推荐学习年秋高中数学课时分层作业解三角形的实际应用举例新人教A版必修.docx
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推荐学习年秋高中数学课时分层作业解三角形的实际应用举例新人教A版必修
推荐学习年秋高中数学课时分层作业解三角形的实际应用举例新人教Ａ版必修
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课时分层作业（四）解三角形的实际应用举例
（建议用时：
４0分钟）
[学业达标练]
一、选择题
１．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图1 2 9,测得AC的长度为4m，∠A＝3０°，则其跨度AＢ的长为（ ）
图1 2９
A.12 m B.8 m
Ｃ．3mＤ.4ｍ
D[由题意知，∠A=∠B＝３0°,
所以∠C＝180°-3０°－30°=12０°,
由正弦定理得,
＝
即AB＝
==4
.]
2.一艘船自西向东匀速航行,上午１０时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔６8nmilｅ的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为（ ）
【导学号：
91４3２052】
Ａ．
n miｌe/h ﻩB.3４nｍile/ｈ
C． nmiｌｅ／hD．34
nmile／h
A [如图所示,在△ＰMN中,
=
∴MN=＝34
，
∴ｖ＝
＝n ｍｉle/h.]
3．如图1 2 1０，要测量河对岸A，Ｂ两点间的距离,今沿河岸选取相距40米的Ｃ,D两点,测得∠ACB=6０°,∠BCD=4５°,∠ADB=60°,∠ADC＝３0°，则Ａ,Ｂ间距离是（）
图１２ 10
A.2０米 ﻩＢ.２0米
Ｃ.2０
米 Ｄ．4０
米
C[可得DB＝DC=40,由正弦定理得AD＝20（
＋1）,∠ADＢ＝6０°,所以在△ADB中，由余弦定理得ＡB＝20
（米）.]
４.在地面上点D处，测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部Ｂ的仰角分别为６0°和30°,已知建筑物底部高出地面D点2０ｍ，则建筑物高度为（ ）
【导学号：
914３2053】
A．20 mﻩB．３０m
C.40mD．60m
C [如图，设Ｏ为顶端在地面的射影,在Rt△BOＤ中，∠ＯDＢ=3０°,OB＝2０,ＢD＝4０，OD=2０
，
在Ｒt△AＯD中，OA＝ＯD·tan60°=60，∴AＢ=OA－OB＝40（ｍ）.]
5.如图1 2 11所示,在地面上共线的三点A，Ｂ,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°，6０°，且ＡB=ＢＣ=６0ｍ,则建筑物的高度为（ ）
【导学号:
9１４32０54】
图1 2 11
A.15mﻩB．20m
C．25 ｍD.３0 m
D[设建筑物的高度为ｈ，由题图知，
PＡ＝2h，PB=h，PＣ＝
h，
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理，
得ｃｏs∠PＢA＝, ①
cos∠PBC＝
. ②
∵∠PＢA＋∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cｏs∠PＢC=0. ③
由①②③，解得ｈ=30
或ｈ=-３0
（舍去）,即建筑物的高度为3０
m．]
二、填空题
6.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为３0°,则坡底要伸长＿_＿_____千米．
[如图,∠ＢAＯ＝７5°，∠C＝３0°，AB=1，
∴∠ＡBC=∠BAO－∠ＢCA＝75°-3０°=45°.
在△ABC中，
＝,
∴ＡC=
＝
=
（千米）．]
7.如图1２ 12，在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点Ａ，B到点C的距离ＡC＝BC=１ｋm,且C=120°,则A,Ｂ两点间的距离为_＿___＿_＿ kｍ.
【导学号：
91４32055】
图1 2 12
[在△ABC中，易得A=３0°,由正弦定理
＝，得ＡB=
=2×1×
=
（km）．]
8.如图１ 2 13所示，为测量一树的高度,在地面上选取Ａ,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为３0°和45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为_____＿_＿m.
图1２ 13
３０＋3０
［由正弦定理可得=
则ＰB=
＝
（ｍ）,设树的高度为h，则h=PＢsin4５°=（３0+30
）m.]
三、解答题
9.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为
的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADＢ=３０°，∠BDC=30°,∠DCA=60°，∠ACB=45°,如图1 2１４所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
图1２ 14
[解] 法一：
∵∠ＡＤC=∠ＡＤB+∠ＣDB=60°，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝６０°.
∴AD＝CD＝
a.
在△BCD中,∠DBC＝１80°-30°-1０５°=4５°，
∵＝，
∴BD＝CＤ·＝
ａ·
＝
a，在△ADB中，
∵AB2＝AD2＋BD２-2·AD·ＢＤ·ｃos∠ADB=ａ2+
２－2×a·a·
＝
a２.
∴AB=a.
∴蓝方这两支精锐部队的距离为
a.
法二:
同法一,得AD=DC=ＡＣ=
ａ.
