省考行测笔试方法精讲数量讲义+笔记 4.docx

1、省考行测笔试方法精讲数量讲义+笔记 4方法精讲-数量 4（笔记）【注意】本节课程的内容比较硬核、记得公式比较复杂，但选的例题比较简单、具有代表性，重点在于学会基础理论，只要能够看懂题目的表述，能想到对应的结论即可。考场上排列组合与概率可做可不做，题目读懂了、问法比较简单、题目设置比较简单就做，但大多数情况下排列组合与概率问题的难度较高，要学会抉择。近几年排列组合与概率越考越简单，尤其是概率问题，很多都是送分题。第八节 排列组合与概率一、排列组合（一）基础概念【知识点】分类与分步：1.分类相加：要么要么。2.分步相乘：既又。3.例：（1）如国庆节出去旅游，想从北京出发，去上海，结果查行程的时候发

2、现从北京到上海一共有 2 趟飞机可供选择，还有 3 趟高铁可供选择，问所有的交通方式。要么从 2 趟飞机中随便订一个、要么从 3 趟高铁中随便订一个，选择有2+3=5 种。飞机和高铁是并列的关系，分类用加法。做题的时候建议多造句，如果能用“要么要么”造句，则用加法。如本题，要么坐飞机，要么坐高铁，多者任选其一均可达到目的，这种情况都属于分类，分类之间用加法。（2）如从北京到上海，然后再去广州，从北京到上海有 2 趟高铁（A、B），从上海到广州有 3 趟高铁（1、2、3），问从北京到广州的所有选择方式。用乘法计算，列式：2*3=6 种，前两种高铁和后三种高铁有一一对应的关系，可以是 A1、A2、

3、A3、B1、B2、B3。本题为分步的过程，分步即分成多个步骤，且这些步骤必须同时发生才能达到目的。要想从北京到广州，可以从北京先到上海，然后再从上海到广州，将这个过程拆分成两个步骤，且这两个步骤必须同时发生、缺一不可，为分步的概念，用乘法计算。【例 1】（2019 河南司法所）某市从市儿童公园到市科技馆有 6 种不同路线， 从市科技馆到市少年宫有 5 种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有 4 种不同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：A.24 种 B.36 种C.34 种 D.38 种【解析】例 1.要想从儿童公园到少年宫，可以一步到位（直达），共有 4 种方式；如果时间比较多，想要多转

4、一转、玩一玩，也可以选择转乘的方式，即先到科技馆，再从科技馆到少年宫，将整个过程分成两步，有先后、两者同时发生才能达到目的，是“既又”的关系，故这两个步骤之间用乘法相连，为6*5=30 种方式。要么直达，要么转乘，多者选其一，用加法计算，列式：4+30=34 种，对应 C 项。【选 C】【知识点】排列与组合（本质上概念差不多，均可以统一为从 n 个主体中选出 m 个所需的主体）：1.如从 10 个人中选 3 人，大数（10）写下面，小数（3）写上面，然后分析问法：如果是“出来排队领奖”，则排名靠前的领一等奖、排名第二的领二等奖、排名第三的领三等奖，每个人都想领一等奖，设为甲、乙、丙三人，则为甲

5、领一等奖、乙领二等奖、丙领三等奖；如果颠倒顺序，变为丙、乙、甲，人没有变但顺序变了，此时丙领一等奖、乙领二等奖、甲领三等奖。每个人领的奖不一样， 结果肯定变了。先将数字写好，然后再讨论顺序，如果人和人之间的顺序变了、结果也变了，说明与顺序有关，用 A 计算。2.如下课后打扫卫生，从 10 个人中选 3 人做清洁、打扫卫生，写为 10 和 3， 如选了易烊千玺、王源和王俊凯三人，他们是 tfboys 这个组合，说明今天的卫生是这个组合的人完成的；如果这三个人的顺序改了，改为王源、王俊凯、易烊千玺去打扫卫生，同样是这三个人，只要这三个人绑定在一起，不管谁前谁后， 这三个人永远都是 tfboys 这

