九年级中考一轮复习第21讲多边形与平行四边形.docx
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九年级中考一轮复习第21讲多边形与平行四边形
第21讲 多边形与平行四边形
课标要求
（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
（2）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
（3）探索并证明平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
（5）探索并证明三角形的中位线定理。
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、解答题、证明题的形式来考查，分值为3～11分．主要考查的内容为：
（1）多边形的内角和与外角和、正多边形的有关问题；
（2）平行四边形的判定；（3）与平行四边形的性质有关的几何综合题．这几个知识点几乎每年各地市都考．预测这几个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强理解定义，掌握性质与公式及平行四边形的判定方法，多做练习加以巩固.
一、多边形
1.在平面内，由一些________首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
2.在平面内，各个角都________，各条边也都________的多边形叫做正多边形．
3.n边形的内角和等于____________；n边形的外角和等于________．
4.正n边形的每一个内角等于________，每一个外角等于________．
5.平面镶嵌：
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．三角形、________和________都可以进行平面镶嵌．
二、平行四边形的定义
两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．
三、平行四边形的性质
主要方面
性质
对称性
边
角
对角线
两组对边分别________
两组对角分别________
对角线互相________
是中心对称图形但不一定是轴对称图形
四、平行四边形的判定
主要方面
判定
边
两组对边分别________的四边形是平行四边形
两组对边分别________的四边形是平行四边形
一组对边________的四边形是平行四边形
角
两组对角分别________的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相________的四边形是平行四边形
多边形的内角与外角
（2015·南宁，第9小题，3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60°B．72°
C．90°D．108°
【思路点拨】设此多边形为n边形，则180°（n－2）＝540°，解得n＝5，∵多边形的外角和等于360°，∴每一个外角等于
＝72°.
（2019·梧州，第7小题，3分）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108°B．120°
C．135°D．140°
平行四边形的性质）
（2020·柳州，第23小题，8分）
如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26.
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：
△ADO是直角三角形．
【思路点拨】本题主要考查平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线互相平分．
（2020·河池，第11小题，3分）
如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是（ ）
A．5
B．6
C．4
D．5
平行四边形的判定
（2020·北部湾经济区，第21小题，8分）
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
（1）求证：
△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：
四边形ABED是平行四边形．
【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定，平行四边形的判定．
（1）已知AB＝DE，AC＝DF，再根据BE＝CF求出BC＝EF即可证明△ABC≌△DEF；
（2）由△ABC≌△DEF可得∠B＝∠DEF，进而得AB∥DE，再由AB＝DE，即可证四边形ABED是平行四边形．
（2017·百色，第22小题，8分）
在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．
求证：
（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG＝FH.
正多边形的有关问题
（2020·梧州，第16小题，3分）如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
的长是
π，则阴影部分的面积是____________.
【思路点拨】由题可知，∠AOB＝60°，设⊙O的半径为r，则
＝
，解得r＝2，则S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝
－
×2×
＝
－
.
（2020·玉林，第17小题，3分）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是________．
与平行四边形性质有关的综合题
（2018·梧州，第21小题，6分）
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F.求证：
AE＝CF.
【思路点拨】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA证得△AOE≌△COF，即可证得AE＝CF.
（2020·贵港，第26小题，10分）已知：
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2
，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF.
（1）如图①，当点P与点C重合时，则线段EB＝______，EF＝______；
（2）如图②，当P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA.
①求证：
四边形MEPF是平行四边形；
②当tan∠MAD＝
时，求四边形MEPF的面积．
1.一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2.正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．9C．12D．15
3.正六边形的每个内角都是（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
4.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形B．正方形
C．正五边形D．正六边形
5.（2020·温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
6.已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（ ）
A．18°B．36°C．72°D．144°
7.若以A（－0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．3cm9.如图，在▱ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为（ ）
A．53°B．37°C．47°D．123°
10.如图，在▱ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
第10题图）
第11题图）
11.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC＝∠DCE，则下列结论不正确的是（ ）
A．S△ADF＝2S△EBFB．BF＝
DF
C．AD＝2BED．∠AEB＝∠ADC
12.（2020·徐州）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为________．
13.（2020·凉山州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于________．
第13题图）
第14题图）
14.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1＝________度．
15.已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．
16.如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为________．
第16题图）
第17题图）
17.如图，将▱ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝________.
