省考行测笔试方法精讲数量讲义+笔记 4.docx

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省考行测笔试方法精讲数量讲义+笔记4

方法精讲-数量4（笔记）

【注意】本节课程的内容比较硬核、记得公式比较复杂，但选的例题比较简单、具有代表性，重点在于学会基础理论，只要能够看懂题目的表述，能想到对应的结论即可。

考场上排列组合与概率可做可不做，题目读懂了、问法比较简单、题目设置比较简单就做，但大多数情况下排列组合与概率问题的难度较高，要学会抉择。

近几年排列组合与概率越考越简单，尤其是概率问题，很多都是送分题。

第八节排列组合与概率

一、排列组合

（一）基础概念

【知识点】分类与分步：

1.分类相加：

要么……要么……。

2.分步相乘：

既……又……。

3.例：

（1）如国庆节出去旅游，想从北京出发，去上海，结果查行程的时候发现从北京到上海一共有2趟飞机可供选择，还有3趟高铁可供选择，问所有的交通

方式。

要么从2趟飞机中随便订一个、要么从3趟高铁中随便订一个，选择有

2+3=5种。

飞机和高铁是并列的关系，分类用加法。

做题的时候建议多造句，如果能用“要么……要么……”造句，则用加法。

如本题，要么坐飞机，要么坐高铁，多者任选其一均可达到目的，这种情况都属于分类，分类之间用加法。

（2）如从北京到上海，然后再去广州，从北京到上海有2趟高铁（A、B），

从上海到广州有3趟高铁（1、2、3），问从北京到广州的所有选择方式。

用乘法计算，列式：

2*3=6种，前两种高铁和后三种高铁有一一对应的关系，可以是A

→1、A→2、A→3、B→1、B→2、B→3。

本题为分步的过程，分步即分成多个步骤，且这些步骤必须同时发生才能达到目的。

要想从北京到广州，可以从北京先到上海，然后再从上海到广州，将这个过程拆分成两个步骤，且这两个步骤必须同时发生、缺一不可，为分步的概念，用乘法计算。

【例1】（2019河南司法所）某市从市儿童公园到市科技馆有6种不同路线，从市科技馆到市少年宫有5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有4种不同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：

A.24种B.36种

C.34种D.38种

【解析】例1.要想从儿童公园到少年宫，可以一步到位（直达），共有4种方式；如果时间比较多，想要多转一转、玩一玩，也可以选择转乘的方式，即先到科技馆，再从科技馆到少年宫，将整个过程分成两步，有先后、两者同时发生才能达到目的，是“既……又……”的关系，故这两个步骤之间用乘法相连，为6*5=30种方式。

要么直达，要么转乘，多者选其一，用加法计算，列式：

4+30=34种，对应C项。

【选C】

【知识点】排列与组合（本质上概念差不多，均可以统一为从n个主体中选出m个所需的主体）：

1.如从10个人中选3人，大数（10）写下面，小数（3）写上面，然后分析问法：

如果是“出来排队领奖”，则排名靠前的领一等奖、排名第二的领二等奖、排名第三的领三等奖，每个人都想领一等奖，设为甲、乙、丙三人，则为甲领一等奖、乙领二等奖、丙领三等奖；如果颠倒顺序，变为丙、乙、甲，人没有变但顺序变了，此时丙领一等奖、乙领二等奖、甲领三等奖。

每个人领的奖不一样，结果肯定变了。

先将数字写好，然后再讨论顺序，如果人和人之间的顺序变了、结果也变了，说明与顺序有关，用A计算。

2.如下课后打扫卫生，从10个人中选3人做清洁、打扫卫生，写为10和3，如选了易烊千玺、王源和王俊凯三人，他们是tfboys这个组合，说明今天的卫生是这个组合的人完成的；如果这三个人的顺序改了，改为王源、王俊凯、易烊千玺去打扫卫生，同样是这三个人，只要这三个人绑定在一起，不管谁前谁后，这三个人永远都是tfboys这个组合，且打扫卫生的工作永远都是这三个人做的