6、个组合，且打扫卫生的工作永远都是这三个人做的（不管顺序再怎么变，组合都是这三个人），即调换顺序后结果没有任何变化，故用 C 计算，为 C（10,3）。3.排列（A）：与顺序有关，A（n,m）=从 n 开始往下乘 m 个数（下面的数决定从几开始乘，上面的数决定连乘几个数，依次递减）。如 A（10,3）=10*9*8， A（7,4）=7*6*5*4。4.组合（C）：与顺序无关，C（n,m）=分子 A（n,m）/分母 A（m,m）=从 n开始往下乘 m 个数/从 m 开始往下乘 m 个数，是分数形式。如 C（10,3）=A（10,3）/A（3,3）=10*9*8/（3*2*1），C（7,4）=A（7

7、,4）/A（4,4）=7*6*5*4/（4*3*2*1）。 5.判定标准：从已选的主体中任意挑出两个，调换顺序。有差别，与顺序有关（A）；无差别，与顺序无关（C）。 6.引例：（1）从七个葫芦娃中，任选两个去救爷爷。答：从 7 个葫芦娃中选 2 个，为 7 和 2，葫芦娃救爷爷的结果与顺序无关， 如先选大娃再选二娃，这两人救爷爷的结果就是“送人头”；如果调换顺序，先选二娃再选大娃，顺序改变结果依然是“送人头”，故调换顺序后结果相同，列式：C（7,2）。（2）从七个葫芦娃中，任选两个去救爷爷（第一个去探路，第二个去打架）。答：写成 7 和 2 的形式，如果先选大娃再选二娃，则大娃探路、二娃打架，

8、此时打架的会“送人头”，探路的可以“苟活”；如果颠倒顺序，先选二娃再选大娃，则二娃探路、大娃打架，此时结果有区别。顺序改了，对应的任务变了，最终的结果就不一样了，为 A（7,2）。【例 2】（2020 北京）某家电维修公司的职工每人每天最多完成 5 次修理任务。维修工小张上个月工作了 20 天，总计完成修理任务 98 次。则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不同的可能？A.190 B.210C.380 D.400【解析】例 2.本题比较怪，每人每天最多修理 5 次，小张上个月一共工作了 20 天，如果小张是满状态，则 20 天一共修理了 5*20=100 次维修任务，而上个月实际共完成 9

9、8 次维修任务，即比满状态少了 2 次，故本题的重点在于这 2次是怎么少的：可能是其中 1 天只完成了 3 次任务，剩余 19 天每天完成 5 次任务；也可能是其中 2 天只完成了 4 次任务，剩余 18 天每天完成 5 次任务。要么选 1 天，要么选 2 天，这二者之间用加法计算。（1）有 1 天修理 3 次，剩余 19 天修理 5 次：从 20 天中选 1 天只修理 3 次，为 C（20,1）=20 种。（2）有 2 天修理 4 次，剩余 18 天修理 5 次：从 20 天中选 2 天只修理 4 次，假设选了 1 号和 2 号，为一种情况，先选 2 号再选 1 号和先选 1 号后选 2 号

10、，均为前两天每天完成 4 次任务，即调换顺序后结果不变，无顺序，列式：C（20,2）=A（20,2）/A（2,2）=（20*19）/2=190 种情况。他上个月每天完成的维修任务次数有 20+190=210 种情况，对应 B 项。【选 B】【注意】从 20 天中选 2 天即可，假设选了 1 号和 3 号（选 5 号和 7 号等同理），先选 1 号再选 3 号和先选 3 号再选 1 号，结果都是这两天每天做 4 次任务， 故调换顺序结果不变。【例 3】（2017 吉林）罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子。从中任取 3 颗棋子，则至少有一颗黑子的情况有：A.98 种 B.164

