最新复化梯形法复化矩形法变步长梯形变步长辛普森.docx
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最新复化梯形法复化矩形法变步长梯形变步长辛普森
复化梯形法复化矩形法变步长梯形变步长辛普森
陕西科技大学
机械教改班
用C++的积分
其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。
一．积分的基本思想
1、思路：
微分—>求和—>取极限。
2、Newton—Leibniz公式
«SkipRecordIf...»
其中，«SkipRecordIf...»被积函数«SkipRecordIf...»的原函数。
3、用计算机积分的思路
在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。
因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。
二．现有的理论
1、一阶求积公式---梯形公式
«SkipRecordIf...»
他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。
2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式
«SkipRecordIf...»
他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。
3．四种实现方法
1.复化矩形法
将积分区间[a,b]等分成n个子区间:
«SkipRecordIf...»
则h=（b-a）/n,区间端点值«SkipRecordIf...»=a+kh
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
............................
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
源程序：
#include
#include
doublef（doublex）//计算被积函数
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
doubleTn（doublea,doubleb,intn）//求Tn
{
doublet=0.0;
doublexk;//区间端点值
doublet1,t2;//用来判断精度
do
{
doubleh=（b-a）/n;
for（intk=1;k<=n-1;k++）//每一小段的矩形叠加
{
t1=t;
xk=a+k*h;
t+=h*f（xk）;
t2=t;
}
n++;//如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求
}
while（fabs（t1-t2）<=1e-7）;//判断计算精度
returnt;
}
voidmain（）
{
doublea=0.0;//积分下线
doubleb=2.0;//积分上限
intn=1024;//把区间分为1024段
cout<}
执行结果：
2.复化梯形法
方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。
«SkipRecordIf...»
变形一下：
«SkipRecordIf...»
源程序：
#include
#include
doublef（doublex）//计算被积函数
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
doubleTn（doublea,doubleb,intn）//求Tn
{
doublet=0.0;
doublexk;//区间端点值
doublet1,t2,h=（b-a）/n;//用来判断精度
do
{
h=（b-a）/n;
for（intk=1;k<=n-1;k++）//余项叠加，相当于每一个小梯形相加
{
t1=t;
xk=a+k*h;
t+=f（xk）;
t2=t;
}
n++;//如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求
}
while（fabs（t1-t2）<=1e-7）;//判断计算精度
t=h*（f（a）+f（b））/2+t*h;//加上初项就是积分结果了
returnt;
}
voidmain（）
{
doublea=0.0;//积分下线
doubleb=2.0;//积分上线
intn=1024;//把区间分为1024段
cout<}
执行结果：
3.变步长梯形法
上面我们在应用复化积分法的时候会对区间进行分割，但是在要求精度是我们也不知道事先应该分割成多少段，分的少了精度达不到，分的多了计算量太大，为了解决这个问题我在上面加了一个循环，来不断地对区间进行再次划分，直到达到精度要求，变步长积分法与我用的方法类似，只不过变步长积分法的区间划分时成倍增加的。
实现方法；
由复化梯形法知道；
«SkipRecordIf...»
步长h=（b-a）/n
现在将步长分半，即在相邻两节点«SkipRecordIf...»的中点«SkipRecordIf...»处增加一个求积节点，那么
«SkipRecordIf...»
变形一下：
«SkipRecordIf...»
源程序：
#include
#include
doublef（doublex）//计算被积函数的值
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;
returny;
}
doublet2ntn（doublea,doubleb）
{
intn=1;
doublehn=b-a;//原步长
doubletn=0.0;
doublet2n=（f（a）+f（b））*hn/2.0;
while（fabs（t2n-tn）>1e-7）//判断精度
{
tn=t2n;
t2n=0.0;
for（intk=0;k<=n-1;k++）//循环叠加
t2n+=f（a+hn/2.0+k*hn）;
t2n=tn/2.0+t2n*hn/2.0;
n=n*2;
hn=hn/2.0;//步长分半
}
returnt2n;
}
voidmain（）
{
doublea=0.0;
doubleb=2.0;
cout<}
执行结果：
4.变步长辛普森法
之前的积分斜边都是直线，如果用抛物线接近就会更准确
复化辛普森求积公式
«SkipRecordIf...»
然后就只要每次让他的积分区间加倍就行直到达到要求的精度
#include
#include
#include
doublea=0.0,b=2.0,e=1e-7;//积分上下线，和精度要求
intn=1024;
doublef（doublex）
{
Doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
floatsimpson（）
{
inti;
doubles,sn,s2n,p,x,h;
h=（b-a）/n;//步长
s=f（a）+f（b）;
p=0;
x=a+h;//积分端点
for（i=1;i<=n-1;i++）
{
if（（i%2）!
