人教版初二数学第12章《三角形全等》基础教案课时一新授.docx

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人教版初二数学第12章《三角形全等》基础教案课时一新授

学科教师辅导讲义

组长签字：

学员编号：

年级：

八年级课时数：

6

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

授课日期及时段

教学目标

教学内容：

全等三角形的判定条件

教学目标：

在探究三角形全等的条件的过程中，感受探究的方法，培养逻辑思维能力。

重点难点

教学重点：

探究三角形全等的条件

教学难点：

三角形全等到底需要多少条件

教学内容

一、导入

第十九章全等三角形

19.2三角形全等的判定

第一课时

一、复习引入：

我们知道：

　若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件，找到更为简便的判定三角形全等的方法？

显然由于三角形的内角和等于180°，如果两个角分别对应相等，那么另一个角必然也相等．这样，若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形仍然全等．

能否再减少一些条件？

对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？

二、探究新知

（一）探究全等条件

在教师的引导下，学生进行下列探究：

1.我们从最简单的开始，如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素（边或角），这两个三角形一定全等吗？

（1）如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？

（2）如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？

2.如果两个三角形有两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形一定全等吗？

想一想，会有几种可能的情况？

分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等．

（1）　三角形的两个内角分别为30°和70°；

（2）　三角形的两条边分别为3cm和5cm；

（3）　三角形的一个内角为60°，一条边为3cm；

（i）　这条长3cm的边是60°角的邻边；

（ii）　这条长3cm的边是60°角的对边．

你一定会发现，如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．

（二）例题选讲

思考：

如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？

这时，这两个三角形一定会全等吗？

如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。

如图：

三、课堂练习P68第1、2题

四、总结：

两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等；如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。

五、作业选用课时作业设计上的习题

教学后记：

第二课时

教学内容：

边角边

教学目标：

1、会用“SAS”识别两个三角形全等；

2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；

3、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。

教学重点：

掌握三角形全等的判定方法。

教学难点：

三角形全等判定定理的应用。

教学过程：

一、复习引入：

上节课我们讲过，两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等；如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。

本节课开始，我们将探究在什么情况下三角形一定全等。

如果两个三角形有3组对应相等的元素，那么含有以下的四种情况：

两边一角、两角一边、三角、三边．

我们将对这四种情况分别进行讨论．

如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？

如图所示，此时应该有两种情况：

一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角．

二、探究新知

（一）已知两边一夹角作三角形唯一性的体验

按下列条件画一个三角形：

如图19.2.2，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．

教师一边讲一边按下列步骤作图，要求学生模仿：

步骤：

1、画一线段AB，　使它等于4cm；

2、画∠MAB＝45°；

3、在射线AM上截取AC＝3cm；

4、连结BC．

△ABC即为所求．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

换两条线段和一个角试试，是否有同样的结论？

通过学生亲自实践，初步体会已知三角形两边一夹角作三角形的确定性，为证明SAS提供实践体验。

（二）SAS证明

如图19.2.3，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，　

∠B＝∠B′，　BC＝B′C′．

我们要证明两个三角形全等,可以通过平移重合来实现,由于AB＝A’B’，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合；因为∠B＝∠B′，因此可以使∠B与∠B′的另一边BC与B′C′重叠在一起,而BC＝B’C’，因此点C与点C’重合.于是△ABC与△A’B’C’重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的一种简便方法：

如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．

（三）例题选讲

例1如图19.2.4，在△ABC中，AB＝AC，　AD平分∠BAC，

求证：

　△ABD≌△ACD．

证明　∵　AD平分∠BAC，（已知）

∴　∠BAD＝∠CAD．（角平分线的定义）

在△ABD与△ACD中，

∵　AB=AC（已知）

∠BAD＝∠CAD（已证）

AD=AD（公共边）

∴　△ABD≌△ACD（S.A.S.）．

在上题中AD是两个三角形都具有的边，我们称之为公共边，在解题时要善于发现和使用。

由△ABD与△ACD全等，还能证得∠B＝∠C，即证得等腰三角形的两个底角相等这条定理．你还能证得哪些结论？

（四）已知两个角和其中一个角的对边问题探究

如图19.2.5，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？

此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？

如图中：

∠B=450，AB=4㎝，AC1=AC2=3㎝，但△ABC1与△ABC2不全等，由此可见已知两边及其中一边的对角对应相等时，不能判定两个三角形全等。

三、课堂练习

P72第1、2题

四、总结：

1、两边及其夹角相等，两个三角形全等；

2、两边一对角相等，两个三角形不一定全等。

五、作业

P79习题第2、3题

教学后记：

第三课时

教学内容：

角边角

教学目标：

1、会用“ASA”识别两个三角形全等；

2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；

3、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。

教学重点：

掌握三角形全等的判定方法。

教学难点：

三角形全等判定定理的应用。

教学过程：

一、复习引入：

我们已经学习了，当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时，两个三角形一定全等．而当两个三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形不一定全等．

