专题05 新高考数学题型概率统计之回归分析解析版.docx
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专题05新高考数学题型概率统计之回归分析解析版
专题5回归分析
例1．已知回归方程，则该方程在样本（1，4）处的残差为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．5
【解析】解：
当x＝1时，5x+1＝6，
∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．
故选：
A．
例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．
以上正确说法的是 ①③④ ．
【解析】解：
①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；
③在回归直线方程0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位，故③正确；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．
故答案为：
①③④．
例3．下列命题中，正确的命题有 ②③ ．
①回归直线x恒过样本点中心（，），且至少过一个样本点；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．
【解析】解：
①回归直线x恒过样本点中心（，），不一定过样本点，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好，正确；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越差．故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：
②③
例4．下列命题：
①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．
②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．
③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．
④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．
其中错误命题的个数为 4 ．
【解析】解：
对于①，相关指数R2越小，则残差平方和越大，此时模型的拟合效果越差，所以①错误；
对于②，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以②错误；
对于③，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越低，所以③错误；
对于④，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，所以④错误．
综上知，错误命题的序号是①②③④，共4个．
故答案为：
4．
例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：
万人）和该县年垃圾产生总量（单位：
吨），并计算得80，4000，（xi）2＝80，（yi）2＝8000，（xi）（yi）＝7000．
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：
使用年限
台数
款式
1年
2年
3年
4年
5年
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？
参考公式：
相关系数r．
对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，x．
【解析】解：
（1）由题意知相关系数，
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
（2）由题意可得，，，
所以．
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：
万元）的分布列为
X
﹣50
0
50
100
P
0.1
0.4
0.3
0.2
E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（万元）
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：
万元）的分布列为：
Y
﹣30
20
70
120
P
0.3
0.4
0.2
0.1
E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（万元）
因为E（X）＞E（Y），所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．
例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？
若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；
（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：
周光照量X（单位：
小时）
30＜X＜50
50≤X≤70
n≥2
光照控制仪最多可运行台数
5
4
2
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．
附：
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相关系数公式，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，，参考数据，．
【解析】解：
（1）由已知数据可得，，
因为，
，
．
所以相关系数，
因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系，
因为，2.5，所以回归直线方程y＝0.3x+2.5．
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：
X＞70时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，
当50≤X≤70时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，
当X＜50时，共有5周，5台光照控制仪都运行，周总利润Y＝5×3000＝15000元，
所以过去50周每周利润的平均值元，
所以商家在过去50周每周利润的平均值为9800元．
例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：
①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．
某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：
等级
A
B
C
D
E
比例
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
政治学科
各等级对应的原始分区间
[81，98]
[72，80]
[66，71]
[63，65]
[60，62]
生物学科
各等级对应的原始分区间
[90，100]
[77，89]
[69，76]
[66，68]
[63，65]
现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：
（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；
（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Yi，Ti），请计算生物原始分Yi与生物转换分Ti之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．
附1：
等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
转换分T的赋分区间
[86，100]
[71，85]
[56，70]
[41，55]
[30，40]
附2：
计算转换分T的等比例转换赋分公式：
．（其中：
Y1，Y2别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T的计算结果按四舍五入取整）．
附3：
（Yi）（Ti）＝74，74.12，r．
【解析】解：
（1）根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；
（2）甲同学选考政治学科的等级为A，由转换赋分公式：
，解得T＝87；
乙同学选考生物学科的等级为A，由赋分转换公式：
，解得T＝87；
所以甲、乙两位同学的转换分都是87分．
（3）由题意知，r0.998，
说法1：
等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．
说法2：
等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象．
（只要说法有道理，都可以得分）．
例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：
平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：
万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．
（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；
（Ⅲ）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如表所示：
0.000591
0.000164
0.006050
请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．
【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，，，．
【参考公式】．
【解析】解：
（I）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.05+0.1+0.2＝0.35，
前四组频率和为0.05+0.1+0.2+025＝0.6，
故中位数出现在第四组，且．
（Ⅱ）设从位
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