江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数教师用书文苏教版.docx

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江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数教师用书文苏教版

2.4二次函数与幂函数

1.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.

②顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）.

③零点式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.

（2）二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）

图象

定义域

（－∞，＋∞）

（－∞，＋∞）

值域

单调性

在x∈上单调递减；

在x∈上单调递增

在x∈上单调递增；

在x∈上单调递减

对称性

函数的图象关于x＝－对称

2.幂函数

（1）定义：

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

（2）幂函数的图象比较

（3）幂函数的性质

①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；

②幂函数的图象过定点（1,1）；

③当α>0时，幂函数的图象都过点（1,1）和（0,0），且在（0，＋∞）上单调递增；

④当α<0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在（0，＋∞）上单调递减.

【知识拓展】

1.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时恒有f（x）>0，当时，恒有f（x）<0.

2.幂函数的图象和性质

（1）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.

（2）幂函数的图象过定点（1,1），如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.（　×　）

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.（　×　）

（3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.（　√　）

（4）函数y＝是幂函数.（　×　）

（5）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　√　）

（6）当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.（　×　）

1.（教材改编）若幂函数f（x）的图象经过点（2,2），则f（9）＝________.

答案　27

解析　设f（x）＝xα，则2α＝2，

∴α＝，∴f（x）＝.∴f（9）＝＝27.

2.（教材改编）设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值和为__________.

答案　4

解析　当α＝1,3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数；当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x≠0，x∈R}；当α＝时，y＝＝的定义域是{x|x≥0}.

∴满足题意的a值为1和3，其和为4.

3.（教材改编）函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，2]时是减函数，则f

（1）＝______.

答案　－3

解析　f（x）＝2（x－）2＋3－，由题意＝2，

∴m＝8，∴f

（1）＝2×12－8×1＋3＝－3.

4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.

答案　[1,2]

解析　如图，由图象可知m的取值范围是[1,2].

5.（教材改编）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减.

答案　y＝　（0，＋∞）

解析　设f（x）＝xa，则2a＝，∴a＝－，即幂函数的解析式为y＝，单调减区间为（0，＋∞）.

题型一　求二次函数的解析式

例1　

（1）（2016·南京模拟）已知二次函数f（x）与x轴的两个交点坐标为（0,0）和（－2,0）且有最小值－1，则f（x）＝________.

答案　x2＋2x

解析　设函数的解析式为f（x）＝ax（x＋2），

所以f（x）＝ax2＋2ax，由＝－1，

得a＝1，所以f（x）＝x2＋2x.

（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4,3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），求f（x）的解析式.

解　∵f（2＋x）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，

∴f（x）的对称轴为x＝2.

又∵f（x）的图象被x轴截得的线段长为2.

∴f（x）＝0的两根为1和3.

设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），

又f（x）的图象过点（4,3），

∴3a＝3，a＝1，

∴所求f（x）的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），

即f（x）＝x2－4x＋3.

思维升华　求二次函数解析式的方法

（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝________.

（2）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.

答案　

（1）x2＋2x＋1　

（2）－2x2＋4

解析　

（1）设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a，

由已知f（x）＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，

故f（x）＝x2＋2x＋1.

（2）由f（x）是偶函数知f（x）图象关于y轴对称，

∴－a＝－（－），即b＝－2，∴f（x）＝－2x2＋2a2，

又f（x）的值域为（－∞，4]，

∴2a2＝4，故f（x）＝－2x2＋4.

题型二　二次函数的图象和性质

命题点1　二次函数的单调性

例2　函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是递减的，则实数a的取值范围是__________.

答案　[－3,0]

解析　当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上递减，满足条件.

当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝，

由f（x）在[－1，＋∞）上递减知

解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0].

引申探究

若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调减区间是[－1，＋∞），则a＝________.

答案　－3

解析　由题意知a<0，又＝－1，

∴a＝－3.

命题点2　二次函数的最值

例3　已知函数f（x）＝ax2－2x（0≤x≤1），求函数f（x）的最小值.

解　

（1）当a＝0时，f（x）＝－2x在[0,1]上单调递减，

∴f（x）min＝f

（1）＝－2.

（2）当a>0时，f（x）＝ax2－2x的图象开口向上

且对称轴为x＝.

①当0<≤1，即a≥1时，

f（x）＝ax2－2x的对称轴在[0,1]内，

∴f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增.

∴f（x）min＝f（）＝－＝－.

②当>1，即0

∴f（x）在[0,1]上单调递减.

∴f（x）min＝f

（1）＝a－2.

（3）当a<0时，f（x）＝ax2－2x的图象开口向下

且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，

∴f（x）＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，

∴f（x）min＝f

（1）＝a－2.

综上所述，f（x）min＝

命题点3　二次函数中的恒成立问题

例4　

（1）已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立.

当x＝0时，－3<0，成立；

当x≠0时，a<2－，

因为∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），

当x＝1时，右边取最小值，所以a<.

综上，实数a的取值范围是.

（2）（2016·江苏徐州一中质检改编）若t2－kt－1≤0在t∈[－1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.

解　求二次函数f（t）＝t2－kt－1在给定区间[－1,1]上的最大值M，二次函数f（t）的图象的对称轴为直线t＝2k.

①当2k∈[－1,1]，即k∈[－，]时，M＝f（－1）或f

（1），由M≤0，得f（－1）≤0且f

（1）≤0，解得－≤k≤，又k∈[－，]，故－≤k≤；

②当2k<－1，即k<－时，函数f（t）在[－1,1]上单调递增，故M＝f

（1）＝－k－1，由M≤0，得k≥－，又k<－，故－≤k<－；

③当2k>1，即k>时，函数f（t）在[－1,1]上单调递减，故M＝f（－1）＝＋k－1，

由M≤0，得k≤，

又k>，故

综上知，实数k的取值范围为[－，].

思维升华　

（1）二次函数最值问题的解法：

抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

（2）由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

①一般有两个解题思路：

一是分离参数；二是不分离参数.

②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：

a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.

（1）设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　由题意得a>－对1

又－＝－22＋，<<1，

∴max＝，∴a>.

（2）已知函数f（x）＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f（x）的最小值.

解　∵函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，

∴对称轴为直线x＝1，

∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.

综上，当－2

当a>1时，ymin＝－1.

题型三　幂函数的图象和性质

例5　

（1）若（2m＋1）>（m2＋m－1），则实数m的取值范围是__________.

答案　

解析　因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞）

且在定义域内为增函数，

所以不等式等价于

解2m＋1≥0，得m≥－；

解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥；

解2m＋1>m2＋m－1，得－1

综上所述，m的取值范围是≤m<2.

（2）已知函数f（x）＝x－m＋3（m∈N*）是偶函数，且f（3）

解　由f（3）

所以（）－m＋3<1＝（）0.

因为y＝（）x是减函数，

所以－m＋3>0.解得m<3.

又因为m∈N*，所以m＝1或2；

当m＝2时，f（x）＝x－m＋3＝x为奇函数，

所以m＝2舍去.

当m＝1时，f（x）＝x－m＋3＝x2为偶函数，

所以m＝1，此时f（x）＝x2.

思维升华　

（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.

（2）在区间（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

　（2016·盐城模拟）幂函数的图象经过点（4,2），若0

①f（a）

②f（）

③f（a）

④f（）

答案　③

解析　设幂函数为f（x）＝xα，将（4,2）代入得α＝，

所以f（x）＝x，该函数在（0，＋∞）上为