现在，我们讨论：

　如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？

这时同样应有两种不同的情况：

　如图19.2.6所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．

二、探究新知

（一）体验两角夹边的三角形的唯一性

教师提问并作图，学生模仿：

如图19.2.7，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．

步骤：

1、画一线段AB，使它等于4cm；

2、画∠MAB＝60°、　∠NBA＝40°，　MA与NB交于点C．

△ABC即为所求．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．

由作图可知：

这样的三角形是唯一的。

（二）证明ASA定理

如图19.2.8，在△ABC和△A′B′C′中，

已知AB＝A′B′，　∠A＝∠A′，　∠B＝∠B′．

分析：

由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合，且使点C与点C′分别位于线段AB的同侧．因为∠A＝∠A′，因此可以使∠A与∠A′的另一边AC与A′C′重叠在一起；同样因为∠B＝∠B′,可以使∠B与∠B’的另一边BC与B’C’重叠在一起．由于两条直线只有一个交点，因此点C与点C′重合．于是△ABC与△A’B’C’重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的又一种简便方法：

如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.（或角边角）．

（三）应用举例

例2如图19.2.9，已知∠ABC＝∠DCB，　∠ACB＝∠DBC，求证：

　△ABC≌△DCB．

证明：

在△ABC和△DCB中，

∵∠ABC＝∠DCB，

BC＝CB，

∠ACB＝∠DBC，

∴　△ABC≌△DCB（A.S.A.）．

（四）证明AAS定理（用ASA定理证明）

思考：

如图19.2.10，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？

分析因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．

下面我们进行证明

已知：

　如图19.2.10，∠A＝∠A′，　∠B＝∠B′，　AC＝A′C′．

求证：

　△ABC≌△A′B′C′．

证明∵　∠A＝∠A′，　∠B＝∠B′，

又∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），

同理∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°，

∴　∠C＝∠C′．

在△ABC和△A′B′C′中，

∵　∠A＝∠A′，

AC＝A′C′，

∠C＝∠C′，

∴　△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）．

于是得定理：

　如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．

二、课堂练习

P74第1、2题

三、总结

1、两个角及这两角的夹边对应相等的两个三角形全等；

2、两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

四、作业

P79第4、5题

教学后记：

第四课时

教学内容：

边边边

教学目标：

1、会用“SSS”识别两个三角形全等；

2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；

3、正确使用三角形全等的方法证明线段相等、证明角相等；

4、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。

教学重点：

掌握三角形全等的判定方法。

教学难点：

三角形全等判定定理的应用。

教学过程：

一、复习引入：

我们已经讨论了两个三角形有两边一角，以及两角一边分别对应相等，这两个三角形能否全等的情况．

我们很容易发现，如果两个三角形有三个角分别对应相等，那么这两个三角形未必全等（如图19．2．11）．

最后，如果两个三角形有三条边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等呢？

二、探究新知

（一）验证“SSS”定理

如图19．2．12，已知三条线段，以这三条线段为边，画一个三角形．

教师一边讲一边画图，学生模仿画图：

步骤：

1．画一线段AB，使它等于线段c（4．5cm）；

2．以点A为圆心、线段b（3cm）的长为半径画圆弧，以点B为圆心、线段a（4cm）的长为半径画圆弧，两弧交于点C；

3．连结AC、BC．

△ABC即为所求．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

换三条线段，试试看，是否有同样的结论？

（二）定理证明

如图19．2．13，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′．

不妨假设三角形最长的边为AB边，由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合，且使点C与点C′分别位于线段AB的两侧，连结CC′（如图19．2．14）．因为AC＝A′C′，即AC＝AC′，所以∠ACC′＝∠AC′C．同理可知∠BCC′＝∠BC′C．因此∠ACB＝∠AC′B．又因为AC＝AC′，BC＝BC′，由“边角边”，便可知这两个三角形全等．于是可得判定三角形全等的第3种简便方法：

结论：

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S．S．S．（或边边边）.

（三）应用举例

例3如图19．2．15，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，求证：

△ABC≌△CDA．

引导学生思考，然后教师边讲边板书：

证明：

在△ABC和△CDA中，

∵CB＝AD（已知）

AB＝CD（已知）

AC＝CA（公共边）

∴△ABC≌△CDA（S．S．S．）．

方法小结：

我们已经知道，若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，则这两个三角形全等．以前我们通过探索得出的结论，如等腰三角形的性质、平行四边形的性质等，均可通过证明三角形全等得到，作为定理.