=0）
{
p=p+4*f（x）;//在区间中间时乘4
x=x+h;
}
else
{
s=s+2*f（x）;//积分端点时乘2
x=x+h;
}
}
s=s+p;//第一次求和
s2n=s*h/3;//积分值
do
{
sn=s2n;
x=a+h/2;//变步长
s=s-p/2;
p=0;
for（i=1;i<=n;i++）//变步长只需要加就行了
{
p=p+4*f（x）;
x=x+h;
}
s=s+p;
n=n*2;
h=h/2;
s2n=s*h/3;
}while（fabs（s2n-sn）>e）;//控制精度
returns2n;
}
voidmain（）
{
cout<}
执行结果：
4．用C++写的综合程序
#include
#include
#include
classBjhs//抽象类
{
public:
virtualdoublef（doublex）=0;//虚计算被积函数
virtualvoidprint（）=0;//输出函数
virtualdoubleTn（）=0;//虚函数
};
classFhjx:
publicBjhs//复化矩形法类
{
public:
Fhjx（）{a=0;b=2;e=1e-7;n=1024;}//构造函数付初值
doublef（doublex）;//计算被积函数
doubleTn（）//求Tn
{
doublet=0.0;
doublexk;//区间端点值
doublet1,t2;//用来判断精度
do
{
doubleh=（b-a）/n;
for（intk=1;k<=n-1;k++）//每一小段的矩形叠加
{
t1=t;
xk=a+k*h;
t+=h*f（xk）;
t2=t;
}
n++;//如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求
}
while（fabs（t1-t2）<=e）;//判断计算精度
returnt;
}
voidprint（）//输出
{
cout<<"用复化矩形法计算的结果"<}
private:
doublea,b,e;
intn;
};
doubleFhjx:
:
f（doublex）//外联函数
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
classFhtx:
publicBjhs//复化梯形法
{
public:
Fhtx（）{a=0;b=2;e=1e-7;n=1024;}
doublef（doublex）;//计算被积函数
doubleTn（）//求Tn
{
doublet=0.0;
doublexk;//区间端点值
doublet1,t2,h=（b-a）/n;//用来判断精度
do
{
h=（b-a）/n;
for（intk=1;k<=n-1;k++）//余项叠加，相当于每一个小梯形相加
{
t1=t;
xk=a+k*h;
t+=f（xk）;
t2=t;
}
n++;//如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求
}
while（fabs（t1-t2）<=1e-7）;//判断计算精度
t=h*（f（a）+f（b））/2+t*h;//加上初项就是积分结果了
returnt;
}
voidprint（）
{
cout<<"用复化梯形法计算的结果"<}
private:
doublea,b,e;
intn;
};
doubleFhtx:
:
f（doublex）
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
classBbctx:
publicBjhs//变步长梯形法
{
public:
Bbctx（）{a=0;b=2;e=1e-7;n=1;tn=0;}
doublef（doublex）;//计算被积函数的值
doubleTn（）
{
doublehn=b-a;//原步长
doublet2n=（f（a）+f（b））*hn/2.0;
while（fabs（t2n-tn）>e）//判断精度
{
tn=t2n;
t2n=0.0;
for（intk=0;k<=n-1;k++）//循环叠加
t2n+=f（a+hn/2.0+k*hn）;
t2n=tn/2.0+t2n*hn/2.0;
n=n*2;
hn=hn/2.0;//步长分半
}
returnt2n;
}
voidprint（）
{
cout<<"用变步长梯形法计算的结果"<}
private:
doublea,b,e;
doubletn;
intn;
};
doubleBbctx:
:
f（doublex）
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
classBbcxps:
publicBjhs//变步长辛普森法
{
public:
Bbcxps（）{n=1024;a=0;b=2;e=1e-7;}//积分上下线，和精度要求
doublef（doublex）;
doubleTn（）
{
inti;
doubles,sn,s2n,p,x,h;
h=（b-a）/n;//步长
s=f（a）+f（b）;
p=0;
x=a+h;//积分端点
for（i=1;i<=n-1;i++）
{
if（（i%2）!
=0）//判奇偶，也就是看哪点乘几
{
p=p+4*f（x）;//在区间中间时乘4
x=x+h;
}
else
{
s=s+2*f（x）;//积分端点时乘2
x=x+h;
}
}
s=s+p;//第一次求和
s2n=s*h/3;//积分值
do
{
sn=s2n;
x=a+h/2;//变步长
s=s-p/2;
p=0;
for（i=1;i<=n;i++）//变步长只需要加就行了
{
p=p+4*f（x）;
x=x+h;
}
s=s+p;
n=n*2;
h=h/2;
s2n=s*h/3;
}while（fabs（s2n-sn）<=e）;//控制精度
returns2n;
}
voidprint（）
{
cout<<"用变步长辛普森法计算的结果"<}
private:
doublea,b,e,p;
intn;
};
doubleBbcxps:
:
f（doublex）
{
doubley;
y=log（1+x）/（1+x*x）;//被积函数
returny;
}
voiddisplay（Bjhs&q）//输出函数
{
q.Tn（）;
q.print（）;
};
voidmain（）//选择你想要的方法，用switch语句
{
chara;
Fhjxb;
Fhtxc;
Bbctxd;
Bbcxpse;
cout<<"求函数y=log（1+x）/（1+x*x）的积分值"<cout<<"请输入你要选用的方法的编号"<cout<<"A.复化矩形法B.复化梯形法"<cout<<"C.变步长梯形法D.变步长辛普森法"<cin>>a;
switch（a）{
case'A':
display（b）;break;
case'B':
display（c）;break;
case'C':
display（d）;break;
case'D':
display（e）;break;
default:
cout<<"输入代码错误"<}
执行结果：
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