中考数学专题复习讲座 第三讲 整式.docx

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中考数学专题复习讲座第三讲整式

2013年中考数学专题复习第三讲：

整式

【基础知识回顾】

一、整式的有关概念：

：

由数与字母的积组成的代数式

1、整式：

多项式：

。

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：

①定义：

所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：

把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【名师提醒：

1、单独的一个数字或字母都是式。

2、判断同类项要抓住两个相同：

一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。

】

二、整式的运算：

1、整式的加减：

①去括号法则：

a+（b+c）=a+,a-（b+c）=a-.

②添括号法则：

a+b+c=a+（），a-b-c=a-（）

③整式加减的步骤是先，再。

【名师提醒：

在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：

括号前是负号去括号时括号内每一项都要。

】

2、整式的乘法：

①单项式乘以单项式：

把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：

用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m（a+b+c）=。

③多项式乘以多项式：

先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）（a+b）=。

④乘法公式：

Ⅰ、平方差公式：

（a＋b）（a—b）＝，

Ⅱ、完全平方公式：

（a±b）2=。

【名师提醒：

1、在多项式的乘法中有三点注意：

一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。

2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。

】

3、整式的除法：

①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。

即（am+bm）÷m=。

三、幂的运算性质：

1、同底数幂的乘法：

不变相加，即：

aman＝（a＞0，m、n为整数）

2、幂的乘方：

不变相乘，即：

（am）n＝（a＞0，m、n为整数）

3、积的乘方：

等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。

即：

（ab）n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。

4、同底数幂的除法:

不变相减，即：

am÷an＝（a＞0，m、n为整数）

【名师提醒：

运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，（-a）n=（n为奇数），（-a）n=（n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:

已知3m=4,2n=3,则9m8n=。

】

【重点考点例析】

考点一：

代数式的相关概念。

例1（2012•珠海）计算-2a2+a2的结果为（　　）

A．-3aB．-aC．-3a2D．-a2

考点：

合并同类项．专题：

推理填空题．分析：

根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案．解答：

解：

-2a2+a2

=-a2，

故选D．点评：

本题考查了合并同类项法则的应用，注意：

系数是-2+1=-1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目．

对应训练

1．（2012•莆田）如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab=．

考点：

同类项．专题：

计算题．分析：

根据同类项的定义可知，相同字母的次数相同，据此列出方程即可求出a、b的值．解答：

解：

∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，

∴a+1=3b=3，

解得a=2b=3，

则ab=23=8．

故答案为：

8．点评：

本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同”：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．

2．（2012•桂林）计算2xy2+3xy2的结果是（　　）

A．5xy2B．xy2C．2x2y4D．x2y4

考点：

合并同类项．专题：

计算题．分析：

根据合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可．解答：

解：

2xy2+3xy2=5xy2．

故选A．点评：

此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键．

考点二：

整式的运算。

例2（2012•宿迁）求代数式（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-4ab的值，其中a=1，b=

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．

专题：

计算题．

分析：

先用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入计算即可．

解答：

解：

原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2，

当a=1，b=

时，

原式=2×12=2．

点评：

本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用．

对应训练

2．（2012•贵阳）先化简，再求值：

2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．

专题：

探究型．

分析：

先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-3，b=

代入进行计算即可．

解答：

解：

原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）

=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab

=2ab，

当a=-3，b=

时，原式=2×（-3）×

=-3．

点评：

本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．

考点三：

幂的运算。

例3（2012•南平）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2=a5B．a5÷a4=aC．a•a4=a4D．（ab2）3=ab6

