补充线性规划问题练习题解答要点.docx
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补充线性规划问题练习题解答要点
补充线性规划问题习题及解答
1．某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成下列订货任务：
24cm宽的75卷，40cm宽的50卷和32cm宽的110卷，长度是一样的，试将这个要解决的切割方案问题列成线性规划模型，使切余的边料最少。
答：
有下面八种切法
一
二
三
四
五
六
七
八
需要
数量
（卷）
24cm
40cm
32cm
4
0
0
0
2
0
0
0
3
1
1
1
1
0
2
2
1
0
2
0
1
0
1
1
75
50
110
余料
4
20
4
4
12
12
20
28
设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8分别表示八种下料方案切割的铜卷数，求解x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8使满足条件：
并使余料总数：
Z=4x1+20x2+4x3+4x4+12x5+12x6+20x7+28x8取得最小值。
近似最优解x1=25/4,x3=20,x4=50其他为0，最优值z*=305。
（不是整数解）
2．某养鸡场养鸡10000只，用大豆和谷物饲料混合喂养，每天每只平均吃混合饲料0.5kg，其中应至少含有0.1kg蛋白质和0.002kg钙。
已知大豆中含50%蛋白质和0.5%的钙，价格是1.00元/kg，谷物中含有10%的蛋白质和0.4%的钙，价格是0.30元/kg，粮食部门每周只保证供应谷物饲料25000kg，大豆供应量不限，问应如何搭配两种饲料，才能使喂养成本最低，建立该问题的数学模型。
解：
设每周用大豆x1公斤，谷物x2公斤,数学模型为
图解最优解x1=9333.33,x2=23333.33,最小值z*=16333.33。
3．一家昼夜服务的饭店，24小时内需要服务员的人数如下
每个服务员每天连续工作8小时，且在表中时段开始上班，试求要求满足以上要求的最少上班人数，建立该问题的数学模型。
解：
设在j钟点上班的人数为xj（j=1,2,…,6），上班之后连续工作8小时，下班离开，每班中间不允许交接班离开。
故有
4人
8人
10人
7人
12人
4人
2~6时x1
6~10时x2
10~14时x3
14~18时x4
18~22时x5
22~2时x6
据题意有
2~6时x1+x6≥4
6~10时x1+x2+≥8
10~14时x2+x3≥10
14~18时x3+x4≥7
18~22时x4+x5≥12
22~2时x5+x6≥4
minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6
最优解x1=4,x2=10,x4=8,x5=4,其他xj=0,最优值minz=26（人）
4．设有四个投资机会：
甲：
在三年内，投资人应在每年年初投资，每年每元可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息。
乙：
在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元可获得利息0.5元，两年后取息，可重新将本息投入生息。
丙：
在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获得利息0.6元，这种投资最多不得超过15000元。
丁：
投资人应在第三年年初投资，一年内每元投资可获利息0.4元，这种投资不得超过10000元。
假定在这三年为期的投资中，开始时有30000元可供投资，投资人应怎样决定投资，才能在第三年底获得最高的收益，试建立其数学模型。
解：
设xij为第i年初投放到j项目的资金数，其数学模型为：
maxz=1.2x31+1.6x23+1.4x34
x11+x12≤30000
x21+x23≤1.2x11
x31+x34≤1.2x21+1.5x12
x23≤15000
x34≤10000
xij≥0,（i=1,2,3,j=1,2,3,4）
最优解x11=12500,x12=17500,x23=15000,x31=16250,x34=10000,其他为0；最优值z*=57500
5．某一求目标函数最大值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到的某一步的单纯形表如下：
问a1，a2，a3，c，d各为何值及变量xj属于那一类性质的变量时：
（1）现有解为唯一最优解。
（2）现有解为最优，但最优解有无穷多个。
（3）存在可行解，但目标函数无界。
（4）此问题无可行解。
答：
1.c＜0,d≥0,x3,x4,x5都不是人工变量；
2.c=0,d≥0,a1，a2至少一个大于零，x3,x4,x5都不是人工变量；
3.c＞0,d≥0,a1≤0，a2≤0，x3,x4,x5都不是人工变量；
4.c≤0,d＞0且x3,x4,x5至少一个是人工变量。
6.某线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表格如下：
求a，b，…，k，l各个值。
答：
a=3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,
g=1,h=0,i=5,j=5,k=-3/2,l=0
