1、省考行测笔试方法精讲数量讲义+笔记 4方法精讲-数量 4(笔记)【注意】本节课程的内容比较硬核、记得公式比较复杂,但选的例题比较简单、具有代表性,重点在于学会基础理论,只要能够看懂题目的表述,能想到对应的结论即可。考场上排列组合与概率可做可不做,题目读懂了、问法比较简单、题目设置比较简单就做,但大多数情况下排列组合与概率问题的难度较高,要学会抉择。近几年排列组合与概率越考越简单,尤其是概率问题,很多都是送分题。第八节 排列组合与概率一、排列组合(一)基础概念【知识点】分类与分步:1.分类相加:要么要么。2.分步相乘:既又。3.例:(1)如国庆节出去旅游,想从北京出发,去上海,结果查行程的时候发
2、现从北京到上海一共有 2 趟飞机可供选择,还有 3 趟高铁可供选择,问所有的交通方式。要么从 2 趟飞机中随便订一个、要么从 3 趟高铁中随便订一个,选择有2+3=5 种。飞机和高铁是并列的关系,分类用加法。做题的时候建议多造句,如果能用“要么要么”造句,则用加法。如本题,要么坐飞机,要么坐高铁,多者任选其一均可达到目的,这种情况都属于分类,分类之间用加法。(2)如从北京到上海,然后再去广州,从北京到上海有 2 趟高铁(A、B),从上海到广州有 3 趟高铁(1、2、3),问从北京到广州的所有选择方式。用乘法计算,列式:2*3=6 种,前两种高铁和后三种高铁有一一对应的关系,可以是 A1、A2、
3、A3、B1、B2、B3。本题为分步的过程,分步即分成多个步骤,且这些步骤必须同时发生才能达到目的。要想从北京到广州,可以从北京先到上海,然后再从上海到广州,将这个过程拆分成两个步骤,且这两个步骤必须同时发生、缺一不可,为分步的概念,用乘法计算。【例 1】(2019 河南司法所)某市从市儿童公园到市科技馆有 6 种不同路线, 从市科技馆到市少年宫有 5 种不同路线,从市儿童公园到市少年宫有 4 种不同路线,则从市儿童公园到市少年宫的路线共有:A.24 种 B.36 种C.34 种 D.38 种【解析】例 1.要想从儿童公园到少年宫,可以一步到位(直达),共有 4 种方式;如果时间比较多,想要多转
4、一转、玩一玩,也可以选择转乘的方式,即先到科技馆,再从科技馆到少年宫,将整个过程分成两步,有先后、两者同时发生才能达到目的,是“既又”的关系,故这两个步骤之间用乘法相连,为6*5=30 种方式。要么直达,要么转乘,多者选其一,用加法计算,列式:4+30=34 种,对应 C 项。【选 C】【知识点】排列与组合(本质上概念差不多,均可以统一为从 n 个主体中选出 m 个所需的主体):1.如从 10 个人中选 3 人,大数(10)写下面,小数(3)写上面,然后分析问法:如果是“出来排队领奖”,则排名靠前的领一等奖、排名第二的领二等奖、排名第三的领三等奖,每个人都想领一等奖,设为甲、乙、丙三人,则为甲
5、领一等奖、乙领二等奖、丙领三等奖;如果颠倒顺序,变为丙、乙、甲,人没有变但顺序变了,此时丙领一等奖、乙领二等奖、甲领三等奖。每个人领的奖不一样, 结果肯定变了。先将数字写好,然后再讨论顺序,如果人和人之间的顺序变了、结果也变了,说明与顺序有关,用 A 计算。2.如下课后打扫卫生,从 10 个人中选 3 人做清洁、打扫卫生,写为 10 和 3, 如选了易烊千玺、王源和王俊凯三人,他们是 tfboys 这个组合,说明今天的卫生是这个组合的人完成的;如果这三个人的顺序改了,改为王源、王俊凯、易烊千玺去打扫卫生,同样是这三个人,只要这三个人绑定在一起,不管谁前谁后, 这三个人永远都是 tfboys 这
6、个组合,且打扫卫生的工作永远都是这三个人做的(不管顺序再怎么变,组合都是这三个人),即调换顺序后结果没有任何变化,故用 C 计算,为 C(10,3)。3.排列(A):与顺序有关,A(n,m)=从 n 开始往下乘 m 个数(下面的数决定从几开始乘,上面的数决定连乘几个数,依次递减)。如 A(10,3)=10*9*8, A(7,4)=7*6*5*4。4.组合(C):与顺序无关,C(n,m)=分子 A(n,m)/分母 A(m,m)=从 n开始往下乘 m 个数/从 m 开始往下乘 m 个数,是分数形式。如 C(10,3)=A(10,3)/A(3,3)=10*9*8/(3*2*1),C(7,4)=A(7
