c语言编程求一元线性回归.docx
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c语言编程求一元线性回归
回归分析
一、实验目的
回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用。
通过本次实验要求掌握一元线性回归和一元非线性回归。
二、实验原理
回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法。
即用应用数学的方法，对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。
1、一元线形回归方程
a、回归方程的求法
其中
，
b、回归方程的稳定性
回归方程的稳定性是指回归值
的波动大小。
波动愈小，回归方程的稳定性愈好。
2、回归方程的方差分析及显著性检验
（1）回归问题的方差分析
观测值
之间的差异，是由两个方面原因引起的：
①自变量x取值的不同；②其他因素（包括试验误差）的影响。
N个观测值之间的变差，可用观测值y与其算术平均值
的离差平方和来表示，称为总的离差平方和。
记作
称为回归平方和，它反映了在y总的变差中由于x和y的线性关系而引起变化的部分。
成为残余平方和，既所有观测点距回归直线的残余误差平方和。
它是除了x对y的线性影响之外的一切因素对y的变差作用。
（2）回归方程显著性检验
回归方程显著性检验通常采用F检验法。
1、重复实验的情况
为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做重复实验，从而获得误差平方和和失拟平方和，用误差平方和对失拟平方和进行F检验，就可以确定回归方程拟合得好坏。
三、实验内容
编程实现要求。
void FreeData（double **dat, double *d, int count）
{
int i, j;
free（d）;
for （i = 0; i < count; i ++）
free（dat[i]）;
free（dat）;
}
// 解线性方程。
data[count*（count+1）]矩阵数组；count：
方程元数；
// Answer[count]：
求解数组 。
返回：
0求解成功，-1无解或者无穷解
int LinearEquations（double *data, int count, double *Answer）
{
int j, m, n;
double tmp, **dat, *d = data;
dat = （double**）malloc（count * sizeof（double*））;
for （m = 0; m < count; m ++, d += （count + 1））
{
dat[m] = （double*）malloc（（count + 1） * sizeof（double））;
memcpy（dat[m], d, （count + 1） * sizeof（double））;
}
d = （double*）malloc（（count + 1） * sizeof（double））;
for （m = 0; m < count - 1; m ++）
{
// 如果主对角线元素为0，行交换
for （n = m + 1; n < count && dat[m][m] == 0.0; n ++）
{
if （ dat[n][m] !
= 0.0）
{
memcpy（d, dat[m], （count + 1） * sizeof（double））;
memcpy（dat[m], dat[n], （count + 1） * sizeof（double））;
memcpy（dat[n], d, （count + 1） * sizeof（double））;
}
}
// 行交换后，主对角线元素仍然为0，无解，返回-1
if （dat[m][m] == 0.0）
{
FreeData（dat, d, count）;
return -1;
}
// 消元
for （n = m + 1; n < count; n ++）
{
tmp = dat[n][m] / dat[m][m];
for （j = m; j <= count; j ++）
dat[n][j] -= tmp * dat[m][j];
}
}
for （j = 0; j < count; j ++）
d[j] = 0.0;
// 求得count - 1的元
Answer[count - 1] = dat[count - 1][count] / dat[count - 1][count - 1];
// 逐行代入求各元
for （m = count - 2; m >= 0; m --）
{
for （j = count - 1; j > m; j --）
d[m] += Answer[j] * dat[m][j];
Answer[m] = （dat[m][count] - d[m]） / dat[m][m];
}
FreeData（dat, d, count）;
return 0;
}
// 求多元回归方程：
Y = B0 + B1X1 + B2X2 + ...BnXn
// data[rows*cols]二维数组；X1i,X2i,...Xni,Yi （i=0 to rows-1）
// rows：
数据行数；cols数据列数；Answer[cols]：
返回回归系数数组（B0,B1...Bn）
// SquarePoor[4]：
返回方差分析指标:
回归平方和，剩余平方和，回归平方差，剩余平方差
// 返回值：
0求解成功，-1错误
int MultipleRegression（double *data, int rows, int cols, double *Answer, double *SquarePoor）
{
int m, n, i, count = cols - 1;
double *dat, *p, a, b;
if （data == 0 || Answer == 0 || rows < 2 || cols < 2）
return -1;
dat = （double*）malloc（cols * （cols + 1） * sizeof（double））;
dat[0] = （double）rows;
for （n = 0; n < count; n ++） // n = 0 to cols - 2
{
a = b = 0.0;
for （p = data + n, m = 0; m < rows; m ++, p += cols）
{
a += *p;
b += （*p * *p）;
}
dat[n + 1] = a; // dat[0, n+1] = Sum（Xn）
dat[（n + 1） * （cols + 1）] = a; // dat[n+1, 0] = Sum（Xn）
dat[（n + 1） * （cols + 1） + n + 1] = b; // dat[n+1,n+1] = Sum（Xn * Xn）