三、课堂练习

P77第1、2题

四、总结：

我们可以将前面探索得到的全等三角形判定方法归纳成下表：

对应相等的元素

两边一角

两角一边

三角

三边

两边及其夹角

两边及其中一边的对角

两角及其夹边

两角及其中一角的对边

三角形是否全等

一定（S.A.S）

不一定

一定（A.S.A）

一定（A.A.S）

不一定

一定（S.S.S）

五、作业

P79习题第1题

教学后记：

第五课时

教学内容：

斜边直角边

教学目标：

1、会用“HL”识别两个三角形全等；

2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；

3、正确使用三角形全等的方法证明线段相等、证明角相等；

4、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。

教学重点：

掌握三角形全等的判定方法。

教学难点：

三角形全等判定定理的应用。

教学过程：

一、复习引入：

我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等．如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小．如果有“边边角”分别对应相等，那么也不能保证这两个三角形全等．当这个角是直角时，这两个直角三角形能否全等呢？

二、探究新知

（一）画图、拼图验证“HL”定理

如图19．2．16，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形．教师一边讲解一边画图，学生模仿：

步骤：

1．画一线段AB，使它等于4cm；

2．画∠MAB＝90°；

3．以点B为圆心，以5cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；

4．连结BC．

△ABC即为所求．

把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？

换两条线段，试试看，是否有同样的结论？

（二）证明“HL”定理

如图19．2．17，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．

由于直角边AC＝A′C′，我们移动其中的Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于线段A′C′的两侧．因为∠ACB＝∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，故∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，因此点B、C′、B′在同一条直线上．于是在△A′B′B中，由AB＝A′B＝A′B′（已知），得∠B＝∠B′．由“角角边”，便可知这两个三角形全等．

于是可得：

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H．L．（或斜边直角边）．

（三）、应用举例

例4如图19．2．18，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，求证Rt△ABC≌Rt△BAD．

学生先证明，教师边讲边板书：

证明：

∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ABC与△BAD都是直角三角形．

在Rt△ABC与Rt△BAD中，

∵AB＝BA，

AC＝BD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.

注意事项：

本定理使用别忘了“直角”条件

三、课堂练习

P79第1、2题

四、总结：

定理与注意事项

五、作业

P79习题第6题

教学后记：

19.3尺规作图

第一课时

教学内容：

作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角

教学目标：

1、了解什么是尺规作图

2、会用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并会写出主要画图过程

3、学会使用精练、准确的作图语言叙述作图过程

4、通过动手操作画图认识图形的本质，体会图形的内在美

5、通过作图，培养科学细致的学习品质，发展现象思维

教学重点：

两种基本作图的作图方法

教学难点：

作图过程的语言叙述

教学过程：

一、复习引入：

我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形．本节课，我们将介绍在只使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形，我们把作几何图形的方法称为尺规作图．自古希腊时代起，人们就对尺规作图产生了极大的兴趣，吸引着许多人去探索．这种研究推动了整个数学的发展．

本节开始，我们将研究仅用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线的方法．这5种作图称为基本作图，几何作图问题一般都是由若干个基本作图组合而成的．

二、探究新知

（一）作一条线段等于已知线段MN

教师边讲边画，学生模仿教师的作图过程

作法：

1、画射线AB

2、用圆规量出线段MN的长，在射线AB上截取AC=MN

线段AC就是所要画的线段

（二）作一个角等于已知角AOB

教师一边讲一边作图，学生模仿作图

作法：

1、画射线O′A′

2、以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，交OA于C，交OB于D

3、以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于C′

4、以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于D′

5、经过点D′画射线O′B′

∠A′O′B′就是所要画的角

（三）例题选讲

教师一边讲作法一边板书，学生按文字叙述画图，教师再在黑板上作图，学生对比矫正。

例1：

已知两边及夹角画三角形ABC

a

b

例2：

已知两角一边画三角形ABC

a

三、课堂练习

P83第1、2题

四、总结：

本节课你学会了什么？

五、作业

P86习题第1、2题

教学后记：

第二课时

教学内容：

作已知角的平分线

教学目标：

1、会用尺规作图作已知角的平分线并会写出主要画图过程

2、学会使用精练、准确的作图语言叙述作图过程

3、通过动手操作画图认识图形的本质，体会图形的内在美

4、通过作图，培养科学细致的学习品质，发展现象思维

教学重点：

作已知角的平分线的方法

教学难点：

作图过程的语言叙述

教学过程：

一、复习引入：

上节课，我们学会了用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。

这节课我们将学习作一个角的平分线。

二、探究新知

（一）利用直尺和圆规把一个角二等分

1、如图19．3．4，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．（教师一边讲解作图，一边板书）

作法：

第一步：

在射线OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；

第二步：

分别以点D、E为圆心，以适当长（大于线段DE长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；

第三步：

作射线OC．

射线OC就是所要作的∠AOB的平分线．

学生按照文字叙述作图，比对比矫正。

2、作一个角，再把它四等分，思考作法。

（二）证明作法的合理性

我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即证明∠AOC＝∠BOC．

如图19．3．5，连结EC、DC，

∵OD＝OE，

DC＝EC，

OC＝OC，

∴△OCD≌△OCE（S．S．S．），

∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）．

三、课堂练习

P83第1、2题

四、总结：

本节课你学会了什么？

五、作业

P86习题第3题

教学后记：