证毕
一、填空题（本题15分，1空1分）
1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。
2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性振动和随机振动;自由振动和和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和离散系统。
3、（惯性）元件、（弹性）元件、（阻尼）元件是离散振动系统的三个最基本元素。
4、叠加原理是分析（线性振动系统）的振动性质的基础。
5、研究随机振动的方法是（统计方法），工程上常见的随机过程的数字特征有：
（均值），（方差），（自相关）和互相关函数。
6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。
二、简答题（本题40分，每小题5分）
1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。
答：
确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。
比如：
单摆振动是确定
性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。
2兀
答：
T=
©
1，其中T是周期、
'1是角频率（圆频率），
f是频率
2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。
3、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明
答：
*'d-，其中*'d是阻尼固有频率，-'n是无阻尼固有频率，是阻尼比。
4、简述非周期强迫振动的处理方法。
答：
1）先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法，求得系统在外加激励下的响应；
2）如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0,可以采用傅里叶变换的方法，求得
系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆变换，求得系统的时域响应；
3）如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0,可以采用拉普拉斯变换的方
法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做拉普拉斯逆变换，求得系统的时
域响应；
5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。
答：
当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。
6、简述刚度矩阵［K］的元素kj,j的意义。
答：
如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是
kij。
7、简述线性变换［U］矩阵的意义，并说明振型和［U］的关系。
答：
线性变换［U］矩阵是系统解藕的变换矩阵；［U］矩阵的每列是对应阶的振型。
8简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。
答：
线性系统在振动过程中动能和势能相互转换，如果没有阻尼，系统的动能和势能之和为常数。
三、计算题（本题45分）
1、设有两个刚度分别为k1，k2的线性弹簧如图1,计算它们并联时和串联时的总刚度keq。
（5分）
图1图2图3
2、一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图2所示，求系统的固有频率。
（15分）
3、求如图3所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。
（25分）（设mj=m3=m;m2=2m;
k1二k4二k;k2二k3=2k;k5二k6二3k;）
1.解：
1）对系统施加力p,则两个弹簧的变形相同为x，但受力不同，分别为：
由力的平衡有：
P=R+P2=（&+k2）x
P
故等效刚度为：
keqK'k?
x
2）对系统施加力P,则两个弹簧的变形为：
广
P
x1=厂
k11
<1，弹簧的总变形为：
X=X<|+x2=P（—+——）
P12k,k2
Pk1k211
故等效刚度为：
keq
xk2+«k-ik2
2.解：
取圆柱体的转角二为坐标，逆时针为正，静平衡位置时v-0，则当m有二转角时，系统有:
由d（ETU）=0可知：
（Imr2^kr%-0
即：
，n=kr2/（Imr2）（rad/s）
3•解：
以静平衡位置为原点，设的位移x1,x2,x3为广义坐标，系统的动能和势能分别为
求偏导得到：
得到系统的广义特征值问题方程：
（〔Klf：
：
2[Ml）U2=0
I
U3
和频率方程：
即：
口（・2）=（3k-・2m）（2m24-16km222k2）=0
2.厂k2k
解得：
；=（4二、、.5）和;=3
mm
所以：
国1=j（4£灼2=兰v%=J（4+V5）史
VmVmVm
将频率代入广义特征值问题方程解得：
u11:
u21:
u31-1:
0.618:
1；
u12:
u22:
u32：
一1:
0:
1；
u13:
u23:
u33：
■；一0.618:
1:
-0.618；
（三）
一、填空题（本题15分，每空1分）
1、机械振动大致可分成为：
（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。
2、在离散系统中，弹性元件储存（），惯性元件储存（），（）元件耗散能量。
3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。
4、叠加原理是分析（）系统的基础。
5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。
6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。
7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（）运动。
答案：
1、线性振动；随机振动；自由振动；
2、势能；动能；阻尼
3、简谐运动；正弦；余弦
4、线性
5、刚度；质量
6、频响函数；传递函数
7、往复弹性
Ce=2m・，n；阻尼比是=C/Ce
（10
2、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？
简述其能量集聚过程?
分）答：
共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动；共振过程中，外加激励的能量被系
统吸收，系统的振幅逐渐加大。
3、简述刚度矩阵［K］中元素心的意义。
（10分）
答：
如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kj。
4、简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。
（10分）
答：
随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述，因此，只能通过统计的方法了解激励和响应统计值
三、计算题（45分）
3.1、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴
量、转动惯量分别为门、m1>11和「2、m2、b。
轮2的轮缘上连接一刚度为挂质量为m的物体，求：
1）系统微振的固有频率；（10分）
2）系统微振的周期；（4分）。
3.2、（16分）如图所示扭转系统。
设转动惯量I1=I2，扭转刚乙度K1=
1）
2）
3）
4）
01，。
2转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质
k的弹簧，轮1的轮缘上有软绳悬
K2。
写岀系统的动能函数和势能函数;求岀系统的刚度矩阵和质量矩阵;求岀系统的固有频率；
求出系统振型矩阵，画出振型图。
（4分）
（4分）
（4分）
（4分）
之间的关系。
而周期振动可以通过方程的求解，由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。
图2
3.3、（15分）根据如图所示微振系统，
1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程;
2）求出固有频率；
3）求系统的振型，并做图。
（5分）
（5分）
（5分）
2k
计算题答案：
3.1
（1）系统微振的固有频率；|（
选取广义坐标x或e；确定m的位移与摩擦轮转角的关系，（质量写岀系统得动能函数Et、势能函数U;
令d（Et+U）=0.求岀广义质量和刚度
微振的周期；（
10分）；
4分）。
2k
Z//
m的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）；，图3
，进一步求出
+丨1+I2m
r1r2
3.2.
