七年级数学平面图形的认识总复习4.docx

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七年级数学平面图形的认识总复习4

七年级数学第六章平面图形的认识

课标要求：

1．点、线、面、角

（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等（参见例59）。

（2）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。

（3）掌握基本事实：

两点确定一条直线。

（4）掌握基本事实：

两点之间线段最短。

（5）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。

（6）理解角的概念，能比较角的大小。

（7）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。

（8）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质。

2.相交线、平行线和垂线

（9）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

（10）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。

（11）掌握基本事实：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（12）掌握基本事实：

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

（13）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

重点难点：

1.线段、角的有关计算．

2.平行与垂直的相关作图及性质的应用．

知识梭理：

一．线段、射线、直线

1.基本概念

线和线相交的地方是点

点通常表示一个物体的位置．例如，在交通图上用点来表示城市的位置．

直线

上两个点和它们

之间的部分叫做，这两个点叫做线段的端点．

在日常生活中，一根拉紧的绳子、一

根竹竿、人行

横道线都给我们以线段

的

形象．

把线段向一

方无限延伸所形成的图形叫做．

把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做

2．两点之间的所有连线中，最短。

我们把这条线段的长，就叫做；

3.点、直线、射线和线段的表示

1）、线段有两种表示方法：

线段AB与线段BA，表示同一条线段。

或用一个小写字母表示，线段a。

2）、射线的表示方法：

。

如射线l,或射线OP（此时O为射线的端点）.

3）、直线也有两种表示方法：

直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：

直线a

4）.

（1）线段有两种表示方法：

一种是____________，另外一种是_________________．

（2）射线

的表示方法：

_____________________，注意____________．

（3）直线也有两种表示方法：

一种是____________，另外一种是____________________．

5.线段、射线和直线的异同点

名称

图形及表示法

不同点

联系

共同点

延伸性

端点数

与实物联系

线段

不能延伸

2

真尺

线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线

都是直的线

射线

只能向一方延伸

1

电筒发生的光线

直线

可向两方延伸

无

笔直的公路

二．角

1：

角的概念①静态定义：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共顶点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

②动态定义：

角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

起始边与终边可以重合。

2、角的内部：

射线旋转时经过的平面部分。

角的外部：

平面内除去角的内部和角的顶点，角的边以外的部分。

角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。

3、角的表示方法：

（1）角通常用三个字母来表示，表示顶点的字母写在中间，可记为：

∠AOB（或∠BOA）练习;图

（2）有几个角，他们分别是什么？

将其表示出来

（1）

（2）（3）

（2）在角的顶点处只有一个角的情况下，也可以用大写字母来表示，∠AOB也可以写成∠O，但如果如图

（2）所示，就不可以用一个大写字母表示。

容易产生奇异。

（3）角也可以用表示，如图

（2）∠AOC可写成∠1，∠COB可写成∠2

（4）角还可以用希腊字母表示，同（3）一样，记为∠а，∠β

4、角的分类：

1周角=2平角=4直角

4.角平分线：

射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC叫做这个角的

5．角度的换算

1）.把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，

记作°；把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作′；把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″。

2）.角的度量单位是：

度、分、秒

10=‘1’="

3）.用一付三角板，可以拼出多少种不同的角？

解答：

150、300、450、750、900、1050、1200、1350、1500、1650。

三．余角、补角、对顶角

1、如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角是另一个角的。

如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称，其中一个角叫做另一个角的补角。

2、总结：

同角（或等角）的余角相等

同角（或等角）的补角相等。

注意：

1）．互余、互补是指两个角之间的一种关系．

2）．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系．

3）.对顶角，它们的顶点重合，它们的两条边互为反向延长线。

我们把这样的两个角叫做互为对顶角。

其中一个角叫做另一个角的对顶角。

4）.对顶角的性质：

对顶角相等。

四．方位角

方位角就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成“东偏北60°，西偏南50°”等，偏45°时，说成“东南、西南、东北或西北方向”

五．平行

（1）在同一平面内，两条直线的位置关系是：

（3）经过直线外一点，有且只有直线与已知直线平行，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相

1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

直线a平行于直线b，可表示为a∥b,

2、在同一平面内，两条直线的位置关系是：

平行与相交。

3、经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤（用直尺和三角板）：

4、经过直线外一点，有直线与已知直线平行。

5、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

六．垂直

（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相______,互相垂直的两条直线的交点叫做______.，