（不管顺序再怎么变，组合都是这三个人），即调换顺序后结果没有任何变化，故用C计算，为C（10,3）。

3.排列（A）：

与顺序有关，A（n,m）=从n开始往下乘m个数（下面的数决

定从几开始乘，上面的数决定连乘几个数，依次递减）。

如A（10,3）=10*9*8，A（7,4）=7*6*5*4。

4.组合（C）：

与顺序无关，C（n,m）=分子A（n,m）/分母A（m,m）=从n开始往下乘m个数/从m开始往下乘m个数，是分数形式。

如C（10,3）=A（10,3）

/A（3,3）=10*9*8/（3*2*1），C（7,4）=A（7,4）/A（4,4）=7*6*5*4/（4*3*2*1）。

5.判定标准：

从已选的主体中任意挑出两个，调换顺序。

有差别，与顺序有

关（A）；无差别，与顺序无关（C）。

6.引例：

（1）从七个葫芦娃中，任选两个去救爷爷。

答：

从7个葫芦娃中选2个，为7和2，葫芦娃救爷爷的结果与顺序无关，如先选大娃再选二娃，这两人救爷爷的结果就是“送人头”；如果调换顺序，先选二娃再选大娃，顺序改变结果依然是“送人头”，故调换顺序后结果相同，列式：

C（7,2）。

（2）从七个葫芦娃中，任选两个去救爷爷（第一个去探路，第二个去打架）。

答：

写成7和2的形式，如果先选大娃再选二娃，则大娃探路、二娃打架，

此时打架的会“送人头”，探路的可以“苟活”；如果颠倒顺序，先选二娃再选大娃，则二娃探路、大娃打架，此时结果有区别。

顺序改了，对应的任务变了，最终的结果就不一样了，为A（7,2）。

【例2】（2020北京）某家电维修公司的职工每人每天最多完成5次修理任务。

维修工小张上个月工作了20天，总计完成修理任务98次。

则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不同的可能？

A.190B.210

C.380D.400

【解析】例2.本题比较怪，每人每天最多修理5次，小张上个月一共工作了20天，如果小张是满状态，则20天一共修理了5*20=100次维修任务，而上个月实际共完成98次维修任务，即比满状态少了2次，故本题的重点在于这2

