线性代数基本定理.docx
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线性代数基本定理
线性代数基本定理
一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律
AB=O,A也可以不等于O
?
11
?
?
1-1?
=
?
0
0?
?
÷?
÷
?
÷
è-1-1
?
è-11
?
è0
0?
2.矩阵不可交换
（A+B）2=A2+AB+BA+B2
（AB）k=ABABABAB...AB
3.常被忽略的矩阵运算规则
（A+B）T=AT+BT
（lA）T=lAT
4.反称矩阵对角线元素全为0
4.矩阵逆运算的简便运算
-1111（diag（a1,a2,...a,n））=diag（,,...,）
-11-1
（kA）=A
方法
1.特殊矩阵的乘法
A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。
且：
B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵
2.矩阵等价的判断
A@B?
R（A）=R（B）
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换
如：
m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换
4.给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆
如：
A2
-A-2I=O，证明（A+2I）可逆。
把2I
项挪到等式右边，左边凑出含有
A+2I的一个多项式，
在确保A平方项与A项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。
5.矩阵的分块进行计算
加法：
分块方法完全相同
矩阵乘法（以A*B为例）：
A的列的分法要与B行的分法一致，如：
é1-10
0
ùé
10
0
0
ê
0
úê
0
0
ê3-10
úê-10
ê0
1
0
0
úê0
1
3
-1
ê
0
2
-1
úê
0
2
1
4
?
0
?
?
如红线所示：
左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间
ù
ú
ú
ú
ú
?
至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。
求逆：
如果A1,A2,...,Am均可逆，
若，则
反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。
求转置：
块转置，每一块里面的也要转置
6.把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意：
A．代数余子式的正负
B．初等变换用等号，行列式的值可能变化
1.特殊形状行列式
上下三角行列式、反上下三角行列式
det（kA）=kndet（A）
det（AB）=det（A）det（B）
块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）
Ann
O
Ann
*
=
=AB
*
Bmm
O
Bmm
O
Ann
=
*
Ann
=（-1）mnAB
Bmm
*
Bmm
O
n
det（diag（A1,A2,...An））=?
det（Ai）
i=1
2.一般行列式的计算原则
A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶
B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来其中，B点最容易被忽略掉！
！
！
例题：
已知abcd=1
a2
+
1
a
1
1
a2
a
b2
+
1
b
1
1
D=
b2
b
1
1
c2
+
c
1
c2
c
d2
1
d
1
1
+d2
d
a
1
1
1
1
a
1
a2
a
a2
1
a
b
1
1
1
1
b
1
b2
b
b2
1
=abcd
+
b
1
1
1
1
c
1
c
c2
c
c2
1
c
d
1
1
1
1
d
1
d2
d
d2
1
d
不用计算每一个行列式值为多少
，观察发现此式正好得0
3.范德蒙德行列式
=?
（xi-xj）
n3i>j31
注意：
范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到
下或从左到右升幂
不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是i和j的
用处
4.几种n阶行列式的巧算办法：
见笔记本
5.克拉默法则：
解决伴随矩阵问题的好方法。
还要了解行列式按某行展开，如果对被展开行的每列来说，代数余子式
乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为0，这样，线性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示）
6.矩阵的秩：
可以回到定义，秩为r，就说明至少存在一个
r阶子式不为0，所有r+1阶子式全为0
三、空间解析几何
1.易忽略的基础知识
点的坐标的实质：
过一个点向几个轴做垂面
空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接
交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投
影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，可以为负。
方向余弦：
与坐标轴正方向的夹角的余弦