11、种C.132 种 D.102 种【解析】例 3.方法一：问至少有一颗黑子的情况，一共要取三颗棋子，分以下几种情况：（1）1 颗黑子、2 颗白子：从 4 颗黑子中选 1 颗，为 C（4,1）；从 8 颗白子中选 2 颗，白子和白子是一样的，没有区别，顺序与结果无关，为 C（8,2）。先选 1 颗黑子再选 2 颗白子，两个步骤必须同时发生，用乘法计算，列式：C（8,2）*C（4,1）。（2）2 颗黑子、1 颗白子：从 4 颗黑子中选 2 颗，为 C（4,2）；从 8 颗白子中选 1 颗，为 C（8,1）。分两步，用乘法计算，列式：C（4,2）*C（8,1）。（3）3 颗黑子：从 4 颗黑子中选 3

12、 颗，为 C（4,3）。要么情况 1，要么情况 2，要么情况 3，用加法计算，列式：C（8,2）*C（4,1）+C（4,2）*C（8,1）+C（4,3）=8*7/（2*1）*4+4*3/（2*1）*8+4=164 种，对应B 项。方法二：出现“至少一个”的问法，正面分析情况较多（有三种情况），可以用逆向思维求解，列式：总情况数-反面情况数（全部都是白子），反面情况为从 8 颗白子中选 3 颗白子，总情况为从 12 颗棋子中选 3 颗棋子，列式：C（12,3）-C（8,3），对应 B 项。【选 B】（二）经典题型【知识点】枚举法：所有的排列组合题中，除了枚举法之外，难度可能都很高。问有多少种可能

13、性、多少种结果，且选项非常小（十位数或个位数），往往暗示这需要枚举，穷举完所有的结果即可。这种排列组合问题一定要做，顶多也就十几种情况，思考一下就可以做出来，之前的题目不让大家枚举是因为要穷尽164 种结果，肯定是不现实的。【例 1】（2019 青海法检）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不超过 800 元。已知衣服每套的售价是 99 元，每双鞋子的售价是 67 元。如果小明至少要买 4 套衣服和 3 双鞋，那么他有多少种不同的购买方式？A.5 B.7C.8 D.4【解析】例 1.问有多少种不同的方式、结果，为排列组合问题，选项最多为 8 种方式，故用枚举法求解。一共 800 元，至少要

14、买 4 套衣服和 3 双鞋，共计花费 4*99+3*67=597 元，故剩余 800-597=203 元可自行支配：（1）2 套衣服、0双鞋子；（2）1 套衣服、0 双鞋子；（3）3 双鞋子、0 套衣服；（4）2 双鞋子、0套衣服；（5）1 双鞋子、0 套衣服；（6）1 套衣服、1 双鞋子（花费了 99+67=166元，剩余的钱什么都买不了），此时共 6 种情况，无选项对应。注意还少了一种情况（什么都不额外买，如小明是个好孩子，父母让买多少东西就买多少东西， 不额外多花钱）：（7）0 套衣服、0 双鞋子，故最终结果为 7 种，对应 B 项。【选 B】【注意】1.一定要穷举完所有的结果，不能重复

15、或遗漏，考场上枚举的题目一定要做。2.解析中列举的情况都是除了 4 套衣服、3 双鞋外多买的部分。3.本题考的就是枚举法。【知识点】捆绑法：相邻。1.引例：甲乙丙丁戊己 6 个老师站成一排照相，要求甲乙丙 3 人必须相邻， 有（ ）种不同的站法？答：要求“必须相邻”、挨着、不能分开，可以用绳子将 3 个人捆成 1 个大“胖子”，这就是捆绑法的运用，但凡涉及到“相邻”的概念，就用捆绑法解题。本来是 6 个人排队照相，现在将 3 个人捆成了 1 个大“胖子”，则剩余 4 个主体。4 个主体排队照相，结果与顺序有关（如果站成一排照相，谁在 C 位都是不一样的，如甲在最中间或乙在最中间拍出来的效果不同

