∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
答案：
（2，＋∞）
15．（2017·广东中山一中模拟）已知非空集合A，B满足下列四个条件：
①A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}；
②A∩B＝∅；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
（1）如果集合A中只有1个元素，那么A＝________；
（2）有序集合对（A，B）的个数是________．
解析：
（1）若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，6∉B，故A＝{6}．
（2）当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对（A，B）有1个；
当集合A中有2个元素时，5∉B,2∉A，此时有序集合对（A，B）有5个；
当集合A中有3个元素时，4∉B,3∉A，此时有序集合对（A，B）有10个；
当集合A中有4个元素时，3∉B,4∉A，此时有序集合对（A，B）有10个；
当集合A中有5个元素时，2∉B,5∉A，此时有序集合对（A，B）有5个；
当集合A中有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对（A，B）有1个．
综上可知，有序集合对（A，B）的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：
（1）{6}
（2）32
16．（2017·张掖模拟）下列说法中不正确的是________．（填序号）
①若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件；
②“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件；
③若命题p：
“∀x∈R，sinx＋cosx≤”，则p是真命题；
④命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”．
解析：
由＜1，得a＜0或a＞1，反之，由a＞1，得＜1，∴“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故①正确；
由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得p，q至少有一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；
∵sinx＋cosx＝sin≤，
∴命题p为真命题，③正确；
命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”，故④不正确．
答案：
②④
课时跟踪检测
（二）平面向量与复数
1．（2017·全国卷Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：
选C z＝i（－2＋i）＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于第三象限．
2．（2017·全国卷Ⅲ）设复数z满足（1＋i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A.B.C.D．2
解析：
选C 因为z＝＝＝i（1－i）＝1＋i，
所以|z|＝.
3．（2017·沈阳模拟）已知平面向量a＝（3,4），b＝，若a∥b，则实数x的值为（ ）
A．－B.C.D．－
解析：
选C ∵a∥b，∴3×＝4x，解得x＝.
4．（2018届高三·西安摸底）已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是（ ）
A.B.C.D.
解析：
选D 由|a＋b|＝|a－b|可得（a＋b）2＝（a－b）2，即a·b＝0，而a·（b－a）＝a·b－a2＝－|a|2＜0，即a与b－a的夹角为钝角，结合选项知选D.
5．（2017·湘中模拟）已知向量a＝（x，），b＝（x，－），若（2a＋b）⊥b，则|a|＝（ ）
A．1B.C.D．2
解析：
选D 因为（2a＋b）⊥b，所以（2a＋b）·b＝0，即（3x，）·（x，－）＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝（±1，），|a|＝＝2.
6．（2017·广西五校联考）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（ ）
A．＝－B．＝－
C．＝－D．＝－
解析：
选A ＝＋＝－＝－－＝－.
7．（2018届高三·云南调研）在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝（ ）
A．48B．36C．24D．12
解析：
选C ·＝（＋）·（＋）＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
8．（2018届高三·广西五校联考）已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（ ）
A．1B．0C．iD．1－i
解析：
选C 因为z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，
所以得a＝1，
则有＝＝＝i.
9．已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1），D（3,4），则向量在方向上的投影是（ ）
A．－3B．－C．3D.
解析：
选A 依题意得，＝（－2，－1），＝（5,5），·＝（－2，－1）·（5,5）＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3.
10．（2018届高三·湖南五校联考）△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
解析：
选C 法一：
设向量a，b的夹角为θ，＝－＝2a＋b－2a＝b，∴||＝|b|＝2，||＝2|a|＝2，
∴|a|＝1，2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，θ＝120°.
法二：
＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.
11．（2017·长春模拟）在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝（ ）
A.B.C.D.
解析：
选B 如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.
12．（2017·全国卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为（ ）
A．3B．2C.D．2
解析：
选A
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0,0），B（1,0），C（1,2），D（0,2），可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：
（x－1）2＋（y－2）2＝.
因为P在圆C上，所以P.
又＝（1,0），＝（0,2），＝λ＋μ＝（λ，2μ），
所以
λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3（其中tanφ＝2），当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
13．（2017·成都模拟）若复数z＝（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为－1，则a＝________.
解析：
因为z＝＝＝＋i的虚部为－1，所以＝－1，解得a＝－2.
答案：
－2
14．（2017·兰州诊断）已知向量＝（3,1），＝（－1,3），＝m－n（m＞0，n＞0），若m＋n＝1，则||的最小值为________．
解析：
由＝（3,1），＝（－1,3），得＝m－n＝（3m＋n，m－3n），因为m＋n＝1（m＞0，n＞0），所以n＝1－m且0＜m＜1，所以＝（1＋2m,4m－3），则||＝＝＝（0＜m＜1），所以当m＝时，||min＝.
答案：
15．（2018届高三·石家庄调研）非零向量m，n的夹角为，且满足|n|＝λ|m|（λ＞0），向量组x1，x2，x3由一个m和两个n排列而成，向量组y1，y2，y3由两个m和一个n排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3所有可能值中的最小值为4m2，则λ＝________.
解析：
由题意：
x1·y1＋x2·y2＋x3·y3的运算结果有以下两种可能：
①m2＋m·n＋n2＝m2＋λ|m||m|cos＋λ2m2＝m2；②m·n＋m·n＋m·n＝3λ|m||m|cos＝m2.又λ2＋＋1－＝λ2－λ＋1＝2＋＞0，所以m2＝4m2，即＝4，解得λ＝.