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：

利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案．

解答：

解：

A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误；

B、a5÷a4=a5-4=a，故选项正确；

C、a•a4=a4+1=a5，故选项错误；

D、（ab2）3=a3b6，故选项错误．

故选B．

点评：

本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．

对应训练

3．（2012•衢州）下列计算正确的是（　　）

A．2a2+a2=3a4B．a6÷a2=a3C．a6•a2=a12D．（-a6）2=a12

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

专题：

计算题．

分析：

分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．

解答：

解：

A、2a2+a2=3a2，故本选项错误；

B、a6÷a2=a4，故本选项错误；

C、a6•a2=a8，故本选项错误；

D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．

考点四：

完全平方公式与平方差公式

例4（2012•衡阳）下列运算正确的是（　　）

A．3a+2a=5a2B．（2a）3=6a3

C．（x+1）2=x2+1D．x2-4=（x+2）（x-2）

考点：

完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式．

专题：

计算题．

分析：

根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识，分别运算各选项，从而可得出答案．

解答：

解：

A、3a+2a=5a，故本选项错误；

B、（2a）3=8a3，故本选项错误；

C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；

D、x2-4=（x+2）（x-2），故本选项正确；

故选D．

点评：

此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键．

例5（2012•遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）

A．2cm2B．2acm2C．4acm2D．（a2-1）cm2

考点：

完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．

专题：

计算题．

分析：

根据题意得出矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，求出即可．

解答：

解：

矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，

=a2+2a+1-（a2-2a+1），

=4a（cm2），

故选C．

点评：

本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大．

对应训练

4．（2012•哈尔滨）下列运算中，正确的是（　　）

A．a3•a4=a12B．（a3）4=a12

C．a+a4=a5D．（a+b）（a-b）=a2+b2

考点：

平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

专题：

探究型．

分析：

分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可．

解答：

解：

A、a3•a4=a7，故本选项错误；

B、（a3）4=a12，故本选项正确；

C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；

D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项错误．

故选B．

点评：

本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．

5．

10．（2012•绵阳）图

（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mnB．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2

考点：

完全平方公式的几何背景．

分析：

先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．

解答：

解：

由题意可得，正方形的边长为（m+n），

故正方形的面积为（m+n）2，

又∵原矩形的面积为4mn，

∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．

故选C．

点评：

此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．

考点四：

规律探索。

例6（2012•株洲）一组数据为：

x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．

考点：

单项式．专题：

规律型．

分析：

通过观察题意可得：

n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，2的指数为（n-1）．由此可解出本题．

解答：

解：

依题意得：

（1）n为奇数，单项式为：

2n-1xn；

（2）n为偶数时，单项式为：

-2n-1xn．

综合

（1）、

（2），本数列的通式为：

（-2）n-1•xn．

故答案为：

（-2）n-1xn．

点评：

本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．

对应训练

6．（2012•盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：

a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（　　）

A．-1005B．-1006C．-1007D．-2012

考点：

规律型：

数字的变化类．专题：

规律型．分析：

根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于

，n是偶数时，结果等于

，然后把n的值代入进行计算即可得解．

解答：

解：

a1=0，

a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，

a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，

a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，

a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2，

…，

所以，n是奇数时，an=

，n是偶数时，an=

，

a2012=

=-1006．

故选B．

点评：

本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．

【聚焦山东中考】

1．（2012•济宁）下列运算正确的是（　　）

A．-2（3x-1）=-6x-1B．-2（3x-1）=-6x+1

C．-2（3x-1）=-6x-2D．-2（3x-1）=-6x+2

考点：

去括号与添括号．分析：

利用去括号法则，将原式去括号，进而判断即可得出答案即可．解答：

解：

A．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-1错误，故此选项错误；

B．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x+1错误，故此选项错误；

C．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-2错误，故此选项错误；

D．-2（3x-1）=-6x+2，故此选项正确；

故选：

D．点评：

此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键．

2．（2012•济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（　　）

A．2x-3B．2x+9C．8x-3D．18x-3

考点：

整式的加减．

分析：

首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解．

解答：

解：

原式=10x-15+12-8x

=2x-3．

故选A．

点评：

本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．

3．（2012•威海）下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6B．a5+a5=a10C．a÷a-2=a3D．（-3a）2=-9a2

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．

分析：

利用同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．

解答：

解：

A、a3•a2=a5，故本选项错误；

B、a5+a5=2a5，故本选项错误；

C、a÷a-2=a1-（-2）=a3，故本选项正确；

D、（-3a）2=9a2，故本选项错误．

故选C．

点评：

此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键．

4．（2012•聊城）下列计算正确的是（　　）

A．x2+x3=x5B．x2•x3=x6C．（x2）3=x5D．x5÷x3=x2

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：

根据合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：

底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：

底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．

解答：

解：

A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；

B、x2•x3=x2+3=x5，故此选项错误；

C、（x2）3=x6，故此选项错误；

D、x5÷x3=x2，故此选项正确；

故选：

D．

点评：

此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

5．（2012•临沂）下列计算正确的是（　　）

A．2a2+4a2=6a4B．（a+1）2=a2+1

C．（a2）3=a5D．x7÷x5=x2

考点：

完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

分析：

根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．

解答：

解：

A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；

B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；

C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；

D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．

故选D．

点评：

本题考查了完全平方公式：

（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．

6．（2012•东营）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（　　）

A．

B．

C．-3D．

考点：

同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．

分析：

由3x=4，9y=7与3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．

解答：

解：

∵3x=4，9y=7，

∴3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=

．

故选A．

点评：

此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x-2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．