16、；如果站成一列照相，大家都喜欢站在最后，站在最后的拍出来脸最小、站在最前面的拍出来脸最大，所以站成一列照相也是有讲究的），故照相永远都是顺序问题，但凡涉及到照相、排队的问法，一定要参照最后的顺序。6 个人变成 4 个元素，4 个元素站在一排，4 个空放 4 个人，与顺序有关， 为 A（4,4）；甲、乙、丙捆成了一个大“胖子”，内部需要考虑顺序（如甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙等，需要讨论），为 A（3,3）。先捆（先看外部顺序，再看内在顺序）再排，分步用乘法，列式：A（4,4）*A（3,3）。4 个元素对应 4 个位置，写为 4 和 4，结果与顺序有关则用 A，结果与顺序无关则用 C。2.方法：（1）

17、先捆：把必须相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。【例 2】（2019 四川）某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和云计算 5 个主题，每个主题有 2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，则共有多少种不同的发言次序？A.120 B.240C.1200 D.3840【解析】例 2.“必须相邻”用捆绑法，将 5G 的两个人捆成大“胖子”、将人工智能的两个人捆成大“胖子”、将区块链的两个人捆成大“胖子”、将大数据的两个人捆成大“胖子”、将云计算的两个人捆成大“胖子”。一共 5 个主题，每个主题有 2 个人，则共有 10 个人

18、，两两捆绑后最终变为 5 个元素，其外在顺序为 A（5,5），代表的是 5 个主题谁先谁后；每一个主题都有内部顺序，如甲、乙是 5G 部门的，甲先乙后和乙先甲后的结果不同（人的顺序改了，发言次序就不一样了），故结果与顺序有关，用 A 计算，每个主题的内部顺序均为 A（2,2）。既外又内，全部同时发生，分步用乘法，列式：A（5,5）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）=5*4*3*2*1*2*2*2*2*2=120*32=3000+，对应 D 项。【选 D】【注意】1.如果只乘一个 A（2,2），代表了只安排了其中一个主题，其余主题均未考虑。每个主题的内容顺序都

19、需要考虑，才能完成最后的结果。2.“5*A（2,2）”代表的是 5 个 A（2,2）相加；“A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）”代表的是A（2,2）5。【知识点】插空法：不相邻1.引例：甲乙丙丁戊己 6 个老师站成一排照相，要求甲乙丙 3 人必须不相邻， 有（ ）种不同的站法？答：要想将甲、乙、丙三人隔开，如果有空隙，将甲、乙、丙安排在其余人形成的空隙中即可满足题意。丁、戊、己没有任何要求，故先排丁、戊、己，3 个人一定会形成 4 个空，将甲、乙、丙安排在这 4 个空中即可。要想不相邻，则用插空法。丁、戊、己 3 个人站 3 个位置照相，为 A（3,3）；3

20、个人形成 4 个空隙，将甲、乙、丙安排在这 4 个空隙中，为 4 和 3，排队照相与顺序有关，为 A（4,3）=4*3*2，如选了第一个空、第二个空、第三个空，可以是甲、乙、丙，也可以是乙、甲、丙，空永远不变，3 个人站的顺序不同，结果就变了，故用 A 计算（甲从 4 个空中任意选 1 个空，剩余 3 个空；乙从 3 个空中任意选 1 个空，剩余 2 个空；丙从 2 个空中任意选 1 个空），列式：A（3,3）*A（4,3）。如果顺序变了结果不变，则用 C 计算。 2.方法：（1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。【例 3】（2018 浙江事业

21、单位）某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结束合影前有 3 名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排3 名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员， 一共有多少种不同的方式？A.7200 B.29600C.43200 D.362880【解析】例 3.3 名委员离开后剩余的政协委员数为 9-3=6 人，已知每位小学生的两边都坐着政协委员，说明小学生的左右两边不能是小学生，即小学生之间是完全不能相邻的，用插空法求解。委员可以相邻，先排可以相邻的 6 个委员，6 个人站 6 个位置，为 A（6,6），排队照相的题目默认有顺序；6 个人形成 7 个空隙，