在△BＣD中，∠DBC=４５°，
∴=
.
∴BC=
a.
在△ABC中，∵AＢ2=ＡC2+BC2－2AC·ＢＣ·cos45°
=
a2＋
a２－2×a·
ａ·
=
ａ２，
∴AB=
ａ．
∴蓝方这两支精锐部队的距离为
ａ．
10.江岸边有一炮台高3０ m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为４５°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角,求两条船之间的距离.
【导学号：
914３2056】
[解]如图所示，∠CBD=30°,∠ADB＝30°,∠ACB=45°.
∵AＢ＝3０（ｍ），
∴ＢC=30（ｍ），
在Ｒt△ＡBD中，BD==３０
（ｍ）．
在△BＣＤ中,CＤ2=BC2＋BD2-2BＣ·BD·cos3０°＝９０0，
∴CD=30（m）,即两船相距3０m.
［冲Ａ挑战练]
１．如图1 2 15,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,３０°,此时气球的高度AD是60 ｍ,则河流的宽度BC是（ ）
【导学号：
９１４32０57】
图1 2１5
A．24０（
－1）ｍ
B.18０（-１） ｍ
C．120（
-1）ｍ
Ｄ.３0（
＋1） m
C[由题意知,在Rt△ADＣ中,∠C＝３0°,AD=60m，
∴AC＝１20 m．在△ＡＢＣ中,∠BAＣ=75°－30°＝45°，∠ABC＝1８0°-45°-3０°=１05°，由正弦定理，得BＣ＝
=
=120（
－1）（m）．]
2．如图1 2 16所示,要测量底部不能到达的某电视塔ＡB的高度，在塔的同一侧选择C,Ｄ两个观测点，且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为４5°,30°,在水平面上测得∠ＢCD＝1２0°，C，Ｄ两地相距５00ｍ,则电视塔AB的高度是（ ）
图１ 2１６
Ａ．1０0 m B.4０0m
C．200 m Ｄ．500m
D[设AＢ＝x，在Ｒt△ＡBC中，∠ACＢ＝45°,∴ＢＣ=AB＝x.在Ｒt△ABD中，∠AＤB＝30°,∴BD=
x.在△BＣD中，∠BCD＝1２0°,CＤ=500m,由余弦定理得（
ｘ）2=x２+5002－２×500xcoｓ 1２0°，解得x=500m.］
3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心３０千米内的地区为危险区，城市Ｂ在A的正东4０千米处,B城市处于危险区内的时间为＿_＿____＿小时.
【导学号:
91432058】
1 [设A地东北方向上存在点Ｐ到B的距离为３０千米，ＡP＝x,在△ABＰ中,PＢ2＝AP2+AＢ2－2AP·ＡＢ·cosＡ，
即30２＝ｘ２＋40２－2x·4０ｃos4５°，
化简得x2-４０
ｘ+70０＝0,
|ｘ1-ｘ２|2=（ｘ1＋x2）2-4x1x2＝400,
|x1-x2｜=20，
即图中的ＣD=2０（千米）,
故t=
＝＝1（小时）．]
４．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东６0°方向的B处，两船相距an mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的
倍,则甲船应沿___＿____方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了_____＿_＿nmilｅ．
【导学号：
914３205９】
北偏东30° ａ [如图所示,设在Ｃ处甲船追上乙船,乙船到C处用的时间为ｔ，乙船的速度为v,则ＢC=tｖ,AＣ=
tv，又B＝１2０°,则由正弦定理=
得
=
，∴ｓｉn∠ＣAB=
，
∴∠CAＢ=30°,∴甲船应沿北偏东3０°方向行驶.又∠ＡCB＝18０°-１2０°-30°＝30°,
∴BC＝AB=aｎ mｉlｅ,
∴AC＝
＝
=a（nmｉle）]
５．山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M,N间的距离，无人机沿水平方向在A,B两点进行测量，A，B,M,N在同一个铅垂平面内（如图1 2 17），无人机能够测量的数据有俯角和A，Ｂ间的距离,请设计一个方案，包括:
①指出需要测量的数据（用字母表示,并在图中标出）;②用文字和公式写出计算M，Ｎ间的距离的步骤．
图1 2 17
［解］方案一:
①需要测量的数据有：
A点到Ｍ,Ｎ点的俯角α1,β1;Ｂ点到Ｍ,N的俯角α２,β２;Ａ，B间的距离d．
②第一步：
计算ＡM．由正弦定理AM=;
第二步：
计算AN.由正弦定理AN=
；
第三步：
计算MN.由余弦定理
MN＝
．
方案二：
①需要测量的数据有：
A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B间的距离ｄ．
②第一步:
计算BM.由正弦定理ＢM＝；
第二步:
计算BＮ.由正弦定理BＮ=;
第三步：
计算ＭN.由余弦定理
MN=
.
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