18.如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝________.
第18题图）
第19题图）
19.（2020·天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为________．
20.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF.求证：
DE＝BF.
21.已知E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.
求证：
四边形ABCD是平行四边形．
22.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
（1）求∠APB的度数；
（2）D＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．
第21讲 多边形与平行四边形
【基础梳理】
一、1.线段 2.相等 相等 3.（n－2）·180° 360°
4.
5.四边形 正六边形
二、1.平行 三、平行 相等 平分
四、平行 相等 平行且相等 相等 平分
【重点突破】
[例1]B [变式1]D
[例2]
（1）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝26，
BD＝10，∴AO＝
AC＝13，OD＝
BD＝5，
∴△AOD的周长为AD＋OD＋OA＝12＋5＋13＝30；
（2）证明：
∵在△AOD中，52＋122＝169＝132，
即OD2＋AD2＝AO2，∴∠ADO＝90°.
即△ADO是直角三角形．
[变式2]C
[例3]
（1）证明：
∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF，
∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）证明：
∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．
[变式3]
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝
AD，CF＝
BC.∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF.∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
在△DEG和△BFH中，
∴△DEG≌△BFH（AAS）．∴EG＝FH.
[例4]
－
[变式4]3π
[例5]证明：
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC.∴∠EAC＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE＝CF.
[变式5]
（1）2，4.
（2）①证明：
∵DC∥AB，
∴FG∥EP，即MF∥PE.
∴∠MFO＝∠PEO.
∵点O是EF的中点，∴OE＝OF.
又∵∠FOM＝∠EOP，
∴△FOM≌△EOP.∴FM＝EP.
∴四边形MEPF是平行四边形．
②解：
如图，连接AO，AP.由折叠性质可得AO＝PO，
由①得四边形MEPF是平行四边形，
∴MO＝PO，∴AO＝PO＝MO＝
MP.
∴△PAM是直角三角形，∴∠MAP＝90°.
∵∠DAB＝90°，∴∠MAD＋∠DAP＝∠DAP＋∠PAB.
即∠MAD＝∠PAB.
∵tan∠MAD＝
，
∴在Rt△ABP中，tan∠PAB＝
＝
.
∴BP＝AB·tan∠PAB＝6×
＝2.
设PE的长为x，则BE＝6－x，
在Rt△PBE中，BE2＋BP2＝PE2，
即
＋4＝x2，解得x＝
.
∵PG⊥MG，∴S四边形MEPF＝PE·PG＝
×2
＝
.
【达标检测】
1．C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.A 9.B 10.B 11.A 12.10 13.16 14.36 15.6 16.3 17.70° 18.2 19.
20．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.又AE＝CF，
∴△ADE≌△CFB，∴DE＝BF.
21．证明：
∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，
∴∠DFC＝∠BEA，在△ABE和△CDF中，
DF＝BE，∠DFC＝∠BEA，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠EAB＝∠FCD，AB＝CD，
∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
22．解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB.
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝
（∠DAB＋∠CBA）＝90°.
在△APB中，∴∠APB＝180°－（∠PAB＋∠PBA）＝90°.
（2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA.
∴△ADP是等腰三角形．∴AD＝DP＝5cm.
同理PC＝CB＝5cm，即AB＝CD＝DP＋PC＝10（cm）．
在Rt△APB中，AB＝10cm，AP＝8cm，
∴BP＝
＝6（cm）．
∴△APB的周长是6＋8＋10＝24（cm）．
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