∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴AB,∴m+1>3,即m>2.
答案:
(2,+∞)
15.(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A,B满足下列四个条件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6,7};
②A∩B=∅;
③A中的元素个数不是A中的元素;
④B中的元素个数不是B中的元素.
(1)如果集合A中只有1个元素,那么A=________;
(2)有序集合对(A,B)的个数是________.
解析:
(1)若集合A中只有1个元素,则集合B中有6个元素,6∉B,故A={6}.
(2)当集合A中有1个元素时,A={6},B={1,2,3,4,5,7},此时有序集合对(A,B)有1个;
当集合A中有2个元素时,5∉B,2∉A,此时有序集合对(A,B)有5个;
当集合A中有3个元素时,4∉B,3∉A,此时有序集合对(A,B)有10个;
当集合A中有4个元素时,3∉B,4∉A,此时有序集合对(A,B)有10个;
当集合A中有5个元素时,2∉B,5∉A,此时有序集合对(A,B)有5个;
当集合A中有6个元素时,A={1,2,3,4,5,7},B={6},此时有序集合对(A,B)有1个.
综上可知,有序集合对(A,B)的个数是1+5+10+10+5+1=32.
答案:
(1){6}
(2)32
16.(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________.(填序号)
①若a∈R,则“<1”是“a>1”的必要不充分条件;
②“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件;
③若命题p:
“∀x∈R,sinx+cosx≤”,则p是真命题;
④命题“∃x0∈R,x+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”.
解析:
由<1,得a<0或a>1,反之,由a>1,得<1,∴“<1”是“a>1”的必要不充分条件,故①正确;
由p∧q为真命题,知p,q均为真命题,所以p∨q为真命题,反之,由p∨q为真命题,得p,q至少有一个为真命题,所以p∧q不一定为真命题,所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件,故②不正确;
∵sinx+cosx=sin≤,
∴命题p为真命题,③正确;
命题“∃x0∈R,x+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”,故④不正确.
答案:
②④
课时跟踪检测
(二)平面向量与复数
1.(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:
选C z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,故复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第三象限.
2.(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
A.B.C.D.2
解析:
选C 因为z===i(1-i)=1+i,
所以|z|=.
3.(2017·沈阳模拟)已知平面向量a=(3,4),b=,若a∥b,则实数x的值为( )
A.-B.C.D.-
解析:
选C ∵a∥b,∴3×=4x,解得x=.
4.(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b-a的夹角是( )
A.B.C.D.
解析:
选D 由|a+b|=|a-b|可得(a+b)2=(a-b)2,即a·b=0,而a·(b-a)=a·b-a2=-|a|2<0,即a与b-a的夹角为钝角,结合选项知选D.
5.(2017·湘中模拟)已知向量a=(x,),b=(x,-),若(2a+b)⊥b,则|a|=( )
A.1B.C.D.2
解析:
选D 因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,即(3x,)·(x,-)=3x2-3=0,解得x=±1,所以a=(±1,),|a|==2.
6.(2017·广西五校联考)设D是△ABC所在平面内一点,=2,则( )
A.=-B.=-
C.=-D.=-
解析:
选A =+=-=--=-.
7.(2018届高三·云南调研)在▱ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·=( )
A.48B.36C.24D.12
解析:
选C ·=(+)·(+)=·=2-2=×82-×62=24.
8.(2018届高三·广西五校联考)已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则=( )
A.1B.0C.iD.1-i
解析:
选C 因为z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,
所以得a=1,
则有===i.
9.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是( )
A.-3B.-C.3D.
解析:
选A 依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3.
10.(2018届高三·湖南五校联考)△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析:
选C 法一:
设向量a,b的夹角为θ,=-=2a+b-2a=b,∴||=|b|=2,||=2|a|=2,
∴|a|=1,2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=8+8cosθ=4,∴cosθ=-,θ=120°.
法二:
=-=2a+b-2a=b,则向量a,b的夹角为向量与的夹角,故向量a,b的夹角为120°.
11.(2017·长春模拟)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=( )
A.B.C.D.
解析:
选B 如图,由已知得,点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC,S△BCD=S△ABC=S△ABC,所以=.
12.(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.3B.2C.D.2
解析:
选A
以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为=,所以圆C:
(x-1)2+(y-2)2=.
因为P在圆C上,所以P.
又=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ),
所以
λ+μ=2+cosθ+sinθ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tanφ=2),当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
13.(2017·成都模拟)若复数z=(其中a∈R,i为虚数单位)的虚部为-1,则a=________.
解析:
因为z===+i的虚部为-1,所以=-1,解得a=-2.
答案:
-2
14.(2017·兰州诊断)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n=1,则||的最小值为________.
解析:
由=(3,1),=(-1,3),得=m-n=(3m+n,m-3n),因为m+n=1(m>0,n>0),所以n=1-m且0<m<1,所以=(1+2m,4m-3),则||===(0<m<1),所以当m=时,||min=.
答案:
15.(2018届高三·石家庄调研)非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3所有可能值中的最小值为4m2,则λ=________.
解析:
由题意:
x1·y1+x2·y2+x3·y3的运算结果有以下两种可能:
①m2+m·n+n2=m2+λ|m||m|cos+λ2m2=m2;②m·n+m·n+m·n=3λ|m||m|cos=m2.又λ2++1-=λ2-λ+1=2+>0,所以m2=4m2,即=4,解得λ=.
答案:
16.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,点E从点D出发,按字母顺序D→A→B→C沿线段DA,AB,BC运动到点C,在此过程中·的取值范围为________.
解析:
以BC,BA所在的直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系如图所示,可得A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).
