考研数学考试大纲数一.docx
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考研数学考试大纲数一
201 1 考研 数学 大纲 ( 数 学 一 )
201 1 年考研数学大纲,从卷种分类,到题型,题量以及各科所占的分
值比例,再到各部分的考试内容和考试要求
考试科目
高等数学、线性代数、概率论与数理统计
试卷结构
一、试卷满分及答题时间
试卷满分为 150 分 , 考试时间为 180 分钟
二、内容比例
高等数学 约 56%
线性代数 约 22%
概率论与数理统计 约 22%
三、题型结构
单项选择题 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分
填空题 6 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分
解答题 ( 包括证明题 ) 9 小题 , 共 94 分
试卷结构的变化 2009 年大纲与 2008 年大纲比较
1. 内容比例
无变化 2. 题型结构
无变化
高等数学
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复
合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形
初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷
小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较
极限的四则运算 极限存在的两个准则:
单调有界准
两个重要极限 :
,
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上
连续函数的性质
考试要求
1 . 理解函数的概念 , 掌握函数的表示法 , 会建立应用问题的函数
关系 . 2 .了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3 . 理解复合函数及分段函数的概念 , 了解反函数及隐函数的概念 .
4 .掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念 .
5 . 理解极限的概念 , 理解函数左极限与右极限的概念以及函数极
限存在与左、右极限之间的关系.
6 .掌握极限的性质及四则运算法则 .
7 . 掌握极限存在的两个准则 , 并会利用它们求极限 , 掌握利用两
个重要极限求极限的方法.
8 .理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法 ,
会用等价无穷小量求极限.
9 .理解函数连续性的概念(含左连续与右连续 ) ,会判别函数间
断点的类型. 10 .了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函
数的性质 ( 有界性 、 最大值和最小值定理 、 介值定理 ) , 并会应用这些
性质.
本章考查焦点 1. 极限的计算及数列收敛性的判断
2. 无穷小的性质
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连
续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算
基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确
定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定
理 洛必达( L ’ Hospital )法则 函数单调性的判别 函数的极值 函
数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和
最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径
考试要求 1. 理解导数和微分的
意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,
会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2 . 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 , 掌握基本初等函
数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,
会求函数的微分. 3 .了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.
4 . 会求分段函数的导数 , 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及
反函数的导数 .
5 .理解并会用罗尔 (Rolle) 定理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理和泰勒
(Taylor) 定理,了解并会用柯西 (Cauchy) 中值定理.
6 .掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7 . 理解函数的极值概念 , 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值
的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用. 8 . 会用导数判断函数图形的凹凸性 ( 注 :
在区间 内 , 设函数 具有二
阶导数 。
当 时 , 的图形是凹的 ; 当 时 , 的图形是凸的 ) , 会求函数
图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9 .了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.
本章考查焦点 1. 洛必达法则求极限
2. 导数的应用
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定
积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数
牛顿一莱布尼茨 ( Newton-Leibniz ) 公式 不定积分和定积分的换元积
分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的
积分 反常(广义)积分 定积分的应用
考试要求
1 .理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念.
2 . 掌握不定积分的基本公式 , 掌握不定积分和定积分的性质及定
积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.
3 .会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4 . 理解积分上限的函数 , 会求它的导数 , 掌握牛顿-莱布尼茨公
式.
5 .了解反常积分的概念,会计算反常积分.
6 .掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积 、
平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立
体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.
本章考查焦点 1. 用积分表达、计算几何量和物理量
2. 积分上限的函数的导数
3. 积分中值定理
4. 积分的计算
四、向量代数和空间解析几何
考试内容
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合
积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及
其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的
概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线
的夹角以及平行 点到平面和点到直线的距离 球面
柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方
程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
考试要求 1. 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示 .
2. 掌握向量的运算 ( 线性运算 、 数量积 、 向量积 、 混合积 ) , 了解两个
向量垂直、平行的条件 .
3. 理解单位向量、方
标表达式进行向量运算的方法 .
4. 掌握平面方程和直线方程及其求法 .