次是怎么少的：

可能是其中1天只完成了3次任务，剩余19天每天完成5次任

务；也可能是其中2天只完成了4次任务，剩余18天每天完成5次任务。

要么

选1天，要么选2天，这二者之间用加法计算。

（1）有1天修理3次，剩余19天修理5次：

从20天中选1天只修理3次，为C（20,1）=20种。

（2）有2天修理4次，剩余18天修理5次：

从20天中选2天只修理4次，

假设选了1号和2号，为一种情况，先选2号再选1号和先选1号后选2号，均

为前两天每天完成4次任务，即调换顺序后结果不变，无顺序，列式：

C（20,2）

=A（20,2）/A（2,2）=（20*19）/2=190种情况。

他上个月每天完成的维修任务次数有20+190=210种情况，对应B项。

【选B】

【注意】从20天中选2天即可，假设选了1号和3号（选5号和7号等同

理），先选1号再选3号和先选3号再选1号，结果都是这两天每天做4次任务，故调换顺序结果不变。

【例3】（2017吉林）罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子。

从中任取3颗棋子，则至少有一颗黑子的情况有：

A.98种B.164种

C.132种D.102种

【解析】例3.方法一：

问至少有一颗黑子的情况，一共要取三颗棋子，分以下几种情况：

（1）1颗黑子、2颗白子：

从4颗黑子中选1颗，为C（4,1）；从8颗白子中选2颗，白子和白子是一样的，没有区别，顺序与结果无关，为C（8,2）。

先选1颗黑子再选2颗白子，两个步骤必须同时发生，用乘法计算，列式：

C（8,2）

*C（4,1）。

（2）2颗黑子、1颗白子：

从4颗黑子中选2颗，为C（4,2）；从8颗白子中选1颗，为C（8,1）。

分两步，用乘法计算，列式：

C（4,2）*C（8,1）。

（3）3颗黑子：

从4颗黑子中选3颗，为C（4,3）。

要么情况1，要么情况2，要么情况3，用加法计算，列式：

C（8,2）*C（4,1）

+C（4,2）*C（8,1）+C（4,3）=8*7/（2*1）*4+4*3/（2*1）*8+4=164种，对应B项。

方法二：

出现“至少一个”的问法，正面分析情况较多（有三种情况），可以用逆向思维求解，列式：

总情况数-反面情况数（全部都是白子），反面情况为从8颗白子中选3颗白子，总情况为从12颗棋子中选3颗棋子，列式：

C（12,3）

-C（8,3），对应B项。

【选B】

（二）经典题型

【知识点】枚举法：

所有的排列组合题中，除了枚举法之外，难度可能都很高。

问有多少种可能性、多少种结果，且选项非常小（十位数或个位数），往往暗示这需要枚举，穷举完所有的结果即可。

这种排列组合问题一定要做，顶多也就十几种情况，思考一下就可以做出来，之前的题目不让大家枚举是因为要穷尽164种结果，肯定是不现实的。

【例1】（2019青海法检）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不超过800元。

已知衣服每套的售价是99元，每双鞋子的售价是67元。

如果小明

至少要买4套衣服和3双鞋，那么他有多少种不同的购买方式？

A.5B.7

C.8D.4

【解析】例1.问有多少种不同的方式、结果，为排列组合问题，选项最多为8种方式，故用枚举法求解。

一共800元，至少要买4套衣服和3双鞋，共计花费4*99+3*67=597元，故剩余800-597=203元可自行支配：

（1）2套衣服、0双鞋子；

（2）1套衣服、0双鞋子；（3）3双鞋子、0套衣服；（4）2双鞋子、0套衣服；（5）1双鞋子、0套衣服；（6）1套衣服、1双鞋子（花费了99+67=166元，剩余的钱什么都买不了），此时共6种情况，无选项对应。

注意还少了一种情况（什么都不额外买，如小明是个好孩子，父母让买多少东西就买多少东西，不额外多花钱）：

（7）0套衣服、0双鞋子，故最终结果为7种，对应B项。

【选B】

【注意】

1.一定要穷举完所有的结果，不能重复或遗漏，考场上枚举的题目一定要做。

2.解析中列举的情况都是除了4套衣服、3双鞋外多买的部分。

3.本题考的就是枚举法。

【知识点】捆绑法：

相邻。

1.引例：

甲乙丙丁戊己6个老师站成一排照相，要求甲乙丙3人必须相邻，有（）种不同的站法？

答：

要求“必须相邻”、挨着、不能分开，可以用绳子将3个人捆成1个大“胖子”，这就是捆绑法的运用，但凡涉及到“相邻”的概念，就用捆绑法解题。

本来是6个人排队照相，现在将3个人捆成了1个大“胖子”，则剩余4个主体。

4个主体排队照相，结果与顺序有关（如果站成一排照相，谁在C位都是不一样的，如甲在最中间或乙在最中间拍出来的效果不同；如果站成一列照相，大家都喜欢站在最后，站在最后的拍出来脸最小、站在最前面的拍出来脸最大，所以站成一列照相也是有讲究的），故照相永远都是顺序问题，但凡涉及到照相、排队的问法，一定要参照最后的顺序。

6个人变成4个元素，4个元素站在一排，4个空放4个人，与顺序有关，为A（4,4）；甲、乙、丙捆成了一个大“胖子”，内部需要考虑顺序（如甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙等，需要讨论），为A（3,3）。