22、有同学考虑将 3 个学生放在 7 个空隙中，列式：A（7,3），注意题干说明每位小学生的两边都坐着政协委员，如果小学生坐在第一个位置，则左侧没有政协委员，不满足题意，故首尾都不能坐人，只有 5 个空隙满足题意，5 个空隙放3 个人，为 A（5,3）。用乘法计算，列式：A（6,6）*A（5,3）=720*60=43200 种，对应 C 项。【选 C】【注意】1.考试不可以带计算器。2.本题只需要体现剩余的 6 名政协委员和新选出来的 3 个学生的关系即可。如果纠结 9 名政协委员的排法，则这道题就没法做了；且不清楚学校到底有多少学生、到底是哪 3 名学生和政协委员坐在一起等，这属于过度脑补，将现

23、有的人进行排序即可。3.不建议先排小学生，考场上不要和自己作对，粉笔总结出来的一定是最简单的方法，先排可以相邻的，再插。二、概率问题【知识点】概率：较排列组合简单，但思维量更大（不但要考虑总数，还要考虑满足条件的情况数），出题人为了平衡难度，条件设置上会更简单；可以通过概率的基本数据、结果的特殊情况进行秒杀。1.给情况求概率（会涉及 A、C 的计算）：概率=满足要求的情况数/总的情况数。如果总情况数为 45，则结果要么为 x/45，要么是 x/45 约分后的结果，若选项为 A.1/5、B.1/6、C.1/7、D.1/8，答案的分母要么是 45，要么是 45 的因子（约数），45 不可能约分得到

24、 6、7、8，直接选 A 项。2.给概率求概率：涉及加法和乘法原理，如过马路和比赛。（1）分类：P=P1+P2+Pn，例：不下雨的概率=晴天概率+阴天概率。（2）分步：P=P1*P2*Pn，例：连续两次闯红灯的概率=闯第一个的概率*闯第二个的概率。如从家里到公司遇到了 3 个红绿灯，遇到红灯的概率为 50%， 遇到绿灯的概率为 50%， 问从家到公司连续遇到 3 个绿灯的概率， 列式： 50%*50%*50%。【例 1】（2020 上海）天气预报预测未来 2 天的天气情况如下：第一天晴天50%、下雨 20%、下雪 30%；第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%，则未来两天天气状况不同的

25、概率为：A.45% B.50%C.55% D.60%【解析】例 1.本题为概率问题，概率问题有两种类型，其一为给情况求概率，根据公式：P=满足要求的情况数/总情况数；其二为给概率求概率，用加法或乘法原理求解。本题给出了概率，故用加法或乘法原理求解。方法一：正面求解。“天气状况不同”指第一天和第二天天气一定是不一样的，（1）第一天晴天，第二天非晴天：P1=50%*20%；（2）第一天下雨，第二天非下雨：P2=20%*90%；（3）第一天下雪，第二天非下雪：P3=30%*90%。“要么要么”为并列关系，用加法求解，P=10%+18%+27%=55%，对应 C 项。方法二：反面求解。未来两天天气状况

26、不同的反面为未来两天天气状况相同， 列式：未来两天天气状况不同的概率=1-未来两天天气状况相同的概率（第一天晴天、第二天晴天，第一天下雨、第二天下雨，第一天下雪、第二天下雪）=1-（50%*80%+20%*10%+30%*10%）=1-（40%+2%+3%）=1-45%=55%，对应 C 项。【选 C】【注意】1.“未来两天天气状况不同”指的是第一天晴天、第二天非晴天，或第一天雨天、第二天非雨天，亦或第一天雪天、第二天非雪天，多者任选其一，“要么要么”用加法计算；两个步骤（第一天和第二天）必须同时发生，用乘法计算。2.第一天下雪、第二天晴天包含在“第一天下雪、第二天非下雪”的情况中。【例 2】