5 . 会求平面与平面 、 平面与直线 、 直线与直线之间的夹角 , 并会利用
平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题 .
6 .会求点到直线以及点到平面的距离 .
7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念 .
8. 了解常用二次曲面
方程 .
9. 了解空间曲线的参数方程和一般方程 . 了解空间曲线在坐标平面上的
投影,并会求该投影曲线的方程 .
本章考查焦点 1. 点到直线、平面的距离
2. 曲面的方程
五、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概
念 有界闭区域上多元连续 多元函数的偏导数和全微分
全微分存在的必要 多元复合函数、隐函数的求导法
二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切
平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值
多元函数的最大值、最小值及其简单应用
考试要求
1 .理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义 .
2 . 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性
质 .
3 . 理解多元函数偏导数和全微分的概念 , 会求全微分 , 了解全微分存
在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性 .
4 .理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法 .
5 .掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法 .
6 .了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数 .
7 . 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念 , 会求
它们的方程 .
8 .了解二元函数的二阶泰勒公式 .
9 . 理解多元函数极值和条件极值的概念 , 掌握多元函数极值存在的必
要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,
会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小
值,并会解决一些简单的应用问题 .
本章考查焦点 1. 多元复合函数的一阶、二阶偏导数
2. 某些简单应用的最大值和最小值
六、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分
的概念 、 性质及计算 两类曲线积分的关系 格林 ( Green ) 公式 平
面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面
积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯( Gauss )公式
斯托克斯 ( Stokes) 公式 散度 、 旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积
分的应用
考试要求 1 . 理解二重积分 、 三重积分的概念 , 了解重积分的性质 , 了解二重积
分的中值定理 .
2 .掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标 ) ,会计算三重积分
(直角坐标、柱面坐标、球面坐标) .
3 . 理解两类曲线积分的概念 , 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积
分的关系 .
4 .掌握计算两类曲线积分的方法 .
5 . 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件 , 会求二元
函数全微分的原函数 .
6 . 了解两类曲面积分的概念 、 性质及两类曲面积分的关系 , 掌握计算
两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用
斯托克斯公式计算曲线积分 .
7 .了解散度与旋度的概念,并会计算 .
8 . 会用重积分 、 曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量 ( 平面图
形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心 、 、形心、转动惯量 、
引力、功及流量等) .
本章考查焦点 1. 曲面积分的计算
2. 二元函数全微分的原函数的计算
3. 重积分、三重积分的计算
七、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的
基本性质与收敛的 几何级数与 级数及其收敛性 正项级
数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收
敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收
敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数
在其收敛区间内的 简单幂级数的和函数的求法 初等函数
的幂级数展开式 函数的傅里叶 ( Fourier ) 系数与傅里叶级数 狄利克
雷 ( Dirichlet ) 定理 函数在 上的傅里叶级数 函数在 上的正弦级数
和余弦级数
考试要求
1 . 理解常数项级数收敛 、 发散以及收敛级数的和的概念 , 掌握级
数的基本性质及收敛的必要条件 .
2 .掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件 .
3 . 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法 , 会用根值判
别法 . 4 .掌握交错级数的莱布尼茨判别法 .
5. 了解任意项级数绝对收
收敛的关系 .
6 .了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 .
7 . 理解幂级数收敛半径的概念 、 并掌握幂级数的收敛半径 、 收敛
区间及收敛域的求法 .
8 .了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性 、 逐
项求导和逐项积分 ) , 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数 , 并会由
此求出某些数项级数的和 .
9 .了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 .
10 . 掌握 、 、 、 及 的麦克劳林 ( Maclaurin ) 展开式 , 会用它
们将一些简单函数间接展开成幂级数 .
11 . 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理 , 会将定义在 上的函
数展开为傅里叶级数 , 会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级
数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式 .
本章考查焦点 1. 函数的幂级数展开
2. 幂级数的和函数
八、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一
阶线性微分方程 伯努利( Bernoulli )方程 全微分方程 可用简单
的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分
方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于
二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性
微分方程 欧拉( Euler )方程 微分方程的简单应用
考试要求 1 .了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 .