投影：
外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积
外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量
混合积的记法，向量共面，混合积为0，abc，bc
a，cab这三种顺序结果都相同
2．平面的方程
点法式，一般式：
xyz谁系数为0，就与哪个轴平行，D=0平面过原点,如果平
面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴
截距式
xyz
++=1
abc
点法式和点向式化为截距式，算截距即可
三点式
一般不用
3.直线的方程点向式
m,n,p哪个为0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直（在与那个轴平行的平面上）。
直线的方向余弦就是方向向量的方向余弦。
参数式
用一个参数就可以确定x,y,z三个变量。
用在求直线与平面交点中比较简单,其中（m,n,p）就是方向向量！
还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线
x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
一般式
用两个平面相交的方程组表示
方程的转化
参数式=>点向式
t的系数就是方向向量，加的常数就是定点。
点向式=>一般式
目的是方便表示过这条直线的平面束。
三个等号，两两联立，
变成两个方程。
加括号变为方程组即可
参数式=>一般式
参数式先变为点向式，再变为一般式
点向式=>参数式
令三个比例=t
一般式=>点向式
方法1：
任取一满足方程的点，为定点。
平面法向量叉乘为
直线方向向量。
方法2：
任取两点，直接求方程
一般式=>参数式
方法1：
一般式先变为点向式，再变为参数式
方法2（较简单）：
对平面方程初等行变换，令自由变量=t
4.位置关系和向量关系的转化平面与平面的位置关系
ABC
1=1=1
平面与平面平行（包括重合）——A2B2C2
A1=B1
=C1=D1
如果重合，有：
A2
B2
C2
D2
平面与平面相交——
A:
B:
C1A
:
B:
C
1
11
2
22
平面与平面垂直——法向量垂直
平面与平面的夹角余弦（锐二面角）
——法向量余弦的绝对
值
平面束——过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不包括参数后面的平面本身）
点到平面的距离
d=
Ax0+By0+Cz0+D
A2+B2+C2
平面与直线的位置关系
直线与平面的夹角——直线平面法向量夹角余弦值的绝对值就是直线与平面夹角的正弦值
直线与平面相交，平行，过平面——直线的方向向量与平面法向量内积不为0相交，否则如果把直线经过的定点满足平面方程，则线面平行，否则直线过平面
直线与平面垂直——直线的方向向量与平面法向量平行
直线与直线的位置关系
两直线夹角——它们方向向量的夹角
两直线平行（包括重合）——方向向量平行。
如果不重合，则可在其中一条直线上任取两点，如果它们不都在或都不在另一条直线上，呢么两直线不重合两直线垂直——方向向量垂直
两直线相交——两直线共面，不平行
两直线间距离：
先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方向向量，然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向
向量上投影
两直线共面，异面——两个定点（x0,y0,z0）构成的一个向
量，两个方向向量。
这三个向量混合积为0，就共面反之异
面
点到直线的距离
M为线上一点M1为线上另一点，M0到直线的距离为：
想那个平行四边形
四、n维向量空间
预备知识：
AX=b的矩阵表示和向量表示
x1a1+x2a2+...+xnan=b
或者如下表示
定理
1.可由1，2，，m线性表示
向量方程x11x22xmm有解.
有一个解——唯一一种表示方法，有无数解——无数表示方
法
2.向量组等价——其中一个向量组的每一个向量都可以用另外一个向量组表示
等价具有自反性，传递性，对称性
3.线性相关与线性无关
1.包含0向量或相同向量的任意一个向量组线性相关
2．两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例
（R2，R3中共线）
R3中，三个向量组线性相关，则它们共面
3.1,2,⋯,n线性相关AX=0有非0解，当向量个数等
于向量维数时，det（A）=0
4.向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。
（相当于
未知量个数大于方程个数）
5.对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则局部无关
6.一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多的那个向量系数肯定不是0）
7.向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组）
8.再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变
9.设向量组可由向量组线性
表示，且线性无关，则（系数矩阵
K为s*r，必须让方程的个数多一些）
10．若向量组I可由向量组II线性表示则R（I）<=R（II），如果两个向量组等价，则它们的秩相等
11.方程AX=b有解，则R（A）=R（A）
11.几个关于秩的四个不等式
R（AB）<=min（R（A）,R（B））（和定理9的不等式有关）
若Am*nBn*t=O,则R（A）+R（B）<=n（和基础解系有关）