7、,4)/A(4,4)=7*6*5*4/(4*3*2*1)。 5.判定标准:从已选的主体中任意挑出两个,调换顺序。有差别,与顺序有关(A);无差别,与顺序无关(C)。 6.引例:(1)从七个葫芦娃中,任选两个去救爷爷。答:从 7 个葫芦娃中选 2 个,为 7 和 2,葫芦娃救爷爷的结果与顺序无关, 如先选大娃再选二娃,这两人救爷爷的结果就是“送人头”;如果调换顺序,先选二娃再选大娃,顺序改变结果依然是“送人头”,故调换顺序后结果相同,列式:C(7,2)。(2)从七个葫芦娃中,任选两个去救爷爷(第一个去探路,第二个去打架)。答:写成 7 和 2 的形式,如果先选大娃再选二娃,则大娃探路、二娃打架,
8、此时打架的会“送人头”,探路的可以“苟活”;如果颠倒顺序,先选二娃再选大娃,则二娃探路、大娃打架,此时结果有区别。顺序改了,对应的任务变了,最终的结果就不一样了,为 A(7,2)。【例 2】(2020 北京)某家电维修公司的职工每人每天最多完成 5 次修理任务。维修工小张上个月工作了 20 天,总计完成修理任务 98 次。则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不同的可能?A.190 B.210C.380 D.400【解析】例 2.本题比较怪,每人每天最多修理 5 次,小张上个月一共工作了 20 天,如果小张是满状态,则 20 天一共修理了 5*20=100 次维修任务,而上个月实际共完成 9
9、8 次维修任务,即比满状态少了 2 次,故本题的重点在于这 2次是怎么少的:可能是其中 1 天只完成了 3 次任务,剩余 19 天每天完成 5 次任务;也可能是其中 2 天只完成了 4 次任务,剩余 18 天每天完成 5 次任务。要么选 1 天,要么选 2 天,这二者之间用加法计算。(1)有 1 天修理 3 次,剩余 19 天修理 5 次:从 20 天中选 1 天只修理 3 次,为 C(20,1)=20 种。(2)有 2 天修理 4 次,剩余 18 天修理 5 次:从 20 天中选 2 天只修理 4 次,假设选了 1 号和 2 号,为一种情况,先选 2 号再选 1 号和先选 1 号后选 2 号
10、,均为前两天每天完成 4 次任务,即调换顺序后结果不变,无顺序,列式:C(20,2)=A(20,2)/A(2,2)=(20*19)/2=190 种情况。他上个月每天完成的维修任务次数有 20+190=210 种情况,对应 B 项。【选 B】【注意】从 20 天中选 2 天即可,假设选了 1 号和 3 号(选 5 号和 7 号等同理),先选 1 号再选 3 号和先选 3 号再选 1 号,结果都是这两天每天做 4 次任务, 故调换顺序结果不变。【例 3】(2017 吉林)罐中有 12 颗围棋子,其中 8 颗白子,4 颗黑子。从中任取 3 颗棋子,则至少有一颗黑子的情况有:A.98 种 B.164
11、种C.132 种 D.102 种【解析】例 3.方法一:问至少有一颗黑子的情况,一共要取三颗棋子,分以下几种情况:(1)1 颗黑子、2 颗白子:从 4 颗黑子中选 1 颗,为 C(4,1);从 8 颗白子中选 2 颗,白子和白子是一样的,没有区别,顺序与结果无关,为 C(8,2)。先选 1 颗黑子再选 2 颗白子,两个步骤必须同时发生,用乘法计算,列式:C(8,2)*C(4,1)。(2)2 颗黑子、1 颗白子:从 4 颗黑子中选 2 颗,为 C(4,2);从 8 颗白子中选 1 颗,为 C(8,1)。分两步,用乘法计算,列式:C(4,2)*C(8,1)。(3)3 颗黑子:从 4 颗黑子中选 3