答案：
16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从点D出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到点C，在此过程中·的取值范围为________．
解析：
以BC，BA所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A（0,1），B（0,0），C（1,0），D（1,1）．
当E在DA上时，设E（x,1），其中0≤x≤1，
∵＝（x－1,0），＝（0,1），
∴·＝0；
当E在AB上时，设E（0，y），
其中0≤y≤1，
∵＝（－1，y－1），＝（0,1），
∴·＝y－1（0≤y≤1），此时·的取值范围为[－1,0]；
当E在BC上时，设E（x,0），其中0≤x≤1，
∵＝（x－1，－1），＝（0,1），
∴·＝－1.
综上所述，·的取值范围为[－1,0]．
答案：
[－1,0]
课时跟踪检测（三）不等式
1．（2018届高三·湖南四校联考）已知不等式mx2＋nx－＜0的解集为，则m－n＝（ ）
A. B．－
C.D．－1
解析：
选B 由题意得，x＝－和x＝2是方程mx2＋nx－＝0的两根，所以－＋2＝－且－×2＝－（m＜0），解得m＝－1，n＝，所以m－n＝－.
2．已知直线ax＋by＝1经过点（1,2），则2a＋4b的最小值为（ ）
A.B．2
C．4D．4
解析：
选B ∵直线ax＋by＝1经过点（1,2），∴a＋2b＝1，则2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝，b＝时取等号．
3．（2017·兰州模拟）设变量x，y满足不等式组则目标函数z＝2x＋3y的最小值是（ ）
A．5B．7
C．8D．23
解析：
选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋3y＝0，对该直线进行平移，可以发现经过的交点A（2,1）时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值7.
4．（2017·贵阳一模）已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（ ）
A．3B．4
C.D.
解析：
选B 由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得（x＋2y）2＋4（x＋2y）－32≥0，即（x＋2y－4）（x＋2y＋8）≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，即x＋2y的最小值为4.
5．（2017·云南模拟）已知函数f（x）＝则不等式f（x－1）≤0的解集为（ ）
A．{x|0≤x≤2}B．{x|0≤x≤3}
C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}
解析：
选D 由题意，得f（x－1）＝
当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；
当x＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.
综上所述，不等式f（x－1）≤0的解集为{x|1≤x≤3}．
6．（2017·武汉调研）设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（ ）
A．－5B．3
C．－5或3D．5或－3
解析：
选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示．
可知可行域为开口向上的V字型．在顶点A处z有最小值，联立方程得
即A，则＋a×＝7，
解得a＝3或a＝－5.
当a＝－5时，如图②，
虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．
7．（2017·合肥二模）若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－∞，1）B．（－∞，1]
C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）
解析：
选A 法一：
因为x∈[1,4]，则不等式x2＋ax－2＜0可化为a＜＝－x，设f（x）＝－x，x∈[1,4]，由题意得只需a＜f（x）max，因为函数f（x）为区间[1,4]上的减函数，所以f（x）max＝f
（1）＝1，故a＜1.
法二：
设g（x）＝x2＋ax－2，函数g（x）的图象是开口向上的抛物线，过定点（0，－2），因为g（x）＜0在区间[1,4]上有解，所以g
（1）＜0，解得a＜1.
8．（2017·太原一模）已知实数x，y满足条件则z＝x2＋y2的取值范围为（ ）
A．[1,13]B．[1,4]
C.D.
解析：
选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：
2x－y＋2＝0的距离的平方，所以zmin＝2＝，最大值为点O与点A（－2,3）的距离的平方，所以zmax＝|OA|2＝13，故选C.
9．（2017·衡水二模）若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1＋x2＋的最小值是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C ∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴Δ＝16a2－12a2＝4a2＞0，
又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，
∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．
∴x1＋x2＋的最小值是.
10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：
亩）分别为（ ）
A．50,0B．30,20
C．20,30D．0,50
解析：
选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A（30,20）．
故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．
11．已知点M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝，若△MBC，
△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（ ）
A．16B．18
C．20D．27
解析：
选D 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
∵·＝2，∠BAC＝，
∴||·||cos＝2，∴bc＝4，
∴S△ABC＝bcsin＝bc＝1.
∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，
∴＋x＋y＝1，即x＋y＝，
∴＝＋＝3（x＋y）
＝3≥3＝27，
当且仅当y＝2x＝时取等号，
故的最小值为27.
12．（2017·安徽二校联考）当x，y满足不等式组时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[－1,1]B．[－2,0]
C.D.
解析：
选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z＝kx－y，
由
得即B（－2,2）；
由得即C（2,0）；
由得即A（－5，－1）．
要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，
则即
所以－≤k≤0.
13．（2018届高三·池州摸底）已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
解析：
令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.
答案：
3
14．（2017·石家庄模拟）若x，y满足约束条件则z＝的最小值为________．
解析：
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P（－3,2）连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0（舍去），所以zmin＝－.
答案：
－
15．（2017·成都二诊）若关于x的不等式ax2－|x|＋2a＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：
ax2－|x|＋2a＜0⇒a＜，当x≠0时，≤＝（当且仅当x＝±时取等号），当x＝0时，＝
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