高中数学 第一章 三角函数 11 12 角的概念的推广学案 北师大版必修4.docx

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高中数学第一章三角函数1112角的概念的推广学案北师大版必修4

§1　周期现象

§2　角的概念的推广

1．了解现实生活中的周期现象．

2.了解任意角的概念，理解象限角的概念．（重点）

3．掌握终边相同角的含义及表示．（难点）

4．会用集合表示象限角．（易错点）

[基础·初探]

教材整理1　周期现象

阅读教材P3～P4“例3”以上部分，完成下列问题．

1．以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．

2．要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）某同学每天上学的时间是周期现象．（　　）

（2）月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象．（　　）

（3）潮汐现象是周期现象．（　　）

【解析】　

（1）由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期现象．

（2）月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的，并且经过一定时间，月球又回到原来的位置，因此，是周期现象．

（3）每一昼夜潮水会涨落两次，是周期现象．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）√

教材整理2　角的概念

阅读教材P6～P7“例1”以上部分，完成下列问题．

1．角的有关概念

2．角的概念的推广

类型

定义

图示

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角

3.象限角的概念

（1）前提条件

①角的顶点与原点重合．

②角的始边与x轴的非负半轴重合．

（2）结论

角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

（3）各象限角的表示

第一象限：

S＝{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；

第二象限：

S＝{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；

第三象限：

S＝{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；

第四象限：

S＝{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．

（4）终边相同的角及其表示

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：

S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}．

如图1－2－1所示：

图1－2－1

注意以下几点：

①k是整数，这个条件不能漏掉．

②α是任意角．

③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°）（k∈Z）．

④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）三角形的内角必为第一、二象限角．（　　）

（2）第三象限角一定比钝角大．（　　）

（3）始边相同，终边不同的角一定不相等．（　　）

【解析】　

（1）当三角形的一个内角为90°时，就不是第一、二象限角．

（2）第三象限角为负角时比钝角小．（3）据终边相同角的含义知，终边不同的角一定不相等．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

疑问2：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

疑问3：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

[小组合作型]

周期现象的判断

（1）下列变化中不是周期现象的是（　　）

A．“春去春又回”

B．钟表的分针每小时转一圈

C．天干地支表示年、月、日的时间顺序

D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数

（2）水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．

【自主解答】　

（1）由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.

【答案】　D

（2）因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160（升），所以水车1小时内最多盛水160×12＝1920（升）．

1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．

2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．

[再练一题]

1．如图1－2－2所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．

图1－2－2

【解】　观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．

角的概念

　下列结论：

①锐角都是第一象限角；

②第二象限角是钝角；

③小于180°的角是钝角、直角或锐角．

其中，正确结论的序号为________．（把正确结论的序号都写上）

【导学号：

66470000】

【精彩点拨】　根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．

【自主解答】　①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；

②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；

③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．

【答案】　①

判断角的概念问题的关键与技巧

1．关键：

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．

2．技巧：

判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．

[再练一题]

2．（2016·咸阳高一检测）下列说法正确的是（　　）

A．终边相同的角一定相等

B．钝角一定是第二象限角

C．第一象限角一定不是负角

D．小于90°的角都是锐角

【解析】　终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，因而C不正确；－45°<90°，但它不是锐角，所以D不正确．

【答案】　B

[探究共研型]

象限角表示

探究1　如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行，为什么？

【提示】　不行．因为始边包括端点（原点）．

探究2　是不是任意角都可以归结为是象限角？

为什么？

【提示】　不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

探究3　终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表．

α终边所在的位置

角α的集合

x轴正半轴

x轴负半轴

y轴正半轴

y轴负半轴

【提示】　x轴正半轴：

{α|α＝k·360°，k∈Z}，

x轴负半轴：

{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}，

y轴正半轴：

{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}，

y轴负半轴：

{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}．

　已知α为第二象限角，问2α，分别为第几象限的角？

【精彩点拨】　由角α为第二象限角，可以写出α的范围：

90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z），在此基础上可以判断2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．

【自主解答】　∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z）．

∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°（k∈Z）．

∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．

同理，45°＋·360°<<90°＋·360°（k∈Z）．

①当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z）．

则45°＋n·360°<<90°＋n·360°（k∈Z），

此时为第一象限角；

②当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z）．

则225°＋n·360°<<270°＋n·360°（n∈Z）．

此时为第三象限角，

综上可知，为第一或第三象限角．

[再练一题]

3．本例中，是第几象限角？

【解】　∵α为第二象限角．

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z）．

∴30°＋·360°<<60°＋·360°（k∈Z）．

①当k＝3n（n∈Z）时，

30°＋n·360°<<60°＋n·360°.

此时，为第一象限角；

②当k＝3n＋1（n∈Z）时，

150°＋n·360°<<180°＋n·360°.

此时，为第二象限角；

③当k＝3n＋2（n∈Z）时，

270°＋n·360°<<300°＋n·360°.

此时，为第四象限角．

综上可知，为第一或第二或第四象限角．

终边相同的角

探究4　在同一坐标系中作出390°，－330°，30°的角并观察，这三个角终边之间的关系？

角的大小关系？

【提示】如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．

探究5　对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？

【提示】　所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．

　已知α＝－1910°.

（1）把α写成β＋k·360°（k∈Z,0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.

【精彩点拨】　利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z.

【自主解答】　

（1）－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限的角．

（2）令θ＝250°＋k·360°（k∈Z），

取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，

即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.

所以θ为－110°，－470°.

终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要在0°～360°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋k×360°（0°≤α<360°）（k∈Z）的形式，判断角α是第几象限角即可．

[再练一题]

4．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；

（3）360°～720°的角．

【解】　

（1）与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z），由－360°

（2）由0°

（3）由360°≤k·360°＋10030°<720°，得－9670°≤k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

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