12、 颗,为 C(4,3)。要么情况 1,要么情况 2,要么情况 3,用加法计算,列式:C(8,2)*C(4,1)+C(4,2)*C(8,1)+C(4,3)=8*7/(2*1)*4+4*3/(2*1)*8+4=164 种,对应B 项。方法二:出现“至少一个”的问法,正面分析情况较多(有三种情况),可以用逆向思维求解,列式:总情况数-反面情况数(全部都是白子),反面情况为从 8 颗白子中选 3 颗白子,总情况为从 12 颗棋子中选 3 颗棋子,列式:C(12,3)-C(8,3),对应 B 项。【选 B】(二)经典题型【知识点】枚举法:所有的排列组合题中,除了枚举法之外,难度可能都很高。问有多少种可能
13、性、多少种结果,且选项非常小(十位数或个位数),往往暗示这需要枚举,穷举完所有的结果即可。这种排列组合问题一定要做,顶多也就十几种情况,思考一下就可以做出来,之前的题目不让大家枚举是因为要穷尽164 种结果,肯定是不现实的。【例 1】(2019 青海法检)小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子,预算不超过 800 元。已知衣服每套的售价是 99 元,每双鞋子的售价是 67 元。如果小明至少要买 4 套衣服和 3 双鞋,那么他有多少种不同的购买方式?A.5 B.7C.8 D.4【解析】例 1.问有多少种不同的方式、结果,为排列组合问题,选项最多为 8 种方式,故用枚举法求解。一共 800 元,至少要
14、买 4 套衣服和 3 双鞋,共计花费 4*99+3*67=597 元,故剩余 800-597=203 元可自行支配:(1)2 套衣服、0双鞋子;(2)1 套衣服、0 双鞋子;(3)3 双鞋子、0 套衣服;(4)2 双鞋子、0套衣服;(5)1 双鞋子、0 套衣服;(6)1 套衣服、1 双鞋子(花费了 99+67=166元,剩余的钱什么都买不了),此时共 6 种情况,无选项对应。注意还少了一种情况(什么都不额外买,如小明是个好孩子,父母让买多少东西就买多少东西, 不额外多花钱):(7)0 套衣服、0 双鞋子,故最终结果为 7 种,对应 B 项。【选 B】【注意】1.一定要穷举完所有的结果,不能重复
15、或遗漏,考场上枚举的题目一定要做。2.解析中列举的情况都是除了 4 套衣服、3 双鞋外多买的部分。3.本题考的就是枚举法。【知识点】捆绑法:相邻。1.引例:甲乙丙丁戊己 6 个老师站成一排照相,要求甲乙丙 3 人必须相邻, 有( )种不同的站法?答:要求“必须相邻”、挨着、不能分开,可以用绳子将 3 个人捆成 1 个大“胖子”,这就是捆绑法的运用,但凡涉及到“相邻”的概念,就用捆绑法解题。本来是 6 个人排队照相,现在将 3 个人捆成了 1 个大“胖子”,则剩余 4 个主体。4 个主体排队照相,结果与顺序有关(如果站成一排照相,谁在 C 位都是不一样的,如甲在最中间或乙在最中间拍出来的效果不同
16、;如果站成一列照相,大家都喜欢站在最后,站在最后的拍出来脸最小、站在最前面的拍出来脸最大,所以站成一列照相也是有讲究的),故照相永远都是顺序问题,但凡涉及到照相、排队的问法,一定要参照最后的顺序。6 个人变成 4 个元素,4 个元素站在一排,4 个空放 4 个人,与顺序有关, 为 A(4,4);甲、乙、丙捆成了一个大“胖子”,内部需要考虑顺序(如甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙等,需要讨论),为 A(3,3)。先捆(先看外部顺序,再看内在顺序)再排,分步用乘法,列式:A(4,4)*A(3,3)。4 个元素对应 4 个位置,写为 4 和 4,结果与顺序有关则用 A,结果与顺序无关则用 C。2.方法:(1)