2 .掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.
3 . 会解齐次微分方程 、 伯努利方程和全微分方程 , 会用简单的变量代
换解某些微分方程 4 .会用降阶法解下列形式的微分方程:
.
5 .理解线性微分方程解的性质及解的结构.
6 . 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 , 并会解某些高于二阶的
常系数齐次线性微分方程 .
7 . 会解自由项为多项式 、 指数函数 、 正弦函数 、 余弦函数以及它们的
和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8 .会解欧拉方程.
9 .会用微分方程解决一些简单的应用问题.
本章考查焦点 1. 常微分方程的解法及简单应用
线性代数
一、行列式
考试内容
行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理
考试要求 1 .了解行列式的概念,掌握行列式的性质.
2 .会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.
本章考查焦点
很少直接考查行列式 , 总是蕴含在矩阵的有关问题中 .
二、矩阵
考试内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的
行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条
件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等
价 分块矩阵及其运算
考试要求 1 . 理解矩阵的概念 , 了解单位矩阵 、 数量矩阵 、 对角矩阵 、 三角矩阵 、
对称矩阵和反对称矩阵,以及它们的性质. 2 . 掌握矩阵的线性运算 、 乘法 、 转置以及它们的运算规律 , 了解方阵
的幂与方阵乘积的行列式的性质 .
3 . 理解逆矩阵的概念 , 掌握逆矩阵的性质 , 以及矩阵可逆的充分必要
条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵.
4 . 理解矩阵初等变换的概念 , 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的
概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的
方法. 5 .了解分块矩阵及其运算.
本章考查焦点 1. 矩阵的逆矩阵的计算及其秩的计算方法 .
三、向量
考试内容
向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线
性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的
秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 维向量空间的基变
换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化
方法 规范正交基 正交矩阵及其性质
考试要求
1 .理解 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.
2 . 理解向量组线性相关 、 线性无关的概念 , 掌握向量组线性相关 、
线性无关的有关性质及判别法.
3 . 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念 , 会求向量
组的极大线性无关组及秩 4 . 理解向量组等价的概念 , 理解矩阵的秩与其行 ( 列 ) 向量组的秩之间
的关系 .
5 .了解 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.
6 .了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.
7 .了解内积的概念,掌
( Schmidt )方法.
8 .了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.
本章考查焦点 1. 向量的线性相关及正交规范化 .
四、线性方程组
考试内容 :
线性方程组的克莱姆 ( Cramer ) 法则 齐次线性方程组有非零解的充分
必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性
质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线
性方程组的通解
考试要求 l .会用克莱姆法则. 2 . 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组
有解的充分必要条件. 3 . 理解齐次线性方程组的基础解系 、 通解及解空间的概念 , 掌握齐次
线性方程组的基础解系和通解的求法 .
4 .理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.
5 .掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.
本章考查焦点 1. 齐次线性方程组的基础解系和通解的计算 .
2 非齐次线性方程组解的结构的应用 .
五、矩阵的特征值和特征向量
考试内容 :
矩阵的特征值和特征向量的概念 、 性质 相似变换 、 相似矩阵的概
念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称
矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
考试要求 :
1 . 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 , 会求矩阵的特征值和
特征向量 .
2 .理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件 ,
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 .
3 .掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
本章考查焦点 1. 矩阵特征值和特征向量的计算 .
2. 将矩阵相似对角化 .
六、二次型
考试内容
二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二
次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次
型及其矩阵的正定性
考试要求 1 . 掌握二次型及其矩阵表示 , 了解二次型秩的概念 , 了解合同变换与
合同矩阵的概念 , 了解二次型的标准形 、 规范形的概念以及惯性定理 .
2 . 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 , 会用配方法化二次型为
标准形. 3 .理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法.
本章考查焦点 1. 将二次型化为标准型
概率论与数理统计
一、随机事件和概率
考试内容
随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概
率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式
事件的独立性 独立重复试验
考试要求 1 . 了解样本空间 ( 基本事件空间 ) 的概念 , 理解随机事件的概念 , 掌握
事件的关系及运算.