for （i = n + 1; i < count; i ++） // i = n+1 to cols - 2
{
for （a = 0.0, p = data, m = 0; m < rows; m ++, p += cols）
a += （p[n] * p[i]）;
dat[（n + 1） * （cols + 1） + i + 1] = a; // dat[n+1, i+1] = Sum（Xn * Xi）
dat[（i + 1） * （cols + 1） + n + 1] = a; // dat[i+1, n+1] = Sum（Xn * Xi）
}
}
for （b = 0.0, m = 0, p = data + n; m < rows; m ++, p += cols）
b += *p;
dat[cols] = b; // dat[0, cols] = Sum（Y）
for （n = 0; n < count; n ++）
{
for （a = 0.0, p = data, m = 0; m < rows; m ++, p += cols）
a += （p[n] * p[count]）;
dat[（n + 1） * （cols + 1） + cols] = a; // dat[n+1, cols] = Sum（Xn * Y）
}
n = LinearEquations（dat, cols, Answer）; // 计算方程式
// 方差分析
if （n == 0 && SquarePoor）
{
b = b / rows; // b = Y的平均值
SquarePoor[0] = SquarePoor[1] = 0.0;
p = data;
for （m = 0; m < rows; m ++, p ++）
{
for （i = 1, a = Answer[0]; i < cols; i ++, p ++）
a += （*p * Answer[i]）; // a = Ym的估计值
SquarePoor[0] += （（a - b） * （a - b））; // U（回归平方和）
SquarePoor[1] += （（*p - a） * （*p - a））; // Q（剩余平方和）（*p = Ym）
}
SquarePoor[2] = SquarePoor[0] / count; // 回归方差
if（rows-cols>0.0）
SquarePoor[3]=SquarePoor[1]/（rows-cols）;//剩余方差
else
SquarePoor[3]=0.0;
}
free（dat）;
return n;
}
举例验证以上程序：
double data[15][5] = {
// X1 X2 X3 X4 Y
{ 316, 1536, 874, 981, 3894 },
{ 385, 1771, 777, 1386, 4628 },
{ 299, 1565, 678, 1672, 4569 },
{ 326, 1970, 785, 1864, 5340 },
{ 441, 1890, 785, 2143, 5449 },
{ 460, 2050, 709, 2176, 5599 },
{ 470, 1873, 673, 1769, 5010 },
{ 504, 1955, 793, 2207, 5694 },
{ 348, 2016, 968, 2251, 5792 },
{ 400, 2199, 944, 2390, 6126 },
{ 496, 1328, 749, 2287, 5025 },
{ 497, 1920, 952, 2388, 5924 },
{ 533, 1400, 1452, 2093, 5657 },
{ 506, 1612, 1587, 2083, 6019 },
{ 458, 1613, 1485, 2390, 6141 },
};
void Display（double *dat, double *Answer, double *SquarePoor, int rows, int cols）
{
double v, *p;
int i, j;
printf（"回归方程式:
Y = %.5lf", Answer[0]）;
for （i = 1; i < cols; i ++）
printf（" + %.5lf*X%d", Answer[i], i）;
printf（""）;
printf（"回归显著性检验:
"）;
printf（"回归平方和：
%12.4lf 回归方差：
%12.4lf", SquarePoor[0], SquarePoor[2]）;
printf（"剩余平方和：
%12.4lf 剩余方差：
%12.4lf", SquarePoor[1], SquarePoor[3]）;
printf（"离差平方和：
%12.4lf 标准误差：
%12.4lf", SquarePoor[0] + SquarePoor[1], sqrt（SquarePoor[3]））;
printf（"F 检 验：
%12.4lf 相关系数：
%12.4lf", SquarePoor[2] / SquarePoor[3],
sqrt（SquarePoor[0] / （SquarePoor[0] + SquarePoor[1]）））;
printf（"剩余分析:
"）;
printf（" 观察值 估计值 剩余值 剩余平方"）;
for （i = 0, p = dat; i < rows; i ++, p ++）
{
v = Answer[0];
for （j = 1; j < cols; j ++, p ++）
v += *p * Answer[j];
printf（"%12.2lf%12.2lf%12.2lf%12.2lf", *p, v, *p - v, （*p - v） * （*p - v））;
}
system（"pause"）;
}
int main（）
{
double Answer[5], SquarePoor[4];
if （MultipleRegression（（double*）data, 15, 5, Answer, SquarePoor） == 0）
Display（（double*）data, Answer, SquarePoor, 15, 5）;
return 0;
}
运行结果见下图，同上面，查F分布表，F检验远远大于F0.005（4,10）的7.34，可以说是极度回归显著。
四、参考文献
[1]梁晋文，陈林才，何贡.误差理论与数据处理[M].北京：
中国计量出版社，2001
[2]苏金明，张莲花，刘波.MATLAB工具箱应用[M].北京：
电子工业出版社，2004
[3]聂桂根.MATLAB在测量数据测量中的应用[J].《测绘通报》，2001，2
[4]误差理论与数据处理（第五版）费业态，机械工业出版社
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