第四讲规律问题学生版1.docx
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第四讲规律问题学生版1
规律问题
题型一:
火柴问题
如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:
第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,…,依此规律,第11个图案需 根火柴.
1.如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……
(1)根据上面的图形填写如表:
金鱼条数
1
2
3
…
n
火柴根数
…
(2)搭多少条金鱼需要62根火柴?
2、下图是由一些火柴棒搭成的图案:
(1)摆第①个图案用 根火柴棒,
摆第②个图案用 根火柴棒,
摆第③个图案用 根火柴棒.
(2)按照这种方式摆下去,摆第n个图案用多少根火柴棒?
(3)计算一下摆121根火柴棒时,是第几个图案?
题型二:
数表问题
将正整数1至2019按照一定规律排成下表:
记aij表示第i行第j个数,如a14=4表示第1行第4个数是4.
(1)直接写出a42= ,a53= ;
(2)①如果aij=2019,那么i= ,j= ;②用i,j表示aij= ;
(3)将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移,所覆盖的5个数之和能否等于2027.若能,求出这5个数中的最小数,若不能说明理由.
1.如图,1~1225这1225个自然数按图中规律分别排列在网格中,除对角线MN经过的35个数外,其它的数被分成两部分,对角线MN右上方595个数之和记为S1,对角线MN左下方的595个数之和记为S2,则S1﹣S2= .
2.将正偶数按下表排列成5列:
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行
2
4
6
8
第二行
16
14
12
10
第三行
18
20
22
24
第四行
32
30
28
26
…
…
根据上面的规律,则2018应在第 行,第 列.
题型三:
格点问题
如图所示,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依此类推
(1)第5层所对应的点数是 ;
(2)六边形的点阵共有n层时的总点数是 .
1、如图所示,将形状和大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则
的值为 .
2.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:
(1)第5个图形有多少黑色棋子?
(2)第100个图形有多少黑色棋子?
(3)第n个图形有多少黑色棋子?
(4)第几个图形有2013颗黑色棋子?
请说明理由.
题型四:
空间堆积
图
(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图
(2).(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,则第5个叠放的图形中,小正方体木块个数应是 个.…第100个叠放的图形中,小正方体木块个数应有 个.
1、墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形,如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制),但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多可以搬走 个小正方体.
2、15.如图,观察由棱长为1的小立方体摆成的图形,寻找规律:
如图①中:
共有1个小立方体,其中1个看得见,0个看不见;如图②中:
共有8个小立方体,其中7个看得见,1个看不见;如图③中:
共有27个小立方体,其中19个看得见,8个看不见;…,则第⑥个图中,看得见的小立方体有 个.
题型五:
数的联系
已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:
a1=0,a2=﹣|a1+1|,a3=﹣|a2+2|,a4=﹣|a3+3|,…依此类推,则a2017的值为 .
1、将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵,根据这个排列规则,数阵中第20行从左至右的第3个数是 .
2、a是不为0和1的有理数,我们把1﹣
称为a的倒数差.如2的倒数差是1﹣
,﹣1的倒数差是1﹣
=2.已知a1=﹣
,a2是a1的倒数差,a3是a2的倒数差,a4是a3的倒数差,…依此类推,则a2017= .
课后练习:
1、如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 根小棒.
2.法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》,其主要突破在“五边形数“的证明上.如图为前几个“五边形数“的对应图形,请据此推断,第6个“五边形数”应该为 ,第22个“五边形数”应该为 .
3.如图,从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,若取前3格子中的任意两个数记作a、b,且a≥b,那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到,其结果为 ,若a、b为前16格子中的任意两个数,且a≥b,则所有的|a﹣b|的和为 .
9
★
☆
x
﹣6
2
……
4.在一张白纸内任作n条直线,当n=1时,直线把纸面分成2个部分如图
(1),当n=2时,直线把纸面最多分成4个部分如图
(2)…,则n=4时,直线把纸面最多分成 个部分:
n条直线把纸面最多分成 个部分.