17、先捆:把必须相邻的元素捆绑起来,注意内部有无顺序。(2)再排:将捆绑后的看成一个元素,进行后续排列。【例 2】(2019 四川)某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和云计算 5 个主题,每个主题有 2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻,则共有多少种不同的发言次序?A.120 B.240C.1200 D.3840【解析】例 2.“必须相邻”用捆绑法,将 5G 的两个人捆成大“胖子”、将人工智能的两个人捆成大“胖子”、将区块链的两个人捆成大“胖子”、将大数据的两个人捆成大“胖子”、将云计算的两个人捆成大“胖子”。一共 5 个主题,每个主题有 2 个人,则共有 10 个人
18、,两两捆绑后最终变为 5 个元素,其外在顺序为 A(5,5),代表的是 5 个主题谁先谁后;每一个主题都有内部顺序,如甲、乙是 5G 部门的,甲先乙后和乙先甲后的结果不同(人的顺序改了,发言次序就不一样了),故结果与顺序有关,用 A 计算,每个主题的内部顺序均为 A(2,2)。既外又内,全部同时发生,分步用乘法,列式:A(5,5)*A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)=5*4*3*2*1*2*2*2*2*2=120*32=3000+,对应 D 项。【选 D】【注意】1.如果只乘一个 A(2,2),代表了只安排了其中一个主题,其余主题均未考虑。每个主题的内容顺序都
19、需要考虑,才能完成最后的结果。2.“5*A(2,2)”代表的是 5 个 A(2,2)相加;“A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)”代表的是A(2,2)5。【知识点】插空法:不相邻1.引例:甲乙丙丁戊己 6 个老师站成一排照相,要求甲乙丙 3 人必须不相邻, 有( )种不同的站法?答:要想将甲、乙、丙三人隔开,如果有空隙,将甲、乙、丙安排在其余人形成的空隙中即可满足题意。丁、戊、己没有任何要求,故先排丁、戊、己,3 个人一定会形成 4 个空,将甲、乙、丙安排在这 4 个空中即可。要想不相邻,则用插空法。丁、戊、己 3 个人站 3 个位置照相,为 A(3,3);3
20、个人形成 4 个空隙,将甲、乙、丙安排在这 4 个空隙中,为 4 和 3,排队照相与顺序有关,为 A(4,3)=4*3*2,如选了第一个空、第二个空、第三个空,可以是甲、乙、丙,也可以是乙、甲、丙,空永远不变,3 个人站的顺序不同,结果就变了,故用 A 计算(甲从 4 个空中任意选 1 个空,剩余 3 个空;乙从 3 个空中任意选 1 个空,剩余 2 个空;丙从 2 个空中任意选 1 个空),列式:A(3,3)*A(4,3)。如果顺序变了结果不变,则用 C 计算。 2.方法:(1)先排:先安排可以相邻的元素,形成若干个空位;(2)再插:将不相邻的元素插入到空位中。【例 3】(2018 浙江事业
21、单位)某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结束合影前有 3 名委员因紧急工作已经离开,学校决定安排3 名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员, 一共有多少种不同的方式?A.7200 B.29600C.43200 D.362880【解析】例 3.3 名委员离开后剩余的政协委员数为 9-3=6 人,已知每位小学生的两边都坐着政协委员,说明小学生的左右两边不能是小学生,即小学生之间是完全不能相邻的,用插空法求解。委员可以相邻,先排可以相邻的 6 个委员,6 个人站 6 个位置,为 A(6,6),排队照相的题目默认有顺序;6 个人形成 7 个空隙,
