章末检测三空间向量与立体几何人教A版高中数学选修21优化练习.docx

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章末检测三空间向量与立体几何人教A版高中数学选修21优化练习

章末检测（三）　空间向量与立体几何

时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．向量a＝（－1,0,1），b＝（1,2,3），若ka－b与b垂直，则实数k＝（　　）

A．7　　　　　　　　　B．－7

C．6D．－6

解析：

ka－b＝k（－1,0,1）－（1,2,3）＝（－k－1，－2，k－3），若ka－b与b垂直，

则（ka－b）·b＝0，

即（－k－1）－4＋3（k－3）＝0，解得k＝7.

答案：

A

2．已知向量a＝（－2,3,2），b＝（1，－5，－1），则ma＋b与2a－3b相互垂直的充分必要条件是（　　）

A．－B.

C.D．－

解析：

∵ma＋b＝m（－2,3,2）＋（1，－5，－1）

＝（－2m＋1,3m－5,2m－1），

2a－3b＝2（－2,3,2）－3（1，－5，－1）＝（－7,21,7）．

∵（ma＋b）⊥（2a－3b）⇔（ma＋b）·（2a－3b）＝

0⇔－7（－2m＋1）＋21（3m－5）＋7（2m－1）＝0⇔m＝.

答案：

B

3.

如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用向量a，b，c表示向量等于（　　）

A．a＋b＋cB.a＋b＋c

C．a＋bD.a

解析：

＝＝＝a.

答案：

D

4．已知点A（1,2,1），B（－1,3,4），D（1,1,1），若＝2，则||的值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

设P（x，y，z）则＝（x－1，y－2，z－1），

＝（－1－x,3－y,4－z），

由＝2知x＝－，y＝，z＝3，

即P.

由两点间距离公式可得||＝.

答案：

C

5.设▱ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图所示，若＋＋＋＝x，则x＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

∵E为AC，BD的中点，

∴由中点公式得＝（＋），

＝（＋）．

∴＋＋＋＝4.从而x＝4.

答案：

C

6．已知a＝（1－t,1－t，t），b＝（2，t，t），则|b－a|的最小值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

b－a＝（1＋t,2t－1,0），

∴|b－a|2＝（1＋t）2＋（2t－1）2＋02

＝5t2－2t＋2＝52＋.

∴|b－a|＝.

∴|b－a|min＝.

答案：

C

7．已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，

即（7,5，λ）＝x（2，－1,3）＋y（－1,4，－2）

＝（2x－y，－x＋4y,3x－2y），

所以解得

∴λ＝3x－2y＝.

答案：

D

8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，

则sin〈，〉＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

建立如图所示坐标系，设正方体棱长为2.

可知＝（2，－2,1），

＝（2,2，－1）．

cos〈，〉＝－.

∴sin〈，〉＝.

答案：

A

9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是（　　）

A．0B.

C．－D.

解析：

建立如图所示的空间直角坐

标系，

则D1（0,0,3），B（2,2,0），A（2,0,0），C（0，2,0），

所以＝（－2，－2,3），＝（－2,2,0），

所以cos〈，〉＝＝0，

故选A.

答案：

A

10．若直线l的方向向量为（2,1，m），平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

∵l⊥α，

∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量．

∴＝＝.

∴m＝4.

答案：

C

11．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角ACDB的大小为（　　）

A．60°B．90°

C．120°D．150°

解析：

取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.

据题意知AE⊥CD.

AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.

且〈，〉为二面角的平面角，

由2＝（＋＋）2得

13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，

∴cos〈，〉＝－.

∴〈，〉＝120°.

即所求的二面角为120°.

答案：

C

12.

如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角PECD的平面角为时，则AE等于（　　）

A．1B.

C．2－D．2－

解析：

以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AE＝m.

D（0,0,0），P（0,0,1），A（1，0,0），B（1,2,0），E（1，m,0），C（0,2,0）

可取平面ABCD的一个法向量n1＝（0,0,1），

设平面PEC的法向量为n2＝（a，b，c），

＝（0,2，－1），

＝（1，m－2,0），

则

∴

∴

令b＝1得n2＝（2－m,1,2）．

cos〈n1，n2〉＝＝＝.

∴m＝2－.即AE＝2－.

答案：

D

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）

13．已知正方体ABCDA′B′C′D′中，则下列三个式子中：

①－＝；

②＝；

③＋＋＋＝.