27、（2019 河南司法所）某书法兴趣班有学员 12 人，其中男生 5 人，女生 7 人。从中随机选取 2 名学生参加书法比赛，则选到 1 名男生和 1 名女生的概率为：A.35/144 B.35/72C.35/132 D.35/66【解析】例 2.判定题型，题干没有给出概率，故为给情况求概率，根据公式：P=满足要求的情况数/总情况数，所有的概率公式，永远都是先从分母进行考虑，因为分母最简单，没有任何条件限制。总情况数：从 12 名学员中随机选2 名，如果选了甲和乙，调换顺序为乙和甲，顺序不同但结果不变，故顺序不影响结果，为 C（12,2）=12*11/2=66；分母不可能越约越大，D 项当选。【

28、选 D】【注意】1.C（12,2）=A（12,2）/A（2,2）=12*11/（2*1）。2.满足要求的情况数：从 5 名男生中选 1 名，为 C（5,1）；从 7 名女生中选1 名，为 C（7,1），共有 C（5,1）*C（7,1）=5*7=35 种情况【例 3】（2020 浙江）某公司对 10 个创新项目进行评选，选出最优秀的 3个项目投入运行。小张随机预测 3 个项目将会入选。问他至少猜对 1 个入选项目的概率在以下哪个范围内？A.不到 50% B.50%60%C.60%70% D.超过 70%【解析】例 3.判定题型，本题没有给出任何概率值，故需要结合概率公式求解，根据公式：P=满足要

29、求的情况数/总情况数。问至少一个入选，要想做得快，则从对立面进行考虑，列式：1-反面情况=1-全部都没猜对，故 P 反面=全部都没猜对的情况数/总情况数。总情况数：从 10 个项目中随机选 3 个，10 写在下面、3 写在上面。设为甲、乙、丙三个项目投入运营，乙、甲、丙或丙、甲、乙的顺序虽然不同，但永远都是这 3 个项目投入运营，故顺序改变结果不变，为 C（10,3）反面情况数（全部都没猜对）：从没选的 7 个项目中任意选 3 个（就像大家买彩票，要想不中奖，则从自己没选的几个号中挑 3 个作为中奖号码），为 C（7,3）种情况。P=1-C（7,3）/C（10,3）=1-A（7,3）/A（3,

30、3）A（10,3）/A（3,3）=1-7*6*5/（10*9*8）=17/24，首位商 7，对应 D 项。【选 D】【例 4】（2018 辽宁）一张纸上画了 5 排共 30 个格子，每排格子数相同。小王将 1 个红色和 1 个绿色棋子随机放入任意一个格子（2 个棋子不在同一格子），则 2 个棋子在同一排的概率：A.不高于 15% B.高于 15%但低于 20%C.正好为 20% D.高于 20%【解析】例 4.方法一：常规逻辑。5 排共 30 个格子，则每排有 6 个格子， 要求 2 个棋子在同一排，根据公式：P=满足要求的情况数/总情况数。（1）总情况数：1 个红色和 1 个绿色棋子随机放入

31、任意 1 个格子（2 个棋子不在同一格子），需要占据 2 个格子，从 30 个格子中随机选 2 个格子，调换顺序后结果不同（如下图所示，调换后每个棋子对应的位置都不一样了），如在不同的两排看电影的体验不同，为 A（30,2）。（2）满足要求的情况数：从 5 排中任选 1 排，为 C（5,1）；假设为第 5 排，一共 6 个格子，从中任选 2 个格子，结果与顺序有关，为 C（5,1）*A（6,2）。 P=C（5,1）*A（6,2）/A（30,2）=5*6*5/（30*29）=5/29，对应 B 项。方法二：“跟屁虫”原理。红色棋子和绿色棋子要在同一排，红色棋子可以先从 30 个格子中选 1 个格子，绿色棋子要想和红色棋子在同一排，剩余 30-1=29 个格子，满足同一排的情况为 5 个格子，P=5/29，对应 B 项。【选 B】【注意】1.用 A 或 C 计算虽然不影响本题的答案，但一定要按照最本质的情况进行分析入手。2.两个棋子在同一排、两个人在同一列、两个人要在一起，有简便技巧 “跟屁虫”原理。【拓展 1】（2018 国考）某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：A.不高于 15% B.高于 15%但低于 20%C.正好为 20% D.高于 20%【解析】拓展 1.已知