2 . 理解概率 、 条件概率的概念 , 掌握概率的基本性质 , 会计算古典型
概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全
概率公式,以及贝叶斯 (Bayes) 公式.
3 . 理解事件独立性的概念 , 掌握用事件独立性进行概率计算 ; 理解独
立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.
本章考查焦点 1. 全概率公式及贝叶斯公式
2. 概率及条件概率 , 古典型概率
3. 概率的基本公式
二、随机变量及其分布
考试内容
随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的
概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变
量函数的分布
考试要求 1 .理解随机变量的概念,理解分布函数
的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2 . 理解离散型随机变量及其概率分布的概念 , 掌握 0 - 1 分布 、 二项分
布 、几何分布、超几何分布、泊松( Poisson )分布 及其应用.
3. 了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布 .
4 .理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布 、正态
分布 、指数分布及其应用,其中参数为 的指数分布 的概率密度为
5 .会求随机变量函数的分布.
本章考查焦点
掌握随机变量分布函数的性质 , 尤其是正态分布 .
三、多维随机变量及其分布
考试内容
多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘
分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和
条件密度 随机变量的独立性和不相关 常用二维随机变量的分布
两个及两个以上随机变量简单函数的分布
考试要求
1 . 理解多维随机变量的概念 , 理解多维随机变量的分布的概念和
性质 . 理解二维离散型随机变量
理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与
二维随机变量相关事件的概率.
2 . 理解随机变量的独立性及不相关性的概念 , 掌握随机变量相互
独立的条件 .
3 .掌握二维均匀分布,了解二维正态分布 的概率密度,理解其
中参数的概率意义.
4 . 会求两个随机变量简单函数的分布 , 会求多个相互独立随机变量简
单函数的分布 .
本章考查焦点 1. 多维随机变量的联合分布 , 边缘密度及条件密度的计算 .
四、随机变量的数字特征
考试内容
随机变量的数学期望(均值 ) 、方差、标准差及其性质 随机变
量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
考试要求
1 .理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协
方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用
分布的数字特征 2. 会求随机变量函数的数学期望 .
本章考查焦点 1. 随机变量的数学期望、方差的计算 .
五、大数定律和中心极限定理
考试内容
切比雪夫( Chebyshev )不等式 切比雪夫大数定律 伯努利
( Bernoulli) 大数定律 辛钦 ( Khinchine ) 大数定律 棣莫弗-拉普拉
斯( De Moivre - laplace )定理 列维-林德伯格( Levy-Lindberg )定
理
考试要求
1 .了解切比雪夫不等式.
2 .了解切比雪夫大数定律、伯 ( 独
立同分布随机变量序列的大数定律 ) .
3 . 了解棣莫弗 - 拉普拉斯定理 ( 二项分布以正态分布为极限分布 ) 和列维
- 林德伯格定理 ( 独立同分布随机变量序列的中心极限定理 ) .
本章考查焦点
利用考试内容中的定律进行相关的近似计算 .
六、数理统计的基本概念
考试内容
总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 分布
分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布
考试要求 1 . 理解总体 、 简单随机样本 、 统计量 、 样本均值 、 样本方差及样本矩
的概念,其中样本方差定义为:
2 . 了解 分布 、 分布和 分布的概念及性质 , 了解上侧 分位数的概念
并会查表计算. 3 .了解正态总体的常用抽样分布.
本章考查焦点
给定一个随机样本 , 判断统计量的分布类型 , 计算统计量的数字特征 .
七、参数估计
考试内容
点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的
评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计
两个正态总体的均值差和方差比的区间估计
考试要求 1 .理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
2 .掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.
3 .了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性 )
的概念,并会验证估计量的无偏性. 4 . 理解区间估计的概念 , 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 ,
会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间 .
本章考查焦点 1. 估计量的评判标准 .
2. 区间估计的计算 .
3. 最大似然估计和矩估计的计