5.如图,小宇用黑白棋子组成的一组图案,第1个图案由1个黑子组成,第2个图案由1个黑子和6个白子组成,第3个图案由13个黑子和6个白子组成,按照这样的规律排列下去,则第6个图案中共有 个黑子.
6.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:
第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,…,依此规律,第6个图形有 个圆.
7.如图所示,①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,…,依此类推,则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 .
8.点O在直线AB上,点A1、A2、A3、…在射线OA上,点B1、B2、B3、…在射线OB上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度,一个动点M从O点出发按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动速度为每秒1个单位长度,按此规律,则动点M到达A54点处所需时间为 .
9.将若干个自然数按某种规律排列,若前面几个数依次是:
1,3,6,10,15,21,28,36,则第50个数是 .
10.如图,古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如:
称图中的数1,5,12,22…为五边形数,则第7个五边形数是 .
11.将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵.
(1)如图,十字框中五个数的和是框正中心数17的 倍;
(2)若将十字框上下、左右平移,可框住另外五个数,设框正中心的数为a,则这五个数的和是 (用含a的代数式表示);
(3)十字框中五个数的和能等于2020吗?
若能,请写出这五个数:
若不能,请说明理由.
13.找规律:
观察算式
13=1;13+23=9;13+23+33=36;13+23+33+43=100…
(1)按规律填空)
13+23+33+43+…+103= 552 ;
13+23+33+43+…+n3=
.
(2)由上面的规律计算:
113+123+133+143+…+503(要求:
写出计算过程)
(3)思维拓展:
计算:
23+43+63+…+983+1003(要求:
写出计算过程)
14.【情景背景】如图所示,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②是部分①面积的一半,部分③是部分②面积的一半,以此类推.
(1)如图
(1)中的阴影部分面积是
;
(2)受此启发,得到
=
;
(3)进而计算:
= 1﹣
;
【迁移应用】计算:
=
;
【解决问题】计算
;
15.已知f(x)=2x﹣1,如f(﹣2)=2×(﹣2)﹣1=﹣5,求
的值.
16.请观察下列算式,找出规律并填空.如图所示数表,从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成下列各题:
(1)请问第六排从左到右的第二个数是 ;
(2)设第n排右边最后一个数字为y,请用含n的代数式表示y.
17.问题解决:
一张长方形桌子可坐6人,按如图方式将桌子拼在一起.
(1)2张桌子拼在一起可坐 人,3张桌子拼在一起可坐 人,…n张桌子拼在一起可坐 人.
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可坐 人.
18.如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,算第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依此类推.
(1)填写下表:
层数
1
2
3
4
5
6
该层对应的点数
所有层的总点数
(2)写出第n层所对应的点数;
(3)如果某一层共96个点,你知道它是第几层吗;
(4)有没有一层,它的点数为100点;
(5)写出n层的六边形点阵的总点数.
19.把2005个正整数1,2,3,4,…,2005按如图方式排列成一个表:
(1)如图,用一正方形框在表中任意框住4个数,记左上角的一个数为x,则另三个数用含x的式子表示出来,从小到大依次是 , , ;
(2)当
(1)中被框住的4个数之和等于416时,x的值为多少?
(3)
(1)中能否框住这样的4个数,它们的和等于324?
若能,则求出x的值;若不能,则说明理由.
20.观察下面的点阵和相应的等式,探究其中的规律:
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式:
①1=12;②1+3=22;③1+3+5=32;④ ;⑤ .
(2)请猜想:
1+3+5+7+…+19= .
(3)请猜想:
1+3+5+7+…+(2n﹣1)+(2n+1)= .
(4)请用上述规律计算:
101+103+105+107+…+199.
21.某餐厅中,一张桌子可坐6人,有以下两种摆放方式:
(1)当有n张桌子时,两种摆放方式各能坐多少人?
(2)一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐,但餐厅只有25张这样的餐桌,若你是这个餐厅的经理,你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么?