7.写出下列线性规划问题的对偶问题：
（1）
答:
（2）
答:
8．用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:
（1）
解:
化成标准形式，列对偶单纯形表
cj
-1-100
b
CB
XB
x1x2x3x4
0
0
x3
x4
-2-110
-1-701
-4
-7
λj=cj-zj
-1-100
0
采用对偶单纯形迭代规则得最优表：
-1
-1
x1
x2
107/131/13
011/13-2/13
21/13
10/13
λj=cj-zj
00-6/13-1/13
31/13
最优解X=（21/13,10/13,0,0）,最优值minZ=31/13（maxZ’=-31/13）。
（2）
解:
化成标准形式，列对偶单纯形表
cj
-4-12-1800
b
CB
XB
x1x2x3x4x5
0
0
X4
X5
-10-310
0（-2）-201
-3
-5
λj=cj-zj
-4-12-1800
0
-12
X4
X2
-10（-3）10
0110-1/2
-3
5/2
λj=cj-zj
-40-60-6
-18
-12
X3
X2
1/301-1/30
1/3100-1/2
1
3/2
λj=cj-zj
-200-2-6
最优解X=（0,3/2,1,0,0）,
最优值minZ=36（maxZ’=0-（3/2）×12-1×18=-36）。
9．设
（1）写出其对偶问题。
（2）求解对偶问题。
（3）从对偶解中求出原问题的解。
答：
（1）对偶模型
（2）求解对偶问题，图解法。
得Y=（-3,1）,w*=-15。
（3）利用互补松弛性求原问题解，由y1,y2异于0，知原约束均为等式；又由对偶约束1，2，4式为严格不等式，故可得x1,x2,x4等于0。
代入原约束方程组，解得x3=3，x5=3,即X*=（0,0,3,0,3）T,最优值z*=-1×3-4×3=-15=w*。
10．从下面最优单纯形表中（最大化问题，约束条件均为“
”连接）
Z=-5
（1）写出原问题与对偶问题的最优解。
（2）求
，
，并解释这两个数值的含义。
（3）如果以代价
增添第一种资源一个单位，是否值得？
（4）若有人原向你购买第三种资源，应要价多少才合算？
（5）是否有其它最优解，如果没有，说明为什么？
如果有，则求出另一个最优解。
解：
（1）原问题最优解X*=（2,0,3/2,0,1,0）T,对偶问题最优解Y*=（4,0,9,0,0,0）。
（2）在最优表上可以得到最优基的逆B-1,
根据最优表上Pj’=B-1Pj,可解得Pj=BPj’,从而得A,
对偶解---单纯形因子
再由检验数,可得
解得C=（1,1,2,0,0,0），最优值z*=1×2+0+2×（3/2）=5。
在最优方案时，有
因为b1影子价格大于0,是稀缺资源，故在一定范围内每增加一个单位该种资源就会增加4个单位总收入（影子价格或边际收入为4）。
对
，x6表示第三种资源剩余数量，该偏导数值表示资源剩余量对总收入的影响率。
在初始方案时其值为0，在最佳方案时其值为-9，从另外角度说明引入该资源有利于减少短缺造成的损失或增加收入（影子价格为9）。
（3）如果以代价
增添第一种资源一个单位,会增加4个单位总收入，值得。
（4）若有人愿向你购买第三种资源，要价不低于其影子价格9才合算。
（5）在最优表上,非基变量x2的检验数为0，故最优解不唯一。
令x2进基，x1出基，换基迭代得新最优解X*=（0,2,3/2,0,5）T,最优值z*=0+1×2+2（3/2）=5。
11．设
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列各条件单独变化的情况下最优解的变化。
（1）约束条件
（2）右端常数由90变为70。
（2）目标函数中x3的系数由13变为8。
（3）增加一个约束条件：
解:
先用单纯形法求出最优解
MAX:
-5X1+5X2+13X3
ST:
1]-1X1+1X2+3X3+1X4=20
2]12X1+4X2+10X3+1X5=90
得到了第一个可行基
用最大检验数法
----------------------------------------------------------
IBAC-551300
bX1X2X3X4X5
----------------------------------------------------------
1X2520-11310
2X5010160-2-41
----------------------------------------------------------
Cj-Zj-10000-2-50
迭代次数=2
最优解
MAXZ=100
变量名取值检验数
X100.000000
X220
X30-2.000000
X40-5.000000
X510
约束标号对偶价格
（1）5.000000
（2）0.000000
在最优基不变的条件下,变量在目标函数中的系数的取值区间
变量名现系数系数取值区间
X1-5.0000（-?
-5.0000）
X25.0000（4.3333,5.0000）
X313.0000（-?
15.0000）
X40.0000（-?
5.0000）
X50.0000（0.0000,1.0000）
在最优基不变的条件下,右端常数项的取值区间
约束序号现常数常数取值区间
（1）20.0000（0.0000,22.5000）
（2）90.0000（80.0000,?