与

垂直可表示成。

（2）两条线段或射线垂直是指这两条线段或射线所在的______垂直

（3）直线外一点到这条直线的垂线段的_____________，叫做点到直线的距离。

2、如图：

两条直线互相垂直，可表示为a⊥b于点O或表示

为：

AB⊥CD于点O。

3、当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直

线的

4、如何经过一点画已知直线的垂线呢？

一靠近、二移动、三画线。

5、经过一点有直线与已知直线垂直。

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

把这条垂线段的长度也叫做距离。

考点归纳：

考点一：

线段、射线、直线

例1．

（1）图中以A为端点的线段有多少条？

以B为端点的线段有多少条？

以C为端点的线段有条？

以D为端点的线段有多少条？

图中一共有多少条线段？

（2）下图中各有多少条线段？

你发现了什么规律？

（用含n的代数式表示）

……

例2.图中共有　　　　条直线,分别是　　　　　　　;有

　　　　条线段,分别是　　　　　　;以D点为端点的射线有

　　　　条,分别是　　　　　　　;射线DA与射线DC的公共部

分是　　　　　　　　,线段　　　　,　　　　和射线

　　　　相交于点B.

例3.（2012·葫芦岛中考）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC

的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（）

例4.（2012·广州模拟）如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,

对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则

称（p,q）为点M的“距离坐标”,根据上述规定,“距离坐标”是

（2,3）的点共有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例5.（2011·娄底中考）如图,点C是线段AB上的点,点D是线段BC的

中点,若AB=12,AC=8,则CD=　　　　.

例6、如图,已知，点C是AB上任一点,点M、N分别是AC和CB的中点,

（1）若线段AB=10cm则MN=？

（2）若MN=6，则AB=？

例7、已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求AM的长

例8、已知线段AB，延长AB到C，使

，D为AC的中点．若DC＝42㎝，则AB的长是多少？

例9．★★★（2013安顺）直线上有2013个点，我们进行如下操作：

在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点．

例10.如图，线段AB=28cm，点O是线段AB的中点，点P将线段AB分为两部分AP∶PB=5∶2，求线段OP的长.

例11．★★★一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n－1）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是_______________．

图1图2图3

例12.（2012·永州中考）永州境内的潇水

河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三

个名胜古迹（如图所示）.其中柳子庙坐

落在潇水之西的柳子街上,始建于1056年,是永州人民为纪念

唐宋八大家之一的柳宗元而筑建.现有三位游客分别参观这三

个景点,为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所

走的路程总和最短.那么,旅游车等候这三位游客的最佳地点应

在（　　）

A.朝阳岩B.柳子庙

C.迥龙塔D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置

练习：

1．下列说法：

①直线CD和直线DC是两条直线；②射线CD和射线DC是两条射线；③线段CD和线段DC是两条线段；④直线CD和直线a不能是同一条直线．正确的有___________．（填序号）

2．延长线段AB到C，则下列说法：

①点C在线段AB上；②点C在直线AB

上；③点C不在直线AB上；④点C在直线AB的延长线上中正确的有

__________________．（填序号）

3．在右图中共有____条直线，分别是；有_____条线段，分别是

_________；以D点为端点的射线有______条，是；

线段_____、_____和射线_____相交于点B．

4．如图，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合．如果甲尺经校定

是直的，那么乙尺是直的吗？

为什么？

．

5．如下右图，在自来水主水管道AB的两旁有两个住宅小区C、D，现要在主水管道上开一个接口P往C、D两小区铺设水管，为节约铺设水管的用料，接口P应开在水管AB的什么位置，在图中画出来，并说明依据的数学道理是．

6．在同一平面内，3条直线两两相交，最多有三个交点，则4条直线两两相交，最多有个交点；5条直线两两相交，最多有个交点；2012条直线两两相交，最多有个交点．

8.（2012·盘锦模拟）有下列说法：

①一根拉得很紧的细线就是直线;②直线的一半是射线;③线段AB和线段BA表示同一条线段;④射线AB和射线BA表示同一条射线,其中正确的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

9.（2011·崇左）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是______.

10.（2012·菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC使BC=3cm，则线段AC=______.

11.★★★（2012·随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的

三点最多确定三条直线.若平面内不同的n个点最多可确定15条

直线，则n的值为______.