22、有同学考虑将 3 个学生放在 7 个空隙中,列式:A(7,3),注意题干说明每位小学生的两边都坐着政协委员,如果小学生坐在第一个位置,则左侧没有政协委员,不满足题意,故首尾都不能坐人,只有 5 个空隙满足题意,5 个空隙放3 个人,为 A(5,3)。用乘法计算,列式:A(6,6)*A(5,3)=720*60=43200 种,对应 C 项。【选 C】【注意】1.考试不可以带计算器。2.本题只需要体现剩余的 6 名政协委员和新选出来的 3 个学生的关系即可。如果纠结 9 名政协委员的排法,则这道题就没法做了;且不清楚学校到底有多少学生、到底是哪 3 名学生和政协委员坐在一起等,这属于过度脑补,将现
23、有的人进行排序即可。3.不建议先排小学生,考场上不要和自己作对,粉笔总结出来的一定是最简单的方法,先排可以相邻的,再插。二、概率问题【知识点】概率:较排列组合简单,但思维量更大(不但要考虑总数,还要考虑满足条件的情况数),出题人为了平衡难度,条件设置上会更简单;可以通过概率的基本数据、结果的特殊情况进行秒杀。1.给情况求概率(会涉及 A、C 的计算):概率=满足要求的情况数/总的情况数。如果总情况数为 45,则结果要么为 x/45,要么是 x/45 约分后的结果,若选项为 A.1/5、B.1/6、C.1/7、D.1/8,答案的分母要么是 45,要么是 45 的因子(约数),45 不可能约分得到
24、 6、7、8,直接选 A 项。2.给概率求概率:涉及加法和乘法原理,如过马路和比赛。(1)分类:P=P1+P2+Pn,例:不下雨的概率=晴天概率+阴天概率。(2)分步:P=P1*P2*Pn,例:连续两次闯红灯的概率=闯第一个的概率*闯第二个的概率。如从家里到公司遇到了 3 个红绿灯,遇到红灯的概率为 50%, 遇到绿灯的概率为 50%, 问从家到公司连续遇到 3 个绿灯的概率, 列式: 50%*50%*50%。【例 1】(2020 上海)天气预报预测未来 2 天的天气情况如下:第一天晴天50%、下雨 20%、下雪 30%;第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%,则未来两天天气状况不同的
25、概率为:A.45% B.50%C.55% D.60%【解析】例 1.本题为概率问题,概率问题有两种类型,其一为给情况求概率,根据公式:P=满足要求的情况数/总情况数;其二为给概率求概率,用加法或乘法原理求解。本题给出了概率,故用加法或乘法原理求解。方法一:正面求解。“天气状况不同”指第一天和第二天天气一定是不一样的,(1)第一天晴天,第二天非晴天:P1=50%*20%;(2)第一天下雨,第二天非下雨:P2=20%*90%;(3)第一天下雪,第二天非下雪:P3=30%*90%。“要么要么”为并列关系,用加法求解,P=10%+18%+27%=55%,对应 C 项。方法二:反面求解。未来两天天气状况
26、不同的反面为未来两天天气状况相同, 列式:未来两天天气状况不同的概率=1-未来两天天气状况相同的概率(第一天晴天、第二天晴天,第一天下雨、第二天下雨,第一天下雪、第二天下雪)=1-(50%*80%+20%*10%+30%*10%)=1-(40%+2%+3%)=1-45%=55%,对应 C 项。【选 C】【注意】1.“未来两天天气状况不同”指的是第一天晴天、第二天非晴天,或第一天雨天、第二天非雨天,亦或第一天雪天、第二天非雪天,多者任选其一,“要么要么”用加法计算;两个步骤(第一天和第二天)必须同时发生,用乘法计算。2.第一天下雪、第二天晴天包含在“第一天下雪、第二天非下雪”的情况中。【例 2】
27、(2019 河南司法所)某书法兴趣班有学员 12 人,其中男生 5 人,女生 7 人。从中随机选取 2 名学生参加书法比赛,则选到 1 名男生和 1 名女生的概率为:A.35/144 B.35/72C.35/132 D.35/66【解析】例 2.判定题型,题干没有给出概率,故为给情况求概率,根据公式:P=满足要求的情况数/总情况数,所有的概率公式,永远都是先从分母进行考虑,因为分母最简单,没有任何条件限制。总情况数:从 12 名学员中随机选2 名,如果选了甲和乙,调换顺序为乙和甲,顺序不同但结果不变,故顺序不影响结果,为 C(12,2)=12*11/2=66;分母不可能越约越大,D 项当选。【