其中正确的有________．

解析：

①－＝＋＝，正确；②显然正确；③＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋0≠，错误．

答案：

①②

14．若向量m＝（－1,2,0），n＝（3,0，－2）都与一个二面角的棱垂直，则m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________．

解析：

∵cos〈m，n〉＝

＝＝－.

∴二面角的余弦值为－或.

答案：

－或

15．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．

解析：

如图，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A（1,0,0），B（1,1,0），C1（0,1,1），易证是平面A1BD的一个法向量．

＝（－1,1,1），＝（－1,0,1）．

cos〈，〉＝＝.

所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.

答案：

16.如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．

解析：

建立坐标系如图，则B（1，1,0），O，＝（1,0,1）是平面ABC1D1的一个法向量．

又＝，

∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为

|cos〈，〉|

＝＝＝.

答案：

三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.

求证：

四边形EFGH是梯形．

解析：

∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴＝，＝.

∴＝－＝－

＝（－）

＝＝（－）

＝

＝＝.

∴∥且||≠||.

∴四边形EFGH是梯形．

18．（12分）如图，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．

求证：

平面BDE⊥平面ABCD.

证明：

设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点坐标为B（1,0,0），D（0,1,0），A（0,0,0），S（0,0,1），E.

设平面BDE的法向量为n1＝（x，y，z），

又＝（－1,1,0），＝，则

⇒

令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1,1,0）．

∵AS⊥底面ABCD，

∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝（0,0,1）．

∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.

19．（12分）如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，问：

当点Q在CC1的什么位置时，平面D1BQ∥平面AOP?

解析：

以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则O（1,1,0），P（0,0,1），A（2,0,0），B（2,2,0），D1（0,0,2），

设Q（0,2，z）（0≤z≤2），

那么＝（－1，－1,1），

＝（－2，－2,2），

∴∥，又B∉OP，∴OP∥BD1.

又＝（－2,0,1），＝（－2,0，z），

显然当z＝1时，∥，∵B∉AP，

∴AP∥BQ，此时平面AOP∥平面D1BQ.

∴当Q为CC1的中点时，平面AOP∥平面D1BQ.

20．（12分）

四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝AA1＝2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点．

（1）求证：

EF∥平面A1BC；

（2）求直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值．

解析：

（1）证明：

∵E，F分别是DD1，DA1的中点，

∴EF∥A1D1.

又A1D1∥B1C1∥BC，

∴EF∥BC，且EF⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

∴EF∥平面A1BC.

（2）∵AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设BC＝1.

则A（0,0,0），A1（0,0,2），C（2,1,0），D（0,2,0），D1（0，2,2），F（0,1,1），E（0,2,1），

∴＝（0,1,0），设平面A1CD的法向量n＝（x，y，z），则

取n＝（1,2,2），

则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

∴直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值等于.

21．（13分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.

（1）证明：

BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角DA1CE的正弦值．

解析：

（1）证明：

连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

（2）由AC＝CB＝AB得，

AC⊥BC.

以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

设CA＝2，

则D（1,1,0），E（0,2,1），A1（2,0,2），＝（1,1,0），＝（0,2,1），＝（2,0,2）．

设n＝（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，

则即

可取n＝（1，－1，－1）．

同理，设m＝（x2，y2，z2）是平面A1CE的法向量，

则即

可取m＝（2,1，－2）．

从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.

即二面角DA1CE的正弦值为.

22．（13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．

（1）证明：

A1O⊥平面ABC；

（2）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（3）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？

若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

解析：

（1）∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点，

∴A1O⊥AC.

又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊂平面A1AC，

∴A1O⊥平面ABC.

（2）连接OB，如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B（1,0,0），C（0,1,0），A1（0,0，），

A（0，－1,0）．

∴＝（0,1，－），

令平面A1AB的法向量为n＝（x，y，z），

则n·＝n·＝0，而＝（0,1，），＝（1,1,0），可求得一个法向量n＝（3，－3，）

∴|cos，n|＝＝＝，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.

（3）存在点E，且E为线段BC1的中点．

连接B1C交BC1于点M，连接AB1，OM，则M为B1C的中点，从而OM是△CAB1的一条中位线，OM∥AB1，又AB1⊂平面A1AB，OM⊄平面A1AB，

∴OM∥平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点．