函数的周期性对称性和图像0309.docx
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函数的周期性对称性和图像0309
一、1．已知定义在R上的函数满足：
对任意，则
A．B．0C．1D．3
2．定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则与的大小关系是（）
A．B．
C．D．
3．设是周期为2的奇函数，当时，，则等于（）
A．B．C．D．
4．设是定义在上的奇函数，且满足，则（）
A．0B．1C．2D．3
5．已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程解的个数是（）
A．10B．9C．8D．7
二、1．定义在上的函数有反函数，若有恒成立，则的值为（）
A．0B．2C．-2D．不能确定
2．若函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则称具有性质.已知为常数，函数，，对于命题：
①存在，使得具有性质；②存在，使得具有性质，下列判断正确的是（）
A．①和②均为真命题B．①和②均是假命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
3．若函数的表达式为，则函数的图象的对称中心为，已知函数，求（）
A．-2017B．2017C．-2018D．2018
4．已知M是函数在上的所有零点之和，则M的值为（）
A．4B．6C．8D．10
5．定义在上的函数的图象关于直线对称，且函数是偶函数，若当时，则函数在区间上的零点个数为（）
A．4032B．4034C．2017D．2018
三、1．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．现有四个函数：
①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①
3．函数（实数为常数，且）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象大致是（）
A．B．
C．D．
5．函数的图像大致为（）
A．B．
C．D．
答案：
一、1．B
【解析】试题分析：
，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
考点：
函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.
【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：
若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.
2．B
【解析】由题设可得，所以，即函数是最小正周期为的周期函数；又（否则与题设矛盾），即，所以；又因为，且，所以，则函数在上单调递增，故，应选答案B．
点睛：
解答本题的思路是先探究出函数在区间上是单调递增，进而再搞清楚（否则与题设矛盾），也即，最终得到，然后借助函数在区间上是单调递增，求出，从而使得问题获解．
3．C
【分析】由题意得，代入已知条件进行运算．
【详解】∵是周期为2的奇函数，当时，，
∴.故选：
C
【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值，属于基础题．
4．A
【分析】由函数为R上的奇函数知，由可求及函数周期，即可求解.
【详解】,且是定义在上的奇函数，
，，即函数周期，由函数为R上的奇函数知，，，，
故，故选：
A
【点睛】本题考查函数值的求法，涉及函数奇偶性，周期性，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5．D
【分析】根据方程根的个数等价于图象交点个数，采用数形结合可得结果.
【详解】由，所以，可知函数的周期为4，又函数是上的奇函数，所以——且，对称轴为，方程根的个数等价于图象交点个数
如图
可知共有7个交点。
故选：
D
【点睛】本题考查函数与方程的应用，属中档题.
二、1．A
【分析】由已知可得图像关于，可得关于对称，根据对称性，即可求解.
【详解】定义在上的函数有恒成立，
图像关于对称，关于对称，
.故选:
A,
【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.
2．B
【分析】通过函数的图象与位置关系，可得出是否具有性质，对于函数，设通过求解方程，判断方程是否存在的解，即可得出结论.
【详解】，，定义域为，
当恒成立，
第一象限图象恒在直线上方，
因此不存在不同的两点关于图像对称，
因为是奇函数，由图象的对称性，
不存在不同的两点关于图像对称，
所以不具有性质；
是奇函数，只需判断时，是否具有性质即可，
设，令，
，当时，方程无解，
当，（舍去负值），
此时，以方程的解为坐标的点在上，
即方程不存在的解，所以不满足题意中存在不同的两点.
所以不具有性质.故选:
B.
【点睛】本题以新定义为背景，考查函数的性质，解决问题可通过几何方法转化为函数的图象特征，或代数方法转化为方程零点问题，属于较难题.
3．C
【分析】由所给函数性质可得关于成中心对称，即可求出函数值.
【详解】关于成中心对称，
又，
，故选：
C
【点睛】本题主要考查了函数中心对称的性质，分组求和的方法，属于中档题.
4．D
【分析】将函数的零点，转化为两个函数的图象的交点的横坐标，利用函数的对称性求解.
【详解】令
得
在同一坐标系中，分别作出函数的图象.
由图可知：
在上的所有零点有10个，关于对称，所以所有零点之和M=10。
故选：
D
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
5．A
【分析】根据函数的奇偶性、对称性和图像变换可得函数是周期为2的偶函数.再根据函数与函数的图像的交点个数可得答案.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，函数的图象是由函数的图象向右平移两个单位长度得到的，
所以函数的图象关于直线对称，所以函数是偶函数，所以.
因为函数是偶函数，所以，所以，所以函数是周期为2的偶函数.
由时，可作出与的图象如图所示，
可知每个周期内有2个交点，所以函数在区间上的零点个数为.故选：
A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.
三、1．C
【分析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.
【详解】①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；
又时，，则函数过点，故B错误；
②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；
又时，，则函数过点，故C正确；故选：
C
【点睛】本题主要考查了判断指数型函数的图象形状以及函数图象的变换，属于基础题.
2．A
【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】解：
①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A．
【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．
3．B
【分析】先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.
【详解】由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C，
函数的导数f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex，
当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D，故选B．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．C
【解析】去掉A,B；所以选C.
5．A
【详解】函数y=e|x|⋅sinx，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B.C，
当x∈（0,π）,函数y=e|x|⋅sinx>0，函数的图象在第一象限，排除D，
本题选择A选项.
点睛：
函数图象的识辨可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
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