7．（2012•滨州）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S-S=22013-1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）

A．52012-1B．52013-1C．

D．

考点：

同底数幂的乘法．

专题：

整体思想．

分析：

根据题目提供的信息，设S=1+5+52+53+…+52012，用5S-S整理即可得解．

解答：

解：

设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，

因此，5S-S=52013-1，

S=

．

故选C．

点评：

本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用．

8．（2012•德州）化简：

6a6÷3a3=2a3

．

考点：

整式的除法．

分析：

单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可．

解答：

解：

6a6÷3a3

=（6÷3）（a6÷a3）

=2a3．

故答案为：

2a3．

点评：

本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．

9．（2012•滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式a4•a2=a6（答案不唯一）

．

考点：

幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．

专题：

开放型．

分析：

根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求．注意答案不唯一．

解答：

解：

a4•a2=a6．

故答案是a4•a2=a6（答案不唯一）．

点评：

本题考查了同底数幂的乘方，解题的关键是注意掌握同底数幂的运算法则．

10．（2012•济宁）某种苹果的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了5千克，应找回元．

考点：

列代数式．分析：

单价×重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱．解答：

解：

根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回（100-5x）元．

故答案为（100-5x）．点评：

此题考查列代数式，属基础题，简单．

12．（2012•菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：

23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，

则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是．

考点：

规律型：

数字的变化类．专题：

规律型．分析：

首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，问题得以解决．解答：

解：

解：

由23=3+5，分裂中的第一个数是：

3=2×1+1，

33=7+9+11，分裂中的第一个数是：

7=3×2+1，

43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：

13=4×3+1，

53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：

21=5×4+1，

63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：

31=6×5+1，

所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6-1）=41．

故答案为：

41．点评：

本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•南昌）在下列表述中，不能表示代数式“4a”的意义的是（　　）

A．4的a倍B．a的4倍C．4个a相加D．4个a相乘

考点：

代数式．分析：

说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．解答：

解：

A、4的a倍用代数式表示4a，故本选项正确；

B、a的4倍用代数式表示4a，故本选项正确；

C、4个a相加用代数式表示a+a+a+a=4a，故本选项正确；

D、4个a相乘用代数式表示a•a•a•a=a4，故本选项错误；

故选D．点评：

本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．

2．（2012•宜昌）根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，教育经费投入应占当年GDP的4%．若设2012年GDP的总值为n亿元，则2012年教育经费投入可表示为（　　）亿元．

A．4%nB．（1+4%）nC．（1-4%）nD．4%+n

考点：

列代数式．分析：

根据2012年GDP的总值为n亿元，教育经费投入应占当年GDP的4%，即可得出2012年教育经费投入．解答：

解：

因为2012年GDP的总值为n亿元，

教育经费投入应占当年GDP的4%，

所以2012年教育经费投入可表示为4%n亿元．

故选A．点评：

此题主要考查了列代数式，解此题的关键是根据已知条件找出数量关系，列出代数式．

3．（2012•安徽）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（　　）

A．（a-10%）（a+15%）万元B．a（1-10%）（1+15%）万元

C．（a-10%+15%）万元D．a（1-10%+15%）万元

考点：

列代数式．分析：

根据3月份的产值是a万元，用a把4月份的产值表示出来（1-10%）a，进而得出5月份产值列出式子（1-10%）a×（1+15%）万元，即可得出选项．解答：

解：

3月份的产值是a万元，

则：

4月份的产值是（1-10%）a万元，

5月份的产值是（1+15%）（1-10%）a万元，

故选：

B．点评：

此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用a把4、5月份的产值表示出来．

4．（2012•凉山州）若x是2的相反数，|y|=3，则x-y的值是（　　）

A．-5B．1C．-1或5D．1或-5

考点：

代数式求值；相反数；绝对值．分析：

根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算．解答：

解：

根据题意，得

x=-2，y=±3．

当x=-2，y=3时，x-y=-2-3=-5；

当x=-2，y=-3时，x-y=-2-（-3）=1．

故选D．点评：

此题考查求代数式的值，关键在根据相反数和绝对值的意义求x和y的值．

5．（2012•广州）下面的计算正确的是（　　）

A．6a-5a=1B．a+2a2=3a3C．-（a-b）=-a+bD．2（a+b）=2a+b

考点：

去括号与添括号；合并同类项．分析：

根据合并同类项法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：

如果括号外的因数是正数，去括号