先捆（先看外部顺序，再看内在顺序）再排，分步用乘法，列式：

A（4,4）*A（3,3）。

4个元素对应4个位置，写为4和4，结果与顺序有关则用A，结果与顺序无关则用C。

2.方法：

（1）先捆：

把必须相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。

（2）再排：

将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。

【例2】（2019四川）某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5个主题，每个主题有2位发言嘉宾。

如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，则共有多少种不同的发言次序？

A.120B.240

C.1200D.3840

【解析】例2.“必须相邻”用捆绑法，将5G的两个人捆成大“胖子”、将人工智能的两个人捆成大“胖子”、将区块链的两个人捆成大“胖子”、将大数据的两个人捆成大“胖子”、将云计算的两个人捆成大“胖子”。

一共5个主题，每

个主题有2个人，则共有10个人，两两捆绑后最终变为5个元素，其外在顺序为A（5,5），代表的是5个主题谁先谁后；每一个主题都有内部顺序，如甲、乙是5G部门的，甲先乙后和乙先甲后的结果不同（人的顺序改了，发言次序就不一样了），故结果与顺序有关，用A计算，每个主题的内部顺序均为A（2,2）。

既外又内，全部同时发生，分步用乘法，列式：

A（5,5）*A（2,2）*A（2,2）*A

（2,2）*A（2,2）*A（2,2）=5*4*3*2*1*2*2*2*2*2=120*32=3000+，对应D项。

【选D】

【注意】

1.如果只乘一个A（2,2），代表了只安排了其中一个主题，其余主题均未考虑。

每个主题的内容顺序都需要考虑，才能完成最后的结果。

2.“5*A（2,2）”代表的是5个A（2,2）相加；“A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）

*A（2,2）*A（2,2）”代表的是[A（2,2）]5。

【知识点】插空法：

不相邻

1.引例：

甲乙丙丁戊己6个老师站成一排照相，要求甲乙丙3人必须不相邻，有（）种不同的站法？

答：

要想将甲、乙、丙三人隔开，如果有空隙，将甲、乙、丙安排在其余人形成的空隙中即可满足题意。

丁、戊、己没有任何要求，故先排丁、戊、己，3个人一定会形成4个空，将甲、乙、丙安排在这4个空中即可。

要想不相邻，则用插空法。

丁、戊、己3个人站3个位置照相，为A（3,3）；

3个人形成4个空隙，将甲、乙、丙安排在这4个空隙中，为4和3，排队照相

与顺序有关，为A（4,3）=4*3*2，如选了第一个空、第二个空、第三个空，可以是甲、乙、丙，也可以是乙、甲、丙，空永远不变，3个人站的顺序不同，结果就变了，故用A计算（甲从4个空中任意选1个空，剩余3个空；乙从3个空

中任意选1个空，剩余2个空；丙从2个空中任意选1个空），列式：

A（3,3）

*A（4,3）。

如果顺序变了结果不变，则用C计算。

2.方法：

（1）先排：

先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；

（2）再插：

将不相邻的元素插入到空位中。

【例3】（2018浙江事业单位）某地组织9名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。

调研结束合影前有3名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排

3名小学生代表与委员一起坐在前排。

现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有多少种不同的方式？

A.7200B.29600

C.43200D.362880

【解析】例3.3名委员离开后剩余的政协委员数为9-3=6人，已知每位小学生的两边都坐着政协委员，说明小学生的左右两边不能是小学生，即小学生之间是完全不能相邻的，用插空法求解。

委员可以相邻，先排可以相邻的6个委员，

6个人站6个位置，为A（6,6），排队照相的题目默认有顺序；6个人形成7个

空隙，有同学考虑将3个学生放在7个空隙中，列式：

A（7,3），注意题干说明每位小学生的两边都坐着政协委员，如果小学生坐在第一个位置，则左侧没有政协委员，不满足题意，故首尾都不能坐人，只有5个空隙满足题意，5个空隙放3个人，为A（5,3）。