当E在DA上时,设E(x,1),其中0≤x≤1,
∵=(x-1,0),=(0,1),
∴·=0;
当E在AB上时,设E(0,y),
其中0≤y≤1,
∵=(-1,y-1),=(0,1),
∴·=y-1(0≤y≤1),此时·的取值范围为[-1,0];
当E在BC上时,设E(x,0),其中0≤x≤1,
∵=(x-1,-1),=(0,1),
∴·=-1.
综上所述,·的取值范围为[-1,0].
答案:
[-1,0]
课时跟踪检测(三)不等式
1.(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx2+nx-<0的解集为,则m-n=( )
A. B.-
C.D.-1
解析:
选B 由题意得,x=-和x=2是方程mx2+nx-=0的两根,所以-+2=-且-×2=-(m<0),解得m=-1,n=,所以m-n=-.
2.已知直线ax+by=1经过点(1,2),则2a+4b的最小值为( )
A.B.2
C.4D.4
解析:
选B ∵直线ax+by=1经过点(1,2),∴a+2b=1,则2a+4b≥2=2=2,当且仅当2a=22b,即a=,b=时取等号.
3.(2017·兰州模拟)设变量x,y满足不等式组则目标函数z=2x+3y的最小值是( )
A.5B.7
C.8D.23
解析:
选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线2x+3y=0,对该直线进行平移,可以发现经过的交点A(2,1)时,目标函数z=2x+3y取得最小值7.
4.(2017·贵阳一模)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )
A.3B.4
C.D.
解析:
选B 由题意得x+2y=8-x·2y≥8-2,当且仅当x=2y时,等号成立,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4,即x+2y的最小值为4.
5.(2017·云南模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x-1)≤0的解集为( )
A.{x|0≤x≤2}B.{x|0≤x≤3}
C.{x|1≤x≤2}D.{x|1≤x≤3}
解析:
选D 由题意,得f(x-1)=
当x≥2时,由2x-2-2≤0,解得2≤x≤3;
当x<2时,由22-x-2≤0,解得1≤x<2.
综上所述,不等式f(x-1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}.
6.(2017·武汉调研)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )
A.-5B.3
C.-5或3D.5或-3
解析:
选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示.
可知可行域为开口向上的V字型.在顶点A处z有最小值,联立方程得
即A,则+a×=7,
解得a=3或a=-5.
当a=-5时,如图②,
虚线向上移动时z减小,故z→-∞,没有最小值,故只有a=3满足题意.
7.(2017·合肥二模)若关于x的不等式x2+ax-2<0在区间[1,4]上有解,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
解析:
选A 法一:
因为x∈[1,4],则不等式x2+ax-2<0可化为a<=-x,设f(x)=-x,x∈[1,4],由题意得只需a<f(x)max,因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数,所以f(x)max=f
(1)=1,故a<1.
法二:
设g(x)=x2+ax-2,函数g(x)的图象是开口向上的抛物线,过定点(0,-2),因为g(x)<0在区间[1,4]上有解,所以g
(1)<0,解得a<1.
8.(2017·太原一模)已知实数x,y满足条件则z=x2+y2的取值范围为( )
A.[1,13]B.[1,4]
C.D.
解析:
选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由此得z=x2+y2的最小值为点O到直线BC:
2x-y+2=0的距离的平方,所以zmin=2=,最大值为点O与点A(-2,3)的距离的平方,所以zmax=|OA|2=13,故选C.
9.(2017·衡水二模)若关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最小值是( )
A.B.
C.D.
解析:
选C ∵关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),∴Δ=16a2-12a2=4a2>0,
又x1+x2=4a,x1x2=3a2,
∴x1+x2+=4a+=4a+≥2=,当且仅当a=时取等号.
∴x1+x2+的最小值是.
10.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( )
A.50,0B.30,20
C.20,30D.0,50
解析:
选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时x,y满足条件
画出可行域如图,得最优解为A(30,20).
故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时,种植总利润最大.
11.已知点M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=,若△MBC,
△MCA,△MAB的面积分别为,x,y,则的最小值为( )
A.16B.18
C.20D.27
解析:
选D 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
∵·=2,∠BAC=,
∴||·||cos=2,∴bc=4,
∴S△ABC=bcsin=bc=1.
∵△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为,x,y,
∴+x+y=1,即x+y=,
∴=+=3(x+y)
=3≥3=27,
当且仅当y=2x=时取等号,
故的最小值为27.
12.(2017·安徽二校联考)当x,y满足不等式组时,-2≤kx-y≤2恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.[-1,1]B.[-2,0]
C.D.
解析:
选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设z=kx-y,
由
得即B(-2,2);
由得即C(2,0);
由得即A(-5,-1).
要使不等式-2≤kx-y≤2恒成立,
则即
所以-≤k≤0.
13.(2018届高三·池州摸底)已知a>b>1,且2logab+3logba=7,则a+的最小值为________.
解析:
令logab=t,由a>b>1得0<t<1,2logab+3logba=2t+=7,得t=,即logab=,a=b2,所以a+=a-1++1≥2+1=3,当且仅当a=2时取等号.故a+的最小值为3.
答案:
3
14.(2017·石家庄模拟)若x,y满足约束条件则z=的最小值为________.
解析:
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为目标函数z=表示区域内的点与点P(-3,2)连线的斜率.由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,则有=2,解得k=-或k=0(舍去),所以zmin=-.
答案:
-
15.(2017·成都二诊)若关于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集为空集,则实数a的取值范围为________.
解析:
ax2-|x|+2a<0⇒a<,当x≠0时,≤=(当且仅当x=±时取等号),当x=0时,=