相交于点N．

（1）试判断线段AB和DE的位置关系，并说明理由；

（2）若PD=AC，线段PE和BF有什么数量关系，请说明你的理由．

4．如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF

（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不证明）．

（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？

请写出你的结论，并证明．

（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是　_________　．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．

（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；

（2）请你探索：

当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．

6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，

（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是________．

（2）AD与BC有什么位置关系？

说明理由．

（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？

如果有，最大值是多少？

如果没有，说明理由．

7．直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是三角形ABC内一点，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，

（1）判断PC与PB的位置关系，并对你的判断加以说明．

（2）△ABP与△APC的面积比．

8．（内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）证明：

△BDF是等腰直角三角形．

（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．

10．如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF的位置，DF交AB于点P，DE交BC于点Q．请猜想OQ与OP有怎样的数量关系？

并证明你的结论．

11．

（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？

（直接写出结果，不需证明）

（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？

并证明；

（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q满足怎样的等量关系？

并证明．

12．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．

（1）如图

（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不需要证明）．

（2）如图

（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？

请写出你的结论并证明．

（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？

直接写出你的结论，不需要证明．

13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：

AF+EF=DE；

（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在

（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为

（1）中猜想的结论还成立吗？

若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

14．（营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．

（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=

，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．

15．（石家庄）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　_________　；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？

并对你的猜想结果给予证明；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为　_________　；位置关系为　_________　．

16．己知：

正方形ABCD．

（1）如图①，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？

请直接写出结论．

（2）如图②，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时

（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图③，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？

请直接写出结论．

17．（葫芦岛）已知：

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．

（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为　_________　；

（2）如图②，点D不在AB上，

（1）中的结论还成立吗？

如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

18．（南通）如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．

（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；

（2）当α=30°时，求证：

△AOE1为直角三角形．

19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？

20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．

（1）求证：

△EGM为等腰三角形；

（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

21．（辽阳）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=

CD，E为CD的中点．

（1）如图

（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图

（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，

（1）中的结论是否成立？

请说明理由．

22．如图，△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC绕点C旋转，CD、CE分别与AB相交于点F、G（都不与A、B点重合），设BG=x．回答下列问题：

（1）设CG=y1，请探究y1与x的函数关系，并直接写出y1的最小值；

（2）设AF=y2，请探究y2与x的函数关系．

23．（丰台区）已知：

△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是　_________　；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．

25．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是　_________　，线段AM与DE的数量关系是　_________　；

（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

26．（邯郸）

（1）如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．

求证：

AB=DE，AB⊥DE；

（2）如果将

（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且

=

=

，则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化？

请说明你的看法和理由．

（3）如果将

（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且

=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．

27．锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．

（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为

（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

28．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；

.②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb（a≠b，k＞0），第

（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？

若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第

（2）题图5中，连接BD、AE，且a=4，b=3，k=

，求BD2+AE2的值．

29．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）若AB=AC，∠BAC=90°．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；

②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；

（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．

30．已知△ABC和△ADE分别是以AB．AE为底的等腰直角三角形，以CE，CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH．

（1）如图1，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为　_________　；CH与CD的数量关系是　_________　，并说明理由；

（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2：

则∠DEH的度数为　_________　，CH与CD之间的数量关系为　_________　；

（3）将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°＜α＜45°）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．