点线面的位置关系.docx

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点线面的位置关系

17点、线、面的位置关系.txt37真诚是美酒，年份越久越醇香浓烈；真诚是焰火，在高处绽放才愈显美丽；真诚是鲜花，送之于人，手有余香。

第二节点、线、面的位置关系

一、选择题

1..如图，正方体的棱线长为1，线段

有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是

（A）

（B）

（C）三棱锥的体积为定值

（D）异面直线所成的角为定值

2.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

　【解读】选D.

3．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中

心，则与平面所成角的大小是（）

A．B．C．D．

　答案：

C

【解读】取BC的中点E，则面，，因此与平面

　所成角即为，设，则，，

　即有．

4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

5．C【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．

　【解读】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．

6.设m，n是平面内的两条不同直线，，是平面内的两条相交直线，则//的

一个充分而不必要条件是

　A.m//且l//B.m//l且n//l

　C.m//且n//D.m//且n//l

【答案】：

B

[解读]若，则可得.若则存在

7.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与

　所成的角的余弦值为

　A.B.C.D.

　解：

令则,连∥异面直线与所成的角即

　与所成的角。

在中由余弦定理易得。

故选C

8．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则

到底面

的距离为（）

A．B．1

　　C．D．

【答案】D

【解读】本题主要考查正四棱柱的概念、

　　直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.（第4题解答图）

　　属于基础知识、基本运算的考查.

依题意，，如图，

　　　　，故选D.

9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和

平面所成的角都是的直线的条数为（）

　　A．2B．3C．4D．5

　　答案B

10．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是

A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）

B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为

C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

　　D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

　　C

11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则

　　该三棱柱的高等于

　　A.B.

　　C.D.

　　A

12．正方体ABCD-的棱上到异面直线AB，C的

　　距离相等的点的个数为（C）

　　A．2B．3C.4D.5

13．平面六面体-中，既与共面也与共面的棱的条数为【C】

　　A．3B.4C.5D.6

14．如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为

　A．是正三棱锥

　B．直线∥平面

　C．直线与所成的角是

　D．二面角为

答案B

15.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则

下列结论正确的是

Ａ.　　Ｂ.平面

　　C.直线∥平面Ｄ.

　　答案D

二、填空题

16．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端

点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是．

答案：

【解读】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是

17.对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________

（写出所有正确命题的编号）。

○1相对棱AB与CD所在的直线异面；

　○2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

○3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；

○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。

○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

　　[解读]①④⑤

18.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的

中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（D）

　（A）（B）（C）（D）

解：

设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D

19.已知二面角α-l-β为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（C）

　（A）（B）2（C）（D）4

　解:

如图分别作

　，连

　，

　又

　当且仅当，即重合时取最小值。

故答案选C。

20.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧

　棱的中点，则异面直线所成的角的大小

　是。

　答案

21．如图，若正四棱柱的底面连长为2，高为

　4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果

　用反三角函数表示）.

　答案

三、解答题

22．（本小题满分14分）

　如图，在直三棱柱中，、分别是、的中

　点，点在上，。

　求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）平面平面.

　【解读】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查

　空间想象能力、推理论证能力。

满分14分。

23．（本小题满分14分）

如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点

、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．

（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（2）证明：

直线平面；

（3）求异面直线所成角的正弦值.

解：

（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为

，

　又面，，∴.

（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，

∴，，即，，

　又，∴平面.

（3），，则，设异面直线所成角为，则.

24.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD

　（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

　（II）证明平面AMD平面CDE；

（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

　方法一：

（Ⅰ）解：

由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其

　补角）为异面直线BF与DE所成的角。

设P为AD的中

　点，连结EP，PC。

因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。

　又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。

而PC，AD

　都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。

由AB⊥AD，可

　得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，

　故∠CED=60°。

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（II）证明：

因为

　（III）

由（I）可得，

25.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，

（1）证明：

平面

（2）证明：

平面

（3）求直线与平面所成角的正切值

26．（本题满分15分）如图，平面平面，

　　是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，

　　，的中点，，．

（I）设是的中点，证明：

平面；

（II）证明：

在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．

证明：

（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．

27．（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：

平面；（II）求与平面所成角的正弦值．

28．（Ⅰ）证明：

连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD

（Ⅱ）在中，，所以

而DC平面ABC，，所以平面ABC

而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以

所以平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，

所以直线AD与平面ABE所成角是

在中，，

所以

29.（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

（II）用反证法证明：

直线ME与BN是两条异面直线。

（I）解法一：

取CD的中点G，连接MG，NG。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG=2，NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。

因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值......6分

30．（本小题满分13分）

如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，

（Ⅰ）证明：

直线垂直且平分线段AD：

（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面

体ABCDEF的体积。

【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。

【解读】

（1）由于EA=ED且

点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.

又ABCD是四方形

线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线

即点EF都居线段AD的垂直平分线上.

所以,直线EF垂直平分线段AD.

（2）连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1,.

-ABCD

又-BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC

多面体ABCDEF的体积为VE-ABCD＋VE-BCF=

31．（本小题满分12分）（注意：

在试卷卷上作答无效）

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M在侧棱上，=60°

　　（I）证明：

M在侧棱的中点

　　（II）求二面角的大小。

（I）解法一：

作∥交于N，作交于E，

　　连ME、NB，则面，,

　　设，则,

　　在中，。

　　在中由

　　解得，从而M为侧棱的中点M.