）
-------------------------------------------------------
（1）约束条件
（2）右端常数由90变为70,不影响最优基,只须验证可行性。
由最优表找到最优基的逆
x5不可行,采用对偶单纯形迭代，x5出基，x3进基，
--------------------------------------------------------
IBAC-551300
bX1X2X3X4X5
-------------------------------------------------------
1X3135-8012-1/2
2X2552310-53/2
-------------------------------------------------------
Cj-Zj-90-1600-1-1
--------------------------------------------------------
最优解
变量名取值检验数
X10-16.000000
X25
X35
X40-1.000000
X50-1.000000
MAXZ=90
（2）目标函数中非基变量x3的系数c3由13变为8。
检查检验数λ3=c3-CBB-1P3=8-（5,0）（3,10）T=8-15=-7<0,最优解，最优值不变。
（3）增加一个约束条件：
引进松弛变量x6作为一个基变量，在最优表添加一行，迭代出单位矩阵和检验数形式，判断是否最优解。
--------------------------------------------------------------
IBAC-5513000
bX1X2X3X4X5X6
--------------------------------------------------------------
1X2520-113100
2X5010160-2-410
3X6050235001
--------------------------------------------------------------
Cj-Zj-10000-2-500
--------------------------------------------------------------
IBAC-5513000
bX1X2X3X4X5X6
--------------------------------------------------------------
1X2520-113100
2X5010160-2-410
3X60-1050（-4）-301
--------------------------------------------------------------
Cj-Zj-10000-2-500
采用对偶单纯形迭代，x6出基，x3进基，
--------------------------------------------------------------
IBAC-5513000
bX1X2X3X4X5X6
--------------------------------------------------------------
1X2525/211/410-5/403/4
2X501527/200-5/21-1/2
3X3135/2-5/4013/40-1/4
--------------------------------------------------------------
Cj-Zj-95-5/200-7/20-1/2
最优解
MAXZ=95
变量名取值检验数
X10-2.500000
X225/2
X35/2
X40-3.500000
X515
X60-0.500000
约束标号对偶价格
（1）3.500000
（2）0.000000
（3）0.500000
在最优基不变的条件下,变量在目标函数中的系数的取值区间
变量名现系数系数取值区间
X1-5.0000（-?
-2.5000）
X25.0000（4.3333,7.8000）
X313.0000（8.3333,15.0000）
X40.0000（-?
3.5000）
X50.0000（-0.1852,1.0000）
X60.0000（-?
0.5000）
在最优基不变的条件下,右端常数项的取值区间
约束序号现常数常数取值区间
（1）20.0000（16.6667,26.0000）
（2）90.0000（75.0000,?
）
（3）50.0000（33.3333,60.0000）
12．设
（1）求在不影响最优基的条件下各个cj的允许变化的范围。
（2）求在不影响最优基的条件下各个bi的允许变化的范围。
解：
列单纯形表求解得最优表，利用最优基不变时求解各系数区间
MAX:
2X1+5X2+8X3
ST:
1]3X1+2X2-1X3+1X4=610
2]-1X1+6X2+3X3+1X5=125
3]-1X1+1X2+1/2X3+1X6=420
MAX:
2X1+5X2+8X3
ST:
1]3X1+2X2-1X3+1X4=610
2]-1X1+6X2+3X3+1X5=125
3]-1X1+1X2+1/2X3+1X6=420
得到了第一个可行基
用最大检验数法
---------------------------------------------------------
IBAC258000
bX1X2X3X4X5X6
-----------------------------------------------------------
1X4061032-1100
2X50125-163010125/3
3X60420-111/2001840
-----------------------------------------------------------
Cj-Zj0258000
-----------------------------------------------------------
旋转元是A[2][3]
用最大检验数法
-------------------------------------------------------------------
IBAC258000
bX1X2X3X4X5X6
-------------------------------------------------------------------
1X401955/38/34011/301955/8
2X38125/3-1/32101/30
3X602395/6-5/6000-1/61
--------------------------------------------------------------------
Cj-Zj-1000/314/3-1100-8/30
--------------------------------------------------------------------
旋转元是A[1][1]
用最大检验数法
-------------------------------------------------------------------
IBAC258000
bX1X2X3X4X5X6
-------------------------------------------------------------------
1X121955/813/203/81/80
2X38985/805/211/83/80
3X609645/1605/405/16-1/161
--------------------------------------------------------------------
Cj-Zj-5895/40-180-7/4-13/40
--------------------------------------------------------------------
迭代次数=2
最优解
MAXZ=5895/4=14733/4=1473.750000
变量名取值检验数
X11955/8=2443/8=244.375000
X20-18.000000
X3985/8=1231/8=123.125000
X40-1.750000
X50-3.250000
X69645/16=60213/16=602.812500
约束标号对偶价格
（1）1.750000
（2）3.250000
（3）0.000000
（1）在不影响最优基的条件下各个cj的允许变化的范围
在最优基不变的条件下,变量在目标函数中的系数的取值区间
变量名现系数系数取值区间
X12.0000（-2.6667,?
）
X25.0000（-?
23.0000）
X38.0000（0.8000,?
）
X40.0000（-?
1.7500）
X50.0000（-?
3.2500）
X60.0000（-5.6000,52.0000）
（2）在不影响最优基的条件下各个bi的允许变化的范围B-1b’≥0
在最优基不变的条件下,右端常数项的取值区间
约束序号现常数常数取值区间
（1）610.0000（-41.6667,?
）
（2）125.0000（-203.
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