微分几何第三版第二章课后题答案1.docx
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微分几何第三版第二章课后题答案1
第二章曲面论
§1曲面的概念
1.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.
解u-曲线为r={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+u{cosv0,sinv0,0},为曲线的直母线;v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv}为圆柱螺线.
2.证明双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r={a(u+v。
),b(u-v。
),2uvo}={av。
,bv。
,0}+u{a,b,2v。
}
表示过点{av。
,bv。
。
}以{a,b,2v。
}为方向向量的直线;
v-曲线为「={a(u0+v),b(u0-v),2u0v}={au。
,bu。
,。
}+v{a,-b,2u。
}表示过点(au。
bu。
,。
)以{a,-b,2u。
}为方向向量的直线。
3.求球面r={acos;:
sin「,acos;:
sin;:
asin二}上任意点的切平面和法线方程。
saa.n
解r={-asin二cos「,-asinsin:
:
acos「:
},r.匸{-acossin:
:
acoscos「,0}
x-acos、:
cos「y-acos二sin「z-asin二
任意点的切平面方程为-asin二cos:
:
「:
-asinsin「acos=0
「acos、:
sin「acos、:
cos「0
即xcos:
cos+ycos:
sin+zsin二-a=0;
xacos、:
cos「yacos、:
sin「zasin二
。
cos二cos「cossin「sin二
22
4.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此ab
曲面只有一个切平面。
22
解椭圆柱面二>yr=1的参数方程为x=cos:
:
y=asin二,z=tab
rd-{-asin二,bcos,0}
0=0,即xbcos:
+yasin:
—ab=0
此方程与t无关,对于二的每一确定的值,确定唯一一个切平面,而二的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面。
3
5.证明曲面r={u,v,—}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
UV
数。
§2曲面的第一基本形式
ru二{a,b,2v},rv二{a,—b,2u},
F-ru
Tv
22亠22
=a-b4uv,G=rva
■b2■4u2,
(a2'b2'4v2)du2'2(a2
22222
—b4uv)dudv'(ab4u)dv。
bv}的第一基本形式,并证明坐标曲线互
解ru={cosv,sinv,0},={-usinv,ucosv,b},E二打=1,F=山讥=0,
G=l2=u2•b2,二I=du2■(u2-b2)dv2,VF=O,A坐标曲线互相垂直。
3.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上,求方程为u=V的曲线
的弧长。
解由条件ds2=du2-sinh2udv2,沿曲线u=V有du=dv,将其代入ds?
得
ds2=du2-sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上,从v1至Uv2的
v2
弧长为|coshvdv|=|sinhv2-sinhv1|。
vi
4.设曲面的第一基本形式为I=du2■(u2■a2)dv2,求它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E=1,Fv=o,G^u2■a2,曲线u+v=0与u-V=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E=1,Fv=0,G=a2。
曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为Su=
Sv,设两曲线的夹角为:
,则有
cos=Edu亠Gd—u-二
*‘Edu2+GdvGEdu'+Gdv?
1+a
5.求曲面z=axy上坐标曲线x=x。
y=y。
的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x。
的向量表示为
r={x°,y,ax°y},其切向量口={0,1,ax。
};坐标曲线y=y。
的向量表示为r={x,
y。
axy。
},其切向量rx={1,0,ay°},设两曲线x=x0与y=y。
的夹角为;:
,则
2
有cos
=rxTyaX。
y。
|rx||ry1.1a2x:
■1a2y02
6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程
解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为Su:
Sv,则有
EduSu+F(duSv+dvSu)+GdvSv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为ESu+FSv=0.
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FSu+GSv=0.
7.在曲面上一点,含du,dv的「次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两
个切方向(du:
dv)和(Su:
Sv),证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+
GP=O.
证明因为du,dv不同时为零,假定dv=0,则所给二次方程可写成为P(巴)2+
dv
dudu、.udu、.uRdu、.u2Q
①又根据二方
2Q+R=0,设其二根一,一,则=—,+一二一一
dvdv、.vdv、.vPdv、.vP
向垂直的条件知E巴兰+F(巴+兰)+G=0……②
dv&dv6v
将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv
证用分别用S、厂、d表示沿u—曲线,v—曲线及其二等分角线的微分符号,
即沿u—曲线Su=0,Sv=0,沿v—曲线、「u=0,、「v=0.沿二等分角轨
线方向为du:
dv,根据题设条件,又交角公式得
u=-av
展开并化简得E(EG-f2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线
的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv
9.设曲面的第一基本形du2■(u2■a2)dv2,求曲面上三条曲线v=1相交所成的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形(如图)线围城的三角形的面积是
01a1
S=.u亠a彳dudv,Ua2dudv
_au0u
a1a
=2.u$a$dudv=2(1-—hu2du
0u0a
a
22
=[(u
3a
3
22■~222-~22a
-a)•u■uaaln(u•ua)]|0
10.求球面r={acos今sin申,acos今sin申,asin创的面积。
解r_§={—sin9cos申,一asin3sin®,acos,r={-acos9sin®,acos9cos®,0}
E=r2=a2,F=r-r■:
=0,G=r;=a2cos2二.球面的面积为:
2"-.■:
S=2_.d、:
.a4cos2、:
d=2二a22_.cos、:
d、:
=2「:
a2sin、:
|2…=4二a
J兀JJJIJi
"20一2—2
11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos:
tsin-,..t2-1}
(t>1,0<二<2二)之间可建立等距映射二=arctgu+v,t=.u21
分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射二=arctgu
+v,t=.u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点
有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式•
证明螺面的第一基本形式为I=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一
2
基本形式为I=(^2)dt2十不:
,在旋转曲面上作一参数变换二=arctgu+v,
t-1
t=U2-1,则其第一基本形式为
22
u+1u2212
(12)2du(u1)(2dudv)
uu+11+u
2
u-1212
=(21)du-du2dudv
u1u
+(u?