28、选 D】【注意】1.C(12,2)=A(12,2)/A(2,2)=12*11/(2*1)。2.满足要求的情况数:从 5 名男生中选 1 名,为 C(5,1);从 7 名女生中选1 名,为 C(7,1),共有 C(5,1)*C(7,1)=5*7=35 种情况【例 3】(2020 浙江)某公司对 10 个创新项目进行评选,选出最优秀的 3个项目投入运行。小张随机预测 3 个项目将会入选。问他至少猜对 1 个入选项目的概率在以下哪个范围内?A.不到 50% B.50%60%C.60%70% D.超过 70%【解析】例 3.判定题型,本题没有给出任何概率值,故需要结合概率公式求解,根据公式:P=满足要
29、求的情况数/总情况数。问至少一个入选,要想做得快,则从对立面进行考虑,列式:1-反面情况=1-全部都没猜对,故 P 反面=全部都没猜对的情况数/总情况数。总情况数:从 10 个项目中随机选 3 个,10 写在下面、3 写在上面。设为甲、乙、丙三个项目投入运营,乙、甲、丙或丙、甲、乙的顺序虽然不同,但永远都是这 3 个项目投入运营,故顺序改变结果不变,为 C(10,3)反面情况数(全部都没猜对):从没选的 7 个项目中任意选 3 个(就像大家买彩票,要想不中奖,则从自己没选的几个号中挑 3 个作为中奖号码),为 C(7,3)种情况。P=1-C(7,3)/C(10,3)=1-A(7,3)/A(3,
30、3)A(10,3)/A(3,3)=1-7*6*5/(10*9*8)=17/24,首位商 7,对应 D 项。【选 D】【例 4】(2018 辽宁)一张纸上画了 5 排共 30 个格子,每排格子数相同。小王将 1 个红色和 1 个绿色棋子随机放入任意一个格子(2 个棋子不在同一格子),则 2 个棋子在同一排的概率:A.不高于 15% B.高于 15%但低于 20%C.正好为 20% D.高于 20%【解析】例 4.方法一:常规逻辑。5 排共 30 个格子,则每排有 6 个格子, 要求 2 个棋子在同一排,根据公式:P=满足要求的情况数/总情况数。(1)总情况数:1 个红色和 1 个绿色棋子随机放入
31、任意 1 个格子(2 个棋子不在同一格子),需要占据 2 个格子,从 30 个格子中随机选 2 个格子,调换顺序后结果不同(如下图所示,调换后每个棋子对应的位置都不一样了),如在不同的两排看电影的体验不同,为 A(30,2)。(2)满足要求的情况数:从 5 排中任选 1 排,为 C(5,1);假设为第 5 排,一共 6 个格子,从中任选 2 个格子,结果与顺序有关,为 C(5,1)*A(6,2)。 P=C(5,1)*A(6,2)/A(30,2)=5*6*5/(30*29)=5/29,对应 B 项。方法二:“跟屁虫”原理。红色棋子和绿色棋子要在同一排,红色棋子可以先从 30 个格子中选 1 个格子,绿色棋子要想和红色棋子在同一排,剩余 30-1=29 个格子,满足同一排的情况为 5 个格子,P=5/29,对应 B 项。【选 B】【注意】1.用 A 或 C 计算虽然不影响本题的答案,但一定要按照最本质的情况进行分析入手。2.两个棋子在同一排、两个人在同一列、两个人要在一起,有简便技巧 “跟屁虫”原理。【拓展 1】(2018 国考)某单位的会议室有 5 排共 40 个座位,每排座位数相同。小张和小李随机入座,则他们坐在同一排的概率:A.不高于 15% B.高于 15%但低于 20%C.正好为 20% D.高于 20%【解析】拓展 1.已知
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