用乘法计算，列式：

A（6,6）*A（5,3）=720*60=43200种，对应C项。

【选C】

【注意】

1.考试不可以带计算器。

2.本题只需要体现剩余的6名政协委员和新选出来的3个学生的关系即可。

如果纠结9名政协委员的排法，则这道题就没法做了；且不清楚学校到底有多少

学生、到底是哪3名学生和政协委员坐在一起等，这属于过度脑补，将现有的人进行排序即可。

3.不建议先排小学生，考场上不要和自己作对，粉笔总结出来的一定是最简单的方法，先排可以相邻的，再插。

二、概率问题

【知识点】概率：

较排列组合简单，但思维量更大（不但要考虑总数，还要考虑满足条件的情况数），出题人为了平衡难度，条件设置上会更简单；可以通过概率的基本数据、结果的特殊情况进行秒杀。

1.给情况求概率（会涉及A、C的计算）：

概率=满足要求的情况数/总的情况数。

如果总情况数为45，则结果要么为x/45，要么是x/45约分后的结果，若选项为A.1/5、B.1/6、C.1/7、D.1/8，答案的分母要么是45，要么是45的因子（约数），45不可能约分得到6、7、8，直接选A项。

2.给概率求概率：

涉及加法和乘法原理，如过马路和比赛。

（1）分类：

P=P1+P2+……+Pn，例：

不下雨的概率=晴天概率+阴天概率。

（2）分步：

P=P1*P2*……*Pn，例：

连续两次闯红灯的概率=闯第一个的概率

*闯第二个的概率。

如从家里到公司遇到了3个红绿灯，遇到红灯的概率为50%，遇到绿灯的概率为50%，问从家到公司连续遇到3个绿灯的概率，列式：

50%*50%*50%。

【例1】（2020上海）天气预报预测未来2天的天气情况如下：

第一天晴天50%、下雨20%、下雪30%；第二天晴天80%、下雨10%、下雪10%，则未来两天天气状况不同的概率为：

A.45%B.50%

C.55%D.60%

【解析】例1.本题为概率问题，概率问题有两种类型，其一为给情况求概率，根据公式：

P=满足要求的情况数/总情况数；其二为给概率求概率，用加法或乘法原理求解。

本题给出了概率，故用加法或乘法原理求解。

方法一：

正面求解。

“天气状况不同”指第一天和第二天天气一定是不一样

的，

（1）第一天晴天，第二天非晴天：

P1=50%*20%；

（2）第一天下雨，第二天非下雨：

P2=20%*90%；（3）第一天下雪，第二天非下雪：

P3=30%*90%。

“要么……要么……”为并列关系，用加法求解，P=10%+18%+27%=55%，对应C项。

方法二：

反面求解。

未来两天天气状况不同的反面为未来两天天气状况相同，列式：

未来两天天气状况不同的概率=1-未来两天天气状况相同的概率（第一天晴天、第二天晴天，第一天下雨、第二天下雨，第一天下雪、第二天下雪）=1-

（50%*80%+20%*10%+30%*10%）=1-（40%+2%+3%）=1-45%=55%，对应C项。

【选C】

【注意】

1.“未来两天天气状况不同”指的是第一天晴天、第二天非晴天，或第一天雨天、第二天非雨天，亦或第一天雪天、第二天非雪天，多者任选其一，“要么……要么……”用加法计算；两个步骤（第一天和第二天）必须同时发生，用乘法计算。