+1)dv2=2du2+2dudv+(u2+1)dv2=I.
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射二=arctgu+v,t=.u21
§3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},
2222
所以II=-du2+dv2
2.计算抛物面在原点的2x3=5x;•4X1X2•2x;第一基本形式,第二基本形式.
一C
解曲面的向量表示为r二{X!
X2,-X:
•2x!
X2•x:
},
2
rx1-{1,0,5X12X2}(0,0)={1,0,0},rx2-{0,1,2x12x2}(0,0)-{0,1,0},Lx’={0,0,5},
E=ru=coshu,F=ru5=0,G=■=COShu.
Lx2={0,0,2},.X2={0,0,2},E=1,F=0,G=1丄=5,M=2,N=2,
_22[[_22
=dxi亠dx2,11=5dxi亠4dx1dx2亠2dx2
3.证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-s
解ru={cosv,sinv,0},rv={_usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},
ruv={-uucosv,cosv,0},
rvv={-ucosv,-usinv,0},E二山2=1,Fr^0,
G=rv=u亠b,L=0,M-
N=0.所以有EN-2FM+GL=0.
..u2b2
1
4.求出抛物面z(ax2by2)在(0,0)点沿方向(dx:
dy)的法曲率.
2
解「X={1,0,ax}(0,0)={1,0,0},ry={0,1,by}(0,0)={0,1,0},匚={0,0,a},q={°,0,°}
5.已知平面二到单位球面(S)的中心距离为d(0解设平面二与(S)的交线为(C),则(C)的半径为1-d2,即(C)的曲率为
k=,1尹,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±*‘1-d2,所以
1-d2
(C)的法曲率为心二—k、1-d2=_1.
6.利用法曲率公式心=’,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基
I
本量成比例。
证明因为在球面上任一点处,沿任意方向的法截线为球面的大圆,其曲率为球面半径R的倒数1/R。
即在球面上,对于任何曲纹坐标(u,v),沿任意方向du:
dv
2
II_Ldu-2Mdudv
2
IEdu2Fdudv
类基本量成比例。
7•求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线。
证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},
ru={cosv,sinv,0},rv={-usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},rvv={-UCOSV,-USinv,0}
(rrr)(rrr)
L=(fu,v,uu)=0,N=(.u,v,vv)=0.所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。
而u•、EG-F2,EG-F2
族曲线是直线,v族曲线是螺旋线。
8.求曲面z=xy2的渐近线.
解曲面的向量表示为r={x,y,xy2},J+{1,0,y2},ry={0,1,2xy},a={0,0,0},
■■■24..2-*222
i\y={0,0,2y},ryy二{0,0,2x},E二14y,F二「y=2xy,G二ry14xy.
渐近线的微分方程为Ldx2-2Mdxdy-Ndy2,即4ydxdy-2xdy2=0,—族为dy=0,即
y,G为常数.另一族为2ydx=-xdy,即lnx2y=C2,或X2y=c,c为常数.•
9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
证在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.
方法二:
任取曲线丨:
r=r(s),它的主法线曲面为S:
=:
?
(s,t^r(s)■t■(s),
NN—NNN■■
%->(s)t:
(s)-「•t(•)=(1—t'・.):
•t,'t=■,6「t--t心亠(1—t'.)
pxP
在曲线:
上,t=0,d♦二,曲面的单位法向量n-s==■',即n=,
Veg-f2
所以曲线-在它的主法线曲面上是渐近线.
10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数,y=常数构成共轭网.
证曲面的向量表示为r」={x,y,f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。
「X={1,0,f'},ry{0,1,g}.「XX={0,0,f},「xy={0,0,0},「yy={0,0,g},
11.
确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线•
12.
得两族曲率线为ln(a^1•a2x2)=In(ay■1•a2y2)•c.
13.求曲面r={?
(u-v),*(u-v),^^}上的曲率线的方程.
222
丄=0,
22222222
a+b+v_a+b+uva+b+u
E,F,G=■
ab
M=—^2——,N=0•代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是
vEG-F2(a2•b2•u2)dv2=(a2•b2•v2)du2,积分得
-222J222
ln(u-abu)=In(vabv)c.