（1）写岀系统的动能函数和势能函数（4分）；
（2）求岀系统的刚度矩阵和质量矩阵（4分）；
3.3.
（3）求岀系统的固有频率（4分）；（4）求岀系统振型矩阵，画岀振型图（4分）
3.4.
-0.618
频率方程:
-1
2-22m
k
-1
=0
-1
3-国2凹
k
振型图（略）
-1
即:
（―护2-》2®》0
固有频率：
时=（2_血）巴
<杭二
k
=3—<
2
⑷3
=（2+J习主
m
m
m
-
V2-1
1
11
"0.414
1
11
振型矩阵：
1
0
1-血
=
1
0
—0.414
V2-1
_1
1
j
0.414
—1
1一
振型图（略）
（四）
、填空题（本题15分，每空1分）
随机振动）；
1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（（自由振动）和强迫振动。
2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。
3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关
4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。
5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自
相关函数）和（互相关函数）。
6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的
（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。
二、简答题（本题40分）
（7分）
1、什么是机械振动？
振动发生的内在原因是什么？
外在原因是什么?
答：
机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。
（3分）
振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。
（2分）
外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。
（2分）
2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。
（12分）
答：
从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；（2分）
从运动角度看，当阻尼比大于等于1时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1的时候振幅衰减最快（4
分）；当阻尼比小于1时，阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小，固有频率降低，阻尼固有频率
共振的角度看，随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增加，因此在有阻尼系统的振幅并不会无限增加。
（4分）
3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。
（7分）
答：
属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。
其数学表达为：
如果当「=s
广T
』｛Us｝［M］｛Ur｝=0
时，⑷r"s，则必然有畑｝丁［心｛4｝=0。
4、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种？
有什么区别？
（7分）
答：
有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。
（3分）
前者要求系统初始时刻是静止的，即初始条件为零；后者则可以计入初始条件。
（4分）
5、简述刚度矩阵［K］中元素kj的意义。
（7分）
答：
如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。
三、计算题（45分）
3.1、（12分）如图1所示的扭转系统。
系统由转动惯量I、扭转刚度由心、心、K3组成。
1）求串联刚度K1与心的总刚度（3分）
2）求扭转系统的总刚度（3分）
3）求扭转系统的固有频率（6分）
I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P
3.2、（14分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为
的物体，绳与轮缘之间无滑动。
在图示位置，由水平弹簧维持平衡。
半径R与a均已知
1）写岀系统的动能函数和势能函数；（5分）
2）求系统的运动方程；（4分）
3.3、（19分）图2所示为3自由度无阻尼振动系统,
1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；
2）求出固有频率；
3）求系统的振型，并做图。
6二昆二兄二匕=k，h=J/5=打=I
（6分）
（7分）
（6分）
2）求岀系统的固有频率。
（5分）
3.1解:
1）串联刚度K1与K2的总刚度:
2）系统总刚度：
3）系统固有频率：
（也可用能量法，求得系统运动方程，即可得其固有频率）
3.2
解:
取轮的转角二为坐标，顺时针为正，系统平衡时-0,则当轮子有二转角时，系统有:
由d（ET
U）=0可知：
（IpR2|）i2ka2「0
g
所以:
I0
01
■1
0
01
0丨2
0
=1
0
4
0
-00
4一
L
0
0
1J
IM>
第二定律得到运动微分方程:
系统运动微分方程可写为:
Lt1+kt2
_kt2
0
1-
2
-1
01
—kt2
kt2+k（3
—kt3
]=k
-1
2
-11
■0
-kt3
K3也
J1
0
-1
2」
1「
MUqj怜2》=0
UkJ
或者采用能量法：
系统的动能和势能分别为
求偏导也可以得到M]K卜
2）设系统固有振动的解为:
3=u2cost
!
!
!
J
U3
，代入（a）可得:
U1
（b）
2U1
（KK-02Im斑2]=o
MJ
得到频率方程丄&）=
=0
2k—们2I
-k
0
-k
2
2k-4，I
-k
0
-k
2k7：
21
即:
：
（2）=（2k—・2|）（412・4—10kl22k2）=0
解得：
•.2=（5'^）-和.2=2-
4II
（c）
所以：
1=f*.2m…（—
将（c）代入（b）可得：
2k
-k
2k「甘41
-k
-k
u2=0
MJ
解得：
u11:
u21:
u31：
1:
1.78:
1;
1：
3i7：
1）
（或
Uli：
U21:
U31
4
U12:
U22・U32：
一1：
0：
1；
U13:
U23:
U33--1:
-0.28：
1；
3•、帀
（或orU11
U21:
U31:
1：
：
1）
4
系统的三阶振型如图:
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