2.第一天下雪、第二天晴天包含在“第一天下雪、第二天非下雪”的情况中。

【例2】（2019河南司法所）某书法兴趣班有学员12人，其中男生5人，女生7人。

从中随机选取2名学生参加书法比赛，则选到1名男生和1名女生的概率为：

A.35/144B.35/72

C.35/132D.35/66

【解析】例2.判定题型，题干没有给出概率，故为给情况求概率，根据公式：

P=满足要求的情况数/总情况数，所有的概率公式，永远都是先从分母进行考虑，因为分母最简单，没有任何条件限制。

总情况数：

从12名学员中随机选

2名，如果选了甲和乙，调换顺序为乙和甲，顺序不同但结果不变，故顺序不影响结果，为C（12,2）=12*11/2=66；分母不可能越约越大，D项当选。

【选D】

【注意】1.C（12,2）=A（12,2）/A（2,2）=12*11/（2*1）。

2.满足要求的情况数：

从5名男生中选1名，为C（5,1）；从7名女生中选

1名，为C（7,1），共有C（5,1）*C（7,1）=5*7=35种情况

【例3】（2020浙江）某公司对10个创新项目进行评选，选出最优秀的3

个项目投入运行。

小张随机预测3个项目将会入选。

问他至少猜对1个入选项目的概率在以下哪个范围内？

A.不到50%B.50%～60%

C.60%～70%D.超过70%

【解析】例3.判定题型，本题没有给出任何概率值，故需要结合概率公式求解，根据公式：

P=满足要求的情况数/总情况数。

问至少一个入选，要想做得快，则从对立面进行考虑，列式：

1-反面情况=1-全部都没猜对，故P反面=全部都没猜对的情况数/总情况数。

总情况数：

从10个项目中随机选3个，10写在下面、3写在上面。

设为甲、乙、丙三个项目投入运营，乙、甲、丙或丙、甲、乙的顺序虽然不同，但永远都是这3个项目投入运营，故顺序改变结果不变，为C（10,3）

反面情况数（全部都没猜对）：

从没选的7个项目中任意选3个（就像大家

买彩票，要想不中奖，则从自己没选的几个号中挑3个作为中奖号码），为C（7,3）种情况。

P=1-C（7,3）/C（10,3）=1-[A（7,3）/A（3,3）]÷[A（10,3）/A（3,3）]=1-7*6*5/

（10*9*8）=17/24，首位商7，对应D项。

【选D】

【例4】（2018辽宁）一张纸上画了5排共30个格子，每排格子数相同。

小王将1个红色和1个绿色棋子随机放入任意一个格子（2个棋子不在同一格子），

则2个棋子在同一排的概率：

A.不高于15%B.高于15%但低于20%

C.正好为20%D.高于20%

【解析】例4.方法一：

常规逻辑。

5排共30个格子，则每排有6个格子，要求2个棋子在同一排，根据公式：

P=满足要求的情况数/总情况数。

（1）总情况数：

1个红色和1个绿色棋子随机放入任意1个格子（2个棋子不在同一格子），需要占据2个格子，从30个格子中随机选2个格子，调换顺序

后结果不同（如下图所示，调换后每个棋子对应的位置都不一样了），如在不同的两排看电影的体验不同，为A（30,2）。

（2）满足要求的情况数：

从5排中任选1排，为C（5,1）；假设为第5排，

一共6个格子，从中任选2个格子，结果与顺序有关，为C（5,1）*A（6,2）。

P=[C（5,1）*A（6,2）]/A（30,2）=5*6*5/（30*29）=5/29，对应B项。

方法二：

“跟屁虫”原理。

红色棋子和绿色棋子要在同一排，红色棋子可以先从30个格子中选1个格子，绿色棋子要想和红色棋子在同一排，剩余30-1=29个格子，满足同一排的情况为5个格子，P=5/29，对应B项。

【选B】

【注意】

1.用A或C计算虽然不影响本题的答案，但一定要按照最本质的情况进行分析入手。

2.两个棋子在同一排、两个人在同一列、两个人要在一起，有简便技巧——“跟屁虫”原理。

【拓展1】（2018国考）某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。

小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

A.不高于15%B.高于15%但低于20%

C.正好为20%D.高于20%

【解析】拓展1.已知