R（A+B）<=R（A）+R（B）（也和定理9的不等式有关）
R（ATA）=R（A）（方程的同解）
12.AX=O的解向量的线性组合仍为AX=O的解向量
方法
一、判断向量组线性相关性：
1.向量矩阵其次方程的解
2.至少有一个向量能用其他向量线性表示，则向量组线性相关，否则线性无关
二、判断向量组等价：
A=KB，同时B=K’A，K为线性表示的系数矩阵，如果K为方阵且唯一（线性表示法唯一），看K是否可逆即可
经典题：
1.向量组a1,a2,a3线性无关,问常数l,m满足什么条件时,向量组la1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关．
2.A为m*n矩阵，B为n*m矩阵，m>=n，试证det（AB）=0
设A是m′3矩阵,且R（A）=1.如果非齐次线性
2.方程组AX=b的三个解向量h1,h2,h3满足
1
0
122
231,31
3
1
，求AX=b
通解
1
0
1
三、向量组的最大无关组
通过初等变换就可以求出最大无关组
判断最大无关组向量组里的每一个向量均可由最大无关
组表出
五、特征值与特征向量
定理
1.如果ai是A在特征值l下的几个特征向量，那么ai的线
性组合也是A在特征值l下的一个特征向量.线性组合组成特
征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数k（多解）
2.三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素
3.l0是矩阵A的k重特征值，则l0对应的线性无关的特征向
量不超过k，特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之
差，为n-R（l0I-A）
4.如果a是A在特征值l下的特征向量，那么a是f（A）在特
征值f（l）下的特征向量
5.某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。
（给
特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题：
A可逆A的任何一个特征值不为0
6.相似矩阵具有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的
行列式、相同的迹（解决代参数的矩阵相似问题很快）、相同的秩。
7.A与B相似=>Am与Bm相似，多项式f（A）与f（B）相似
8.n阶矩阵A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量
不同特征值的特征向量线性无关，所有特征值的特征向量构
成一个向量组，它们线性无关
9.两两正交的非零向量组线性无关
10.A为正交矩阵
AAT=ATA=IA的行列向量组都是标
准正交向量组
11.实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交
应用这个定理，可以在已知其他两个特征值得特征向量的情
况下，求出第三个特征值对应的特征向量
方法：
1.证明某值（向量）是否为特征值（特征向量），可以带入等式Aa=la，也可以带入特征方程。
2.证明矩阵相似（充要）：
1.（具体证明）证明两矩阵特征多项式相同（两矩阵特征
值相同，说明他们相似于同一个对角阵，根据相似的传递性）
2.（抽象证明）找可逆的P，P-1AP=L
3.两个矩阵同时相似于第三个矩阵
3.向量的内积表示:
（a,b）=aTb=bTa
4.判断n阶方阵是否可以对角化：
有n个不同的特征值或n个线性无关的特征向量，则一定能对角化
k重特征值下有
k个特征向量，当然，只用验证
k>=2
的情
况，看矩阵
A-
l
I的秩是否等于
n-k
4.线性无关向量组的标准正交化
（a,b）
21
b2=a2-（b1,b1）b1
b3
=a3
（a
3
b1）
（a3
b2）
-
b1-
b2
（b1,b1）
（b2,b2）
⋯
再把b单位化
六、二次型
TX=CYT
T
二次型的合同变换：
f=XAX?
?
?
?
Y
（CAC）Y
方法
1.二次型化为标准型
配方法：
f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3-6x2x3
形如此类二次型
令x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3
正交变换法（实质是让中间的CTAC变成对角阵）：
配方法为什么一定是可退化？
因为方程可反解
合同变换法：
X=CY，因此特征值就是标准型的系数
2.正定矩阵判断（TAX>0）X
充要条件
1.A的特征值全部为正数
2.n元二次型的正惯性指数为n
3.A与I合同（有了标准型，化为规范性，正定，对角线都是正1）
4.A的各阶顺序主子式为正，即：
判断不正定：
矩阵A对角线上的数有一个不>0
3.探究曲面的形状
平行截割法、旋转法
柱面——少了一个变量，少哪个变量，母线就与哪个变量平行
4.求旋转曲面的方程
绕着哪个轴旋转，哪个变量不变，把另一个变量替换为不含
所绕轴的两个变量的平方和的平方根（小心正负）
一般地，求曲线在xoy坐标面上的投影柱面，消去z即可，如果让求投影线的方程，则加上z=0，其他做表面同理
5.判断二次曲面形状
f=ax12+bx22+cx32=1
1.若a,b,c均>0
a=b=c球面
有两个相等旋转椭球面
均不相等椭球面
2.一个为负，另外两个为正单叶双曲面
3.一个为正，另外两个为负双叶双曲面
4.只有一个为0，柱面
5.两个都为0，一对平行平面
此外，还有类似z=ax12+bx22。
它是抛物面。
a,b同号则为圆或椭圆抛物面，异号则为双曲抛物面
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