14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.
证法一:
因L是曲率线,所以沿L有dn丄-^dr,又沿L有?
n=常数,求微商
得n…I•n=0,而n//dn//dr与正交,所以・n=0,即-|:
'•n=0,则有.=0,或
•n=0.
若■=0,则L是平面曲线;若1・n=0,L又是曲面的渐近线,则沿L,n=0,这时dn=0,n为常向量,而当L是渐近线时,=_n,所以为常向量,L是一平面曲线•
证法二:
若_n,则因n_dr,所以n「,所以dn「,由伏雷内公式知dn||(_=••.-)而L是曲率线,所以沿L有dn||:
•,所以有•=0,从而曲线为平面曲线;
若不垂直于n,则有?
n=常数,求微商得〔n「—n=0,因为L是曲率线,所
以沿L有dn||dr_,所以n=0,所以・n=0,即-.:
•n=0,若.=0,则
问题得证;否则1•n=0,则因n:
■=0,有n||,dn||d||(-.^)||:
•
矛盾。
15.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角,则它是平面曲线。
证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角,即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角,由上题结论知正确。
16.求正螺面的主曲率。
解设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.
解ru二{cosv,sinv,0},r「={_usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},
G=rv2=u2"2,L=0,M=一-b—,N=0,代入主曲率公式
j22
.ub
222
(u-a)
所以主曲率为
17.确定抛物面z=a(x2y2)在(0,0)点的主曲率.
解曲面方程即ryy={0,0,2a},r二{x,y,a(x2-y2)},r^{1,0,2ax}\二{0,1,2ay},rxx二{0,0,2a},rxy二{0,0,0},^={0,0,2a}。
在(0,0)点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,
N=2a.所以N-4an+4a2=0,两主曲率分别为j=2a,'■-2=2a.
18.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.
证曲面上的给定点处两主曲率分别为冷、■2,任给一方向二及与其正交的方向二+二2,则这两方向的法曲率分别为’“(;:
)八1cos2;:
…空sin2;:
\.二2)=5cos2C;.二2)'2sin2(二.二sin八'-'■-2cos八',即
nG:
)-rn(「;逬:
:
2)='・1r2为常数。
19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数•
证由n=「cos2M亠j2sin2得tgI:
=_,即渐进方向为
瓷2
二1=arctg一1,宀=-arctg,—.又-二2+门=2二1为常数,所以为;M为常数,即V瓷2VK2
二为常数.
'■2
20.求证正螺面的平均曲率为零.
证由第3题或第16题可知.
21.
LG-2FMNE
2(EG-F2)
求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率
证在点x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H=
K=
LN
2
-M=
.2
EG
2
-F
—a
22.
证法一:
证明极小曲面上的点都是双曲点或平点
由H==0有jh.2=0或,5=八2=0.
2
若\=2=0,则沿任意方向二,'■-n
(二)二'-1cos21亠5sin2二=0,即对于任意的
若'■■i=-・2二0,则2<0,即LN-M2<0,对应的点为双曲点.
证法二:
取曲率网为坐标网,则F=M=0,因为极小曲面有H=0,
所以LG+EN=0,因E>0,G>0,所以LN<0。
若ln-M2=0,则L=M=N
=0,曲面上的点是平点,若LN-M1<0,则曲面上的点是双曲点
23.证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
证法一:
如果曲面的平均曲率为零,由上题曲面上的点都是双曲点或平点若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网.由19题,渐近方向二满足tg•二丄=1,
瓷2
d
d
u、.u
Ndu2u
M
-N=,0所以
=—
-,-
d
v
d
7:
.v
Ldvv
证法二:
;H=0.LG—2FMNE=0渐近线方程为Ldu22MdudvNdv0
所以L(—U)-
dv
Fdu、:
v)dv:
.G[^-vUI(d-V^E
dv6vd6v
,所以渐近网为正交网
=dv、v[ENF(一2^)•G]=0
证法三:
LL圆点,即圆环面外侧的点为椭圆点;当-%<申<?
曲面上的点为双曲点,即圆环面内侧的点为双曲点;当申二少2或手时,LN-M2=0,为抛物点,即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
25.若曲面的第一基本形式表示为I=■2(u,v)(du2•dv2)的形式,则称这个曲
面的坐标曲线为等温网。
试证:
旋转曲面「={g(t)cos;:
g(t)sin:
:
f(t)}上存在等温
网。
证旋转曲面r={g(t)cos二,g(t)sin二,f(t)}的第一基本形式为
'2+f'2/_'2十f'2
I=g2(t)(2dt彳.di,),做参数变换udt,v=:
则在新参数
gg
下,I=g2[t(u)](du2-dv2),为等温网。
26.两个曲面S1、S2交于一条曲线(C),而且(C)是S1的一条曲率线,则(C)也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着(C)相交成固定角。
证两个曲面S1、