解法二:

过作的平行线.

解法三:

利用向量处理.详细可见09年高考参考答案.

　　（II）分析一:

利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

　　过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.

　　分析二：

利用二面角的定义。

在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.

　　分析三：

利用空间向量求。

在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。

　　另外：

利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。

　　总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：

传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会照顾双方的利益。

32.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面

（I）证明：

（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。

（I）分析一：

连结BE，为直三棱柱，

　　为的中点，。

又平面，

　　（射影相等的两条斜线段相等）而平面，

　　（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：

取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。

分析三：

利用空间向量的方法。

具体解法略。

（II）分析一：

求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。

作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.

设点到面的距离为，与平面所成的角为。

利用，可求得，又可求得

即与平面所成的角为

分析二：

作出与平面所成的角再行求解。

如图可证得，所以面。

由分析一易知：

四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。

。

以下略。

分析三：

利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。

具体解法详见高考试卷参考答案。

　　总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：

传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

34．（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且

　　（Ⅰ）求证：

平面；

　　（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

　　（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？

并说明理由.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

　　（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

　　　（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

　　　　　　∴，

　　　　　　又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

　　　　　　∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

　　　　　　∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

　　　　　　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

　　　　　　∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

　　　　　　∴在Rt△ABC中，，∴.

　　　　　　∴在Rt△ADE中，，

　　　　　　∴与平面所成的角的大小.

　　（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

　　　　　又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

　　　　　∴∠AEP为二面角的平面角，

　　　　　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.

　　　　　∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

　　　　　故存在点E使得二面角是直二面角.

　　【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，

　　设，由已知可得

　　.

　　（Ⅰ）∵，

　　　　　　　　∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴.

　　　　　　∴与平面所成的角的大小.

　　　　（Ⅲ）同解法1.

36．（本小题共14分）

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE//PD，，又∵，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

　　37．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

　　如题（19）图，在四棱锥中，且；平

　　面平面，；为的中点，．求：

　　（Ⅰ）点到平面的距离；

　　（Ⅱ）二面角的大小．

39（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：

（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离：

（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值，

40.（本小题满分12分）

　　如图4，在正三棱柱中，

D是的中点，点E在上，且。

（I）证明平面平面

（II）求直线和平面所成角的正弦值。

解（I）如图所示，由正三棱柱的性质知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。

AAAE=A所以DE平面ACCA，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACCA。

（2）解法1如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，ABDF

又CDDF=D，所以AB平面CDF，

而AB∥AB，所以

AB平面CDF，又AB平面ABC，故

平面ABC平面CDF。

过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面ABC。

连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=AA，不妨设AA=，则AB=2，DF=，DC=，

CF=，AD==，DH==-，

所以sinHAD==。

即直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。

41.（本小题满分12分）

如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4,A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE

（Ⅰ）证明：

平面平面。

（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

解（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-的性质知平面

又DE平面ABC，所以DEA.

而DEA，,所以DE⊥平面

又DE平面，故平面⊥平面

（Ⅱ）解法1过点A作AF垂直于点

连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故直线AD和

平面所成的角。

因为DE所以DEAC而

ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2AE=4-CE=4-=3

又因为=所以E===4

即直线AD和平面所成的角的正弦值为

42．（本小题满分12分）

　　在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：

平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求点到平面的距离.

20．解：

方法一：

（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由

（1）知，，又，则是的中点可得

，

则

设D到平面ACM的距离为，由即，

可求得，

设所求角为，则，。

（1）可求得PC=6。

因为AN⊥NC，由，得PN。

所以。

　故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由

（2）可知所求距离为。

43（本小题满分12分）

如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相

垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求证：

；

（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？

若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（III）求二面角的大小。

　　（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角

等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：

（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，

　　　平面平面，

　　　所以⊥平面

　　　所以⊥.

　　　因为为等腰直角三角形，，

　　　所以

　　　又因为，

　　　所以，

　　　即⊥,

　　　所以⊥平面。

..........................................4分

（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE..........................................8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。

从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA=FE,∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=.

FG=AF·sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

GH=BG·sinGBH=·=

在Rt△FGH中，tanFHG==

故二面角F-BD-A的大小为arctan.....................................12分

第一部分五年高考荟萃

2009年高考题

2005-2008年高考题

一、选择题

1.（2008上海13）给定空间中的直线L及平面?

，条件"直线L与平面?

内无数条直线都垂直"是"直线L与平面?

垂直"的（）条件

　A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

　答案C

2.（2008天津5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）

A．　　B．

C．D．

答案C

3.（2008安徽4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A．B．

C．D．

答案D

4.（2008湖南5）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是（）

　　A.若m∥,n∥,则m∥n

　　B.若m,n,m∥,n∥,则∥

　　C.若，m,则m

　　D.若，m，m,则m∥

答案D

5.（2008全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）

　A．B．C．D．

　答案C

6.（2008全国Ⅱ10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）

　A．B．C．D．

　答案C

7.（2008四川９）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有（）

　A．１条　　B.２条C．３条　　D．４条

　答案B

8.（2008湖南9）长方体ABCD－A1B1C