12．如图，下列说法中不能判断点C是线段AB中点的是（）

A．AC=CBB．AB=2ACC．AC+CB=ABD．CB=

AB

13．如图AB=8cm，点C是AB的中点，点D是CB的中点，则AD=____cm．

14．如图所示，点C在线段AB上，线段AC=6cm,BC=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点．

（1）求线段MN的长度；

（2）根据

（1）的计算和结果，设AC+BC=a,其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？

15．如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，CD=8．

（1）求线段AB、线段BC的长度；

（2）若M是AD中点，求线段AM、线段MC的长度．

16、判断：

（1）.射线AO与射线OA是同一条射线。

（　）

（2）.平面上有三个点.经过每两个点画直线，一定可以画出三条直线。

（）

（3）.连结两点的线段叫做两点之间的距离。

（　）

（4）.经过两点的直线有无数条。

（）

（5）.在直线上取一点可得两条射线，取两点可得四条射线。

（）

（6）.延长线段AB到C，使AB=AC。

（）

（7）.AB=BC,则点B是线段AC的中点。

（）

17、如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（　）

A．8cmB．2㎝C．4cmD．不能确定

18、如果线段AB=12cm，PA+PB＝14cm，那么下面说法正确的是（）

A．P点在线段A

B上B．P点

在直线AB上C．

P点在直线AB外

D．P点可能在直线AB上，也可能在直线AB外

19、已知点C是线段AB的中点，AB的长度为10cm，则AC的长度为_________cm

20、已知点A、点B、点C是直线上的三个点，则下图中有_____条线段，有____射线，有_________条直线。

ABC

若一条直线上有

个点（

的自然数），共有条线段，条射线。

21、如右图，直线L上四个点A、B、C、D，则：

AD=BD＋=CD＋

BC=BD－=AC－

考点二：

角的相关知识点

二-1：

角的概念

例1．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形有______个．

例2．

（1）如图以OA为一边的角有哪几个?

请按大小顺序用“＜”号连接这些角．

（2）如图中∠AOC=+∠BOC

例3．如图，已知∠AOB，求作：

∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．按要求画图：

作法：

（1）画射线O'A'．

（2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA与C，交OB于D．

（3）以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于C'．

（4）以点C'为圆心，以CD长为半径圆弧，交前一条弧于D'．

（5）经过点D'画射线O'B'．∠A'O'B'即为所求的角．

问题1作图区

练习：

1．已知∠1=17°18′，∠2=17．18°，∠3=17．3°，则∠1、∠2、∠3按由大到小的顺序排列为_____．

2．

如下左图，图中共有_________个小于平角的角．

3．如上右图，①∠AOC等于与的和．

②∠AOB是与的差或与的差；

③如果∠AOC=∠BOD，那么∠AOB与∠COD的大小关系是．

4．如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，若∠AOD=3∠FOD，∠AOE=120°，则∠EOC的度数为（）

A．30°B．40°C．20°D．15°

（第4题图）（第2题图）（第5题图）

A．4B．3C．2D．1

5．如图，∠AOB=∠COD=90o，∠BOC=7∠BOD，则∠BOD的度数为（）

A．10°B．15°C．20°D．25°

6．已知∠AOB=3∠BOC,若∠BOC=30°，则∠AOC等于_____________．

7：

如图共有几条射线?

共有几个角？

分别表示出来？

如果有

条射线，那么共有多少个角？

8.（2012·佛山中考）比较两个角的大小,有以下两种方法（规

则）:

①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则角度大的角大;

②构造图形,如果一个角包含（或覆盖）另一个角,则这个角大.

对于如图给出的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们

的大小.

注:

构造图形时,作示意图（草图）即可.

二-2：

角度的换算

2）．度、分、秒的换算：

　，

说明：

①度、分、秒是常用的角的度量单位；

②度、分、秒的进率是60进制．（与时间的单位时、分、秒的换算类似）

例1．

（1）.36．33º=______º_______´________"．

．

（2）0．75°=______′

（3）78°54′=_______°

（4）1800″＝　　′=_____°

（5）34．57°＝_______度______分______秒

（6）108°2′24″＝________度

（7）17°25′和17．25°相等吗？

为什么

例2.8时30分时，钟表的时针与分针的夹角是多少度？

例3.（2012·通辽）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）

A.55°B.65°

C.70°D.以上结论都不对

练习：

1.角的度量单位是：

__________________;10=__________‘1’=_____________"

2．

=

3.

4.时间是2：

30时针与分针的夹角是____°，时间是11：

10时针与分针的夹角是____

5．计算:

（1）78°32′－51°47′＝____________；

（2）45°37′29″－11°23′26″×3＝．

三-3：

角平分线

例1.如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就是

∠AOB的角平分线．

∠AOC=∠=

∠，或∠AOB=2∠=2∠．

例2．如图,∠AOB=110°,∠COD=70°,OA平分∠EOC,OB平分

∠DOF,求∠EOF的大小.

