章末检测三空间向量与立体几何人教A版高中数学选修21优化练习.docx

1、章末检测三空间向量与立体几何人教A版高中数学选修21优化练习章末检测(三)空间向量与立体几何时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1向量a(1,0,1)，b(1,2,3)，若kab与b垂直，则实数k()A7 B7C6 D6解析：kabk(1,0,1)(1,2,3)(k1，2，k3)，若kab与b垂直，则(kab)b0，即(k1)43(k3)0，解得k7.答案：A2已知向量a(2,3,2)，b(1，5，1)，则mab与2a3b相互垂直的充分必要条件是()A B.C. D解析：mabm(2,3,2)(1，

2、5，1)(2m1,3m5,2m1)，2a3b2(2,3,2)3(1，5，1)(7,21,7)(mab)(2a3b)(mab)(2a3b)07(2m1)21(3m5)7(2m1)0m.答案：B3.如图，在空间平移ABC到ABC，连接对应顶点，设a，b，c，M是BC的中点，N是BC的中点，用向量a，b，c表示向量等于()Aabc B.abcCab D.a解析：a.答案：D4已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是()A. B.C. D.解析：设P(x，y，z)则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即P.由两点间距离公式可得|.答案：C

3、5.设ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图所示，若x，则x()A2 B3C4 D5解析：E为AC，BD的中点，由中点公式得()，()4.从而x4.答案：C6已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A. B.C. D.解析：ba(1t,2t1,0)，|ba|2(1t)2(2t1)2025t22t252.|ba|.|ba|min.答案：C7已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析：a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)

4、y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.答案：D8在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin，()A. B.C. D.解析：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为2.可知(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：A9在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值是()A0 B.C D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)，所以(2，2,3)，(2,2,0)，所以cos，0，故选A.答案：A10若直线l的方向

5、向量为 (2,1，m)，平面的法向量为，且l，则m()A2 B3C4 D5解析：l，直线l的方向向量平行于平面的法向量.m4.答案：C11已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB，则二面角ACDB的大小为()A60 B90C120 D150解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F.据题意知AECD.AEBF，EF2，AB.且，为二面角的平面角，由2()2得1333423cos，cos，.，120.即所求的二面角为120.答案：C12.如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PDAD1，AB2，

6、点E是AB上一点，当二面角PECD的平面角为时，则AE等于()A1 B.C2 D2解析：以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AEm.D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1，0,0)，B(1,2,0)，E(1，m,0)，C(0,2,0)可取平面ABCD的一个法向量n1(0,0,1)，设平面PEC的法向量为n2(a，b，c)，(0,2，1)，(1，m2,0)，则令b1得n2(2m,1,2)cosn1，n2.m2.即AE2.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13已知正方体ABCDABCD中，则下列三个式子中：；.其中正确的有_

7、解析：，正确；显然正确；()()0，错误答案：14若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，则m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_解析：cosm，n.二面角的余弦值为或.答案：或15正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_解析：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：16. 如图正方体ABCDA1B1

8、C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立坐标系如图，则B(1，1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为|cos，|.答案：三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形解析：E，H分别是AB，AD的中点，.()().且|.四边形EFGH是梯形18(12分)如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD

9、，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.证明：设ABBCCDDAAS1，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点坐标为B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，又(1,1,0)，则令x1，可得平面BDE的一个法向量为n1(1,1,0)AS底面ABCD，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)n1n20，平面BDE平面ABCD.19(12分)如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，问：当点Q在CC1的什么位置时，平面D1BQ平面AOP?

10、解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，P(0,0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，设Q(0,2，z)(0z2)，那么(1，1,1)，(2，2,2)，又BOP，OPBD1.又(2,0,1)，(2,0，z)，显然当z1时，BAP，APBQ，此时平面AOP平面D1BQ.当Q为CC1的中点时，平面AOP平面D1BQ.20(12分)四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADAB，ADABAA12BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点(1

11、)求证：EF平面A1BC；(2)求直线EF与平面A1CD所成角的正弦值解析：(1)证明： E，F分别是DD1，DA1的中点，EFA1D1.又A1D1B1C1BC，EFBC，且EF平面A1BC，BC平面A1BC，EF平面A1BC.(2)AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设BC1.则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0，2,2)，F(0,1,1)，E(0,2,1)，(0,1,0)，设平面A1CD的法向量n(x，y，z)，则取n(1,2,2)，则sin |cosn，|，

12、直线EF与平面A1CD所成角的正弦值等于.21(13分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值解析：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n

13、(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.22(13分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由解析：(1)AA1A1CAC2，且O为AC中点，A1OAC.又侧面AA1C1C底面AB

14、C，交线为AC，A1O平面A1AC，A1O平面ABC.(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，A(0，1,0)(0,1，)，令平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，则nn0，而(0,1，)，(1,1,0)，可求得一个法向量n(3，3，)|cos ，n |，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.(3)存在点E，且E为线段BC1的中点连接B1C交BC1于点M，连接AB1，OM，则M为B1C的中点，从而OM是CAB1的一条中位线，OMAB1，又AB1平面A1AB，OM平面A1AB，OM平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点