例3.（2011·邵阳中考）如图所示,已知O是直线AB上一点,

∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是（　　）

A.20°B.25°C.30°D.70°

例4.（2012·通辽中考）4点10分,时针与分针所夹的小于平角的角

为（　　）

A.55°B.65°

C.70°D.以上结论都不对

.

例5．如图，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=21°，OE平分∠AOD,求∠BOE的度数．

练习：

1、已知

AOB=80o，OC是

AOB的平分线，则

AOC=。

2、把一个平角分成三等份，两旁两个角的角平分线所成的角的度数为。

3、如图，∠AOD=900，OC是∠AOD内的一条射线，OB是∠AOC的平分线，

∠AOB=300。

求：

∠AOC、∠COD的度数。

4．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=50°，∠BOC=10°，

求∠AOD的度数．

四-4：

互余，互补

例1．

（1）如果∠α+∠β=90°那么∠α与∠β；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=；∠α=

（2）如果∠α+∠β=180°那么∠α与∠β；反过来，∠α与∠β互补，那么，∠α+∠β=；∠β=．

例2．如图，如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？

为什么？

例3．如图：

OC⊥AB，OD⊥OE，垂足均为O，图中互余的角有几对，互补的角有几对？

把它们写出来．

例4：

1）图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？

2）：

图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？

3）．如果∠1＝30°，∠2＝25°，∠3＝35°，那么∠1、∠2、∠3这三个角称为互为余角．（）

4）．两块直角三角板中∠B＝30°，∠E＝60°，∠B与∠E互为余角．（　　）

例5　如图，如果∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3相等吗？

为什么？

3.如图，如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互为补角，那么∠β与∠γ相等吗？

为什么？

例4．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．

练习：

1．如果一个角等于36°，那么它的余角是；它的补角是_____．

2．因为∠1和∠2互余，所以∠2=___-∠1；因为∠1和∠2互补，所以∠1=-∠2．

3．∠α的余角为47°37′57″，则∠α的补角________．

4．下列图形中，

和

互为余角的是（）

A．B．C．D．

5、判断

（1）两个互补的角中必有一个是钝角（）

（2）两个互余的角都是锐角（）

（3）一个角的补角一定比这个角大（）

6、若∠α+∠β=90°,∠β+∠γ=90°，则∠α与∠γ的关系是（）

A、互余B、互补C、相等D、没有关系

7、

（1）75°40′30″的余角是_______（用度分秒表示）；补角是_______（用度表示）；

（2）、若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3的理由是____________________。

若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，则∠2=∠4的理由是________________

8．一个角的余角与这个角的补角的和比平角的

多1°，求这个角．

9．已知一个角的余角比这个角的补角的

还小12°，求这个角余角和补角的度数．

10．如下左图，∠AOB=∠COD=90°，则∠BOC与∠AOD有怎样的大小关系？

为什么？

11．如上右图，AB是直线，O是AB上一点，∠AOE和∠FOD都是直角，OB平分∠DOC，则图中与∠DOE互余的角为，与∠DOE互补的角有．．

12.1）如图1，∠AOC＝900，∠BOD＝900，则∠１与∠３的关系是_

____，其理由是______

2）．如图2，∠1＋∠2＝180º，∠3＋∠4＝180º，若∠1=∠3，则∠2与∠4的关系是_______，其理由是__

13.已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°，求∠α、∠β的度数．

14、如图l－4－19所示，将书页折过去，使角顶点A落在A′处，BC为折痕，BD

为∠A′BE的平分线，求∠CBD的度数．

二-5：

对顶角

1、一对角，它们的顶点重合，它们的两条边互为反向延长线。

我们把这样的两个角叫做互为对顶角。

其中一个角叫做另一个角的对顶角。

2、对顶角的性质：

对顶角相等。

例1．下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）  

例2．如图1，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠AOF的对顶角是（）

A．∠BCDB．∠EOBC．∠COED．∠AOC

例3．

（1）如图2，下列说法中不正确的是（）

A．∠1与∠2是对顶角B．∠2与∠3互余C．∠1与∠3互余D．∠3与∠4是对顶角

图3

（2）如图3，直线AB、CD相交于O，∠AOC